高中数学 1.6.2.2平面与平面垂直的性质课件 北师大版必修2 .ppt

1 应用面面垂直的性质定理时要注意的问题 1 四个条件缺一不可 l a a l 2 一般要作辅助线 基本作法是过其中一个平面内一点 作交线的垂线 把面面垂直转化为线面垂直 面面垂直的性质定理的应用 2 面面垂直的两个重要结论 1 若两个平面垂直 则经过第一个平面内的点作第二个平面的垂线必在第一个平面内 2 若两个相交平面同时垂直于第三个平面 则它们的交线垂直于第三个平面 应用面面垂直的性质定理时 恰当利用平面几何知识 在其中一个平面内寻找交线的垂线是关键 例1 2011 福建八市联考 如图 正方形abcd所在平面与平面四边形abef所在平面互相垂直 af be af ef 求证 ea 平面abcd 审题指导 解答本题的关键是证明ea ab 为此应该在平面四边形abef中 利用af be af ef 等条件计算ab ae be的长度 利用勾股定理逆定理证明 规范解答 设af ef a 则be 2a 过a作am be于m af be am af 又 af ef am ef 四边形amef是正方形 am a em mb a ae2 ab2 eb2 ae ab 又 平面abcd 平面abef 平面abcd 平面abef ab ae 平面abef ea 平面abcd 变式训练 如图 四棱锥p abcd的侧面pad是正三角形 且垂直于底面 底面abcd是矩形 e是pd的中点 求证 平面ace 平面pcd 解题提示 要证平面ace 平面pcd 只需在其中一个平面内找一条直线垂直于另一个平面 根据平面pad 平面abcd 可利用面面垂直的性质定理 证明 pad为正三角形 e为pd的中点 ae pd 又 平面pad 平面abcd 平面pad 平面abcd ad dc ad cd 平面pad cd ae pd cd d ae 平面pcd 又 ae 平面ace 平面ace 平面pcd 折叠问题的解答要注意以下几点 1 抓住折叠前后不变的垂直关系 2 抓住折叠前后不变的平行关系 3 抓住折叠前后不变的长度和角度等不变量 一般地 在折线同侧的量折叠前后不变 跨过折线的量 折叠前后可能会发生变化 折叠问题 例2 如图 在平行四边形abcd中 已知ad 2ab 2a ac bd e 将其沿对角线bd折成直二面角 求证 1 ab 平面bcd 2 平面acd 平面abd 审题指导 1 由线段ab ad bd的长度关系可证ab bd 结合平面abd 平面bcd 可利用面面垂直的性质定理证明线面垂直 2 利用 1 的结论可知平面abd的垂线 即可证出 规范解答 1 在 abd中 ab a ad 2a ab2 bd2 ad2 abd 90 ab bd 又 平面abd 平面bcd 平面abd 平面bcd bd ab 平面abd ab 平面bcd 2 四边形abcd是平行四边形 且ab bd cd bd ab 平面bcd ab cd 又 ab bd b cd 平面abd 又 cd 平面acd 平面acd 平面abd 变式训练 如图 1 在长方形abcd中 ab 2 bc 1 e为dc的中点 f为线段ec 端点除外 上一动点 现将 afd沿af折起 使平面abd 平面abc 在平面abd内过点d作dk ab k为垂足 如图 2 所示 设ak t 试求t的取值范围 解题提示 解答本题可分析两个特殊的位置即f与e重合 f与c重合的情况 然后根据ak长度随f点位置的变化规律写出t的取值范围 解析 过点d作dg af 垂足为g 连接gk 平面abd 平面abc 平面abd 平面abc ab 且dk ab dk 平面abc dk af 又 dg dk d af 平面dkg af gk 在原长方形abcd中 d g k三点共线 如下图所示 当f接近e点时 k接近ab的中点 此时t 1 当f接近c点时 k接近ab的四等分点 此时 垂直的转化关系 平行 垂直关系的综合应用 是面面垂直的定义 是线面垂直的判定定理 是线面垂直的定义 是面面垂直的判定定理 是面面垂直的性质定理 是线面垂直的性质定理 是若a b a 则b 是若 a 则a 是若a a 则 由以上可知线面垂直是线线垂直 面面垂直关系中的枢纽 也是联系 垂直关系 与 平行关系 的重要环节 例3 2010 江西高考改编 如图 bcd与 mcd都是边长为2的正三角形 平面mcd 平面bcd ab 平面bcd o为cd的中点 连接am并延长交平面bcd于点e 连接ce de 1 求证 b o e三点共线 2 求证 四边形bced是平行四边形 审题指导 1 证明三点共线的基本方法是由其中两点确定一条直线 并说明此直线是某两个平面的交线 然后再证明点在这两个平面的交线上 2 证明的关键是说明对角线互相平分 规范解答 1 连接om mcd是等边三角形 o是cd的中点 om cd 又 平面mcd 平面bcd 平面mcd 平面bcd cdom 平面mcd om 平面bcd 又 ab 平面bcd ab om ab与om共面 又 平面abom 平面bcd bo e am 平面abom e 平面bcd e bo b o e三点共线 2 在等边三角形mcd中 而且om ab eom eba o为be的中点 又 o为cd的中点 四边形bced是平行四边形 变式训练 2011 浙江高考 下列命题中错误的是 a 如果平面 平面 那么平面 内一定存在直线平行于平面 b 如果平面 不垂直于平面 那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 c 如果平面 平面 平面 平面 l 那么l 平面 d 如果平面 平面 那么平面 内所有直线都垂直于平面 解题提示 利用面面垂直的性质定理逐一判断 解析 选d 如果平面 平面 那么平面 内垂直于交线的直线都垂直于平面 其他与交线不垂直的直线均不与平面 垂直 故d项叙述是错误的 立体几何问题中的计算问题 1 关键 计算依据的证明 计算是建立在证明有关结论的基础之上的 缺少了算理的支撑 盲目计算显得毫无意义 与面面垂直有关的计算问题 2 常见问题及解决方法 求角问题 主要是计算异面直线所成的角 二面角的平面角 距离问题 主要是计算点与点 点与线 点与面的距离 3 解题步骤 一作 二证 三算 一作 是关键 实际上在这一步就应该设计好解题思路 例 如图 在三棱锥a bcd中 平面abd 平面bcd bad bdc 90 bc 2cd 1 求ac的长 2 求证 平面abc 平面acd 审题指导 1 根据平面abd 平面bcd 为了利用面面垂直的性质 要在其中一个平面内作直线bd的垂线 找到线面垂直关系 构造直角三角形 求ac的长 2 在平面abd 平面bcd的条件下 根据cd bd可证cd 平面abd 结合ab ad这一条件可考虑证明ab 平面acd 进而证明平面abc 平面acd 规范解答 1 取bd的中点o 连接oa oc ab ad ao bd 又 平面abd 平面bcd 平面abd 平面bcd bd ao 平面abd ao 平面bcd 又 oc 平面bcd ao oc 在 abd中 bad 90 bd 6 ao 3 在 bcd中 bdc 90 bc 2cd bd 6 由bd2 cd2 bc2 得在rt ocd中 在rt aoc中 2 cd bd 平面abd 平面bcd 且平面abd 平面bcd bd cd 平面bcd cd 平面abd cd ab 又 ab ad且ad cd d ab 平面acd 又ab 平面abc 平面abc 平面acd 变式备选 边长为a的正三角形abc的边ab ac的中点为e f 将 aef沿ef折起 此时a点的新位置a 使平面a ef 平面bef 试求a b的长度 解析 过a作ag bc ag ef o 连接oa ob 则由 abc是等边三角形可知o g分别为ef bc的中点 a e a f o为ef的中点 a o ef 又 平面a ef 平面bef a o 平面bef a o bo 典例 12分 2010 全国 改编 如图 四棱锥s abcd中 sd 平面abcd ab dc ad dc ab ad 1 sd 2 bc bd e为棱sb上的一点 平面edc 平面sbc 1 证明de 平面sbc 2 证明se 2eb 审题指导 由平面edc 平面sbc可考虑作或找这两个平面交线的垂线 规范解答 1 连接bd sd 平面abcd 故bc sd 又 bc bd bc 平面bds bc de 2分作bk ec k为垂足 因平面edc 平面sbc 故bk 平面edc bk de 4分又 bk 平面sbc bc 平面sbc bk bc b de 平面sbc 6分 2 由 1 知de sb 8分 10分 se 2eb 12分 误区警示 对解答本题时易犯的错误具体分析如下 即时训练 2010 北京高考改编 如图 正方形abcd和四边形acef所在的平面互相垂直 ef ac ce ef 1 求证 cf 平面bde 解题提示 条件中给出了面面垂直 要证明线面垂直 就要利用面面垂直的性质 找到平面bde的垂线 证明 设ac bd g 连接fg ef cg ef cg 1 且ce 1 四边形cefg为菱形 cf eg 四边形abcd为正方形 bd ac 又平面acef 平面abcd 且平面acef 平面abcd ac bd 平面acef bd cf 又bd eg g cf 平面bde 1 若平面 直线a 则 a a b a 或a c a与 相交 d a 或a 或a与 相交 解析 选d 如图所示 a 显然a 但是a的位置在 内是不确定的 因此a 或a 或a与 相交 2 已知 l p l 则给出下列四个结论 过p和l垂直的直线在 内 过p和 垂直的直线在 内 过p和l垂直的直线必与 垂直 过p与 垂直的平面必与l垂直 其中正确的是 a b c d 解析 选a 如图所示 m过点p且m l 但是m不在 内也不与 垂直 故 错误 平面 过点p且与 垂直 但是 不与l垂直 故 错误 对于 由面面垂直的性质定理可知过p和 垂直的直线是唯一的 且在 内 3 如果 且 l 直线a 直线b 且a不与l垂直 b不与l垂直 那么a与b a 可能垂直 不可能平行 b 可能平行 不可能垂直 c 可能垂直 也可能平行 d 不可能垂直 也不可能平行 解析 选b 当a l b l时 a b 若a b 可在a上任取点a 在 内作l的垂线c 如图 则c c b b b l 这与已知矛盾 4 如图 正方体abcd a1b1c1d1中 p为上底面a1b1c1d1内的一点 过p点的直线ef分别交直线b1c1 c1d1于e f 若要使ef ap 则在上底内直线ef需满足条件 解析 aa1 平面a1b1c1d1 aa1 ef 要使ef ap 只需ef 平面a1ap 即ef a1p便可 答案 ef a1p 5 如图所示 四边形abcd是菱形 平面pac 平面abcd 求证 平面pbd 平面pac 证明 四边形abcd是菱形 bd ac 又 平面pac 平面abcd 平面pac 平面abcd ac bd平面abcd bd 平面pac 又 bd 平面pbd 平面pbd 平面pac 一 选择题 每题4分 共16分 1 2011 福州高一检测 已知平面 平面 l 则下列说法中错误的是 a 如果直线a 那么直线a必垂直于平面 内的无数条直线 b 如果直线a 那么直线a不可能与平面 平行 c 如果直线a a l 那么直线a 平面 d 平面 内一定存在无数多条直线都垂直于平面 内的所有直线 解析 选b 如图 1 平面 内与直线l垂直的直线都与平面 垂直 故与直线a垂直 这样的直线有无数条 故a正确 如图 2 a 且a l 此时a 故b错误 选项c是平面与平面垂直的性质定理 正确 如图 3 在平面 内与直线l垂直的直线与平面 垂直 故与平面 内的所有直线垂直 这样的直线有无数条 故d正确 2 如图所示 在斜三棱柱abc a1b1c1的底面 abc中 bac 90 且bc1 ac 过点c1作c1h 底面abc 垂足为h 则点h在 a 直线ac上 b 直线ab上 c 直线bc上 d abc的内部 解析 选b bc1 ac ba ac bc1 ba b ac 平面bc1a 又ac 平面bac 平面bac 平面bc1a c1h 平面abc 且点h为垂足 平面bac 平面bc1a ab h ab 3 直二面角 ab 点c 点d 当满足 cab dab 45 时 则 cad的大小为 a 30 b 45 c 60 d 120 解析 选c 过点c作ce ab 垂足为e 过e作ef ab 垂足为e ef与ad或其延长线相交于点f 连接cf 二面角 ab 是直二面角 ce ce ef 在rt ace中 cae 45 同理在rt aef和rt cef中可求得 acf是等边三角形 cad 60 4 如图 abcd中 ab bd 沿bd将 abd折起 使面abd 面bcd 连接ac 则在四面体abcd的四个面中 互相垂直的平面有 a 1对 b 2对 c 3对 d 4对 解析 选c 由面面垂直的判定和性质可知平面abd 平面bcd 平面abd 平面acd 平面abc 平面bcd 二 填空题 每题4分 共8分 5 正方形abcd中 将三角形acd沿它的对角线ac折成一个直二面角 则异面直线ec和ab所成角的大小是 解题提示 解答本题的关键是先找到ec和ab所成的角 然后利用面面垂直的性质求得角的大小 解析 ab cd ecd是异面直线ec和ab所成的角 由于二面角e ac d是直二面角 得do oe 设正方形的边长是2 得de dc ec 2 dce是等边三角形 ecd 60 答案 60 6 如图 三棱锥p abc中 平面pab 平面pbc 若pb bc 则 abc的形状为 解析 平面pab 平面pbc 平面pab 平面pbc pb bc pb 且bc 平面pbc bc 平面pab ab 平面pab bc ab abc为直角三角形 答案 直角三角形 三 解答题 每题8分 共16分 7 2011 海淀模拟 如图 三棱柱abc a1b1c1中 侧面aa1c1c 底面abc aa1 a1c o为ac的中点 证明 a1o 平面abc 证明 因为a1a a1c 且o为ac的中点 所以a1o ac 又由题意可知 平面aa1c1c 平面abc 交线为ac 所以a1o 平面abc 8 2011 西安高一检测 如图 在三棱锥p abc中 e f分别为ac bc的中点 1 求证 ef 平面pab 2 若平面pac 平面abc 且pa pc abc 90 求证 平面pef 平面pbc 证明 1 e f分别为ac bc的中点 ef ab 又ef 平面pab ab 平面pab ef 平面pab