湖南湖北八市十二校2019届高三第二次调研联考数学理试卷含答案.pdf

1 湖南湖北八市十二校 2019 届高三第二次调研联考 理科数学试题理科数学试题 注意事项 1 答卷前 考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上 2 回答选择题时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 回答非选择题时 将答案写在答题 卡上 写在本试卷上无效 3 本试题卷共 6 页 时量 120 分钟 满分 150 分 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 全集 集合 集合 则 A B C D 2 若复数为纯虚数 则 A B 13C 10D 3 若点 3 4 P 是角 的终边上一点 则sin2 A 24 25 B 7 25 C 16 25 D 8 5 4 给出下列五个命题 将 A B C 三种个体按 3 1 2 的比例分层抽样调查 若抽取的 A 种个体有 9 个 则样本容量为 30 一组数据 1 2 3 3 4 5 的平均数 众数 中位数都相同 甲组数据的方差为 5 乙组数据为 5 6 9 10 5 那么这两组数据中比较稳定的是 甲 已知具有相关关系的两个变量满足的回归直线方程为 1 2x 则 x 每增加 1 个单位 y 平均减少 2 个单位 统计的 10 个样本数据为 125 120 122 105 130 114 116 95 120 134 则样 本数据落在 114 5 124 5 内的频率为 0 4 2 其中是真命题的为 A B C D 5 设 则的展开式中常数项是 A 160B 160C 20D 20 6 函数 32 ln1yxxx 的图象大致为 A B C D 7 已知 f x是定义域为 的奇函数 满足 1 1 fxfx 若 1 2f 则 1 2 3 50 ffff A 50 B 0C 2D 50 8 已知数列 n a的通项公式 100 n an n 则 122399100 aaaaaa A 150B 162C 180D 210 9 已知的一内角 为所在平面上一点 满足 设 则的最大值为 A B C D 3 10 过抛物线上两点分别作抛物线的切线 若两切线垂直且交于点 则直线的方程为 A B C D 11 已知三棱锥的四个顶点都在半径为 3 的球面上 则该三棱锥体积 的最大值是 A B C D 64 12 已知函数 要使函数的零点个数最多 则 k 的 取值范围是 A B C D 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 一个算法的程序框图如图所示 若该程序输出的结果为 则判断框中的条件 中 的整数的值是 14 以椭圆的顶点为焦点 焦点为顶点的双曲线 其左右焦点分别是 4 已 知 点的 坐 标 为 双 曲 线上 的 点满 足 则 15 已知菱形 为的中点 且 则菱形 面积的最大值为 16 已知数列 n a的前n项和 1 22n nn Sa 若不等式 2 235 n nna 对 n N 恒成立 则整数 的最大值为 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必 考题 每个试题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 60 分 17 在ABC 中 角 A B C的对边分别为 a b c且2c 1 若 3 3 Ab 求sinC的值 2 若 22 sincossincos3sin 22 BA ABC 且ABC 的面积 25 sin 2 SC 求a和b的值 18 如图 在多面体中 四边形为梯形 均为等边三角形 1 过作截面与线段交于点 使得平面 试确定点的位置 并予以 证明 2 在 1 的条件下 求直线与平面所成角的正弦值 19 近期 某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动 活动设置了一段时间 5 的推广期 由于推广期内优惠力度较大 吸引越来越多的人开始使用扫码支付 某线路 公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次 用 x 表示活动推出的天 数 y 表示每天使用扫码支付的人次 单位 十人次 统计数据如表 1 所示 根据以上数据 绘制了如右图所示的散点图 1 根据散点图判断 在推广期内 c d 均为大于零的常数 哪一个适宜作为扫 码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型 给 出判断即可 不必说明理由 2 根据 1 的判断结果及表 l 中的数据 求 y 关于 x 的回 归方程 并预测活动推出第 8 天使用扫码支付的人次 3 推广期结束后 车队对乘客的支付方式进行统计 结 果如表 2 已知该线路公交车票价为 2 元 使用现金支付的乘客无优惠 使用乘车卡支付的乘客享 受 8 折优惠 扫码支付的乘客随机优惠 根据统计结果得知 使用扫码支付的乘客 享 受 7 折优惠的概率为 享受 8 折优惠的概率为 享受 9 折优惠的概率为 根据所 给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率 估计一名乘客一次乘车的平均费用 参考数据 其中 参考公式 对于一组数据 其回归直线的斜率和截距的最小二乘 6 估计公式分别为 20 在平面直角坐标系xOy中 椭圆 C 过点 1 3 2 焦点 12 3 0 3 0 FF 圆 O 的直径 为 12 F F 1 求椭圆 C 及圆 O 的方程 2 设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P 若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 求点 P 的坐标 直线 l 与椭圆 C 交于 A B两点 若OAB 的面积为 2 6 7 求直线 l 的方程 21 知函数 2 ln12Ra x axxaxf 1 当a 1 时 求 xf的单调区间 2 设函数 2 1 x aaxe xfxg x 若x 2 是 xg的唯一极值点 求a 二 选考题 共 10 分 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做 的第一题计分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中 曲线 1 C的参数方程为 22cos 2sin x y 为参数 以原点O为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 2 C的极坐标方程为4sin 1 求曲线 1 C的普通方程和 2 C的直角坐标方程 2 已知曲线 3 C的极坐标方程为 0 R 点A是曲线 3 C与 1 C的交点 点B 是曲线 3 C与 2 C的交点 且 A B均异于原点O 且4 2AB 求a的值 23 选修 4 5 不等式选讲 已知 22f xaxx 1 在2a 时 解不等式 1f x 2 若关于x的不等式4 4f x 对xR 恒成立 求实数a的取值范围 7 湖南湖北八市十二校 2019 届高三第二次调研联考 理科数学试题参考答案及解析理科数学试题参考答案及解析 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 题号123456789101112 选项DAABBCCBADAB 9 答案 答案 A 详解 由题意可知 O 为 ABC 外接圆的圆心 如图 所示 在圆 中 所对的圆心角为 点 A B 为定点 点 为 优弧上的动点 则点满足题中的已知条件 延长交于 点 设 由题意可知 由于 三点共线 据此可得 则 则的最大值即的最 大值 由于为定值 故最小时 取得最大值 由几何关系易知当 是 取得最小值 此时 10 答案 D 详解 由 得 设 则 抛物线在点 处的切线方程为 点 处的切 线方程为 由解得 又两切线交于点 8 故得 过两点的切线垂直 故 故得抛物线的方程为 由题意得直线 的斜率存在 可设直线方程为 由消去 y 整理得 由和可得且 直线的方程为 11 答案 A 详解 设 则 外接圆直径为 如图 体积最大值为 设 则 令 得 在上递增 在上递减 即该三棱锥体积的最大值是 12 B 详解 因为 所以 可得在上递减 在 递增 所以 有最小值 且时 所以 9 时 最 多 有 两 个 根 最 多 有 2 个 根 即 在有两个根时 的零点最多为 4 个 解得 故选 B 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 6 详 解 第 一 次 循 环 第 二 次 循 环 第三次循环 第四次循 环 第五次循环 输出 不满足判断框中的条件 判断框中的条件 故答案为 14 2 详解 椭圆 其顶点坐标为焦点 坐标为 双曲线方程为由 可得在与方向上的投影相 等 10 直线PF1的方程为 即 把它与双曲线联立可得 轴 又 所以 即是的内切圆的圆心 15 12 解析 设 则两边之和大于第三边 两边之差小于第三 边 即 设 在中 由余弦定理可知 即 令 则 则 当时 即时 有最大值 故答案为 16 4 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必 考题 每个试题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 17 解 解 1 由余弦定理 由余弦定理 222 1 2cos942327 7 2 abcbcAa 3 分 由正弦定理 分 由正弦定理 sinsin ac AC 得得 21 sin 7 C 6 分 分 2 由已知得 由已知得 1cos1cos sinsin3sin 22 BA ABC sinsincossinsincos6sinAABBBAC sinsinsin 6sin sinsin5sinABABCABC 所以所以510abc 10 分分 11 又又 125 sinsin 22 SabCC 所以所以25ab 由 解得 由 解得5ab 12 分分 18 1 当 为线段的中点时 使得平面 证法如下 连接 设 四边形为矩形 为的中点 又 为的中点 为的中位线 平面 平面 平面 故 为的中点时 使得平面 2 过 作分别与 交于 因为 为的中点 所以 分别为 的中点 与均为等边三角形 且 连接 则得 12 四边形为等腰梯形 取的中点 连接 则 又 平面 过点作于 则 分别以 的方向为 轴的正方向 建立空间直角坐标系 不妨 设 则由条件可得 设是平面的法向量 则即 所以可取 由 可得 直线与平面所成角的正弦值为 19 解 解 1 根据散点图判断 适宜作为扫码支付的人数关于活动推出天数 13 的回归方程类型 2 分 2 两边同时取常用对数得 设 3 分 4 分 把样本中心点代入 得 5 分 关于的回归方程式 把代入上式 活动推出第天使用扫码支付的人次为 7 分 3 记一名乘客乘车支付的费用为 则的取值可能为 8 分 10 分 分布列为 所以 一名乘客一次乘车的平均费用为 元 12 分 20 1 因 为 椭 圆 C 的 焦 点 为 12 3 0 3 0 FF 可 设 椭 圆 C 的 方 程 为 22 22 1 0 xy ab ab 又点 1 3 2 在椭圆 C 上 所以 22 22 31 1 4 3 ab ab 解得 2 2 4 1 a b 因此 椭圆 14 C 的方程为 2 2 1 4 x y 因为圆 O 的直径为 12 F F 所以其方程为 22 3xy 2 设直线 l 与圆 O 相切于 0000 00 P xyxy 则 22 00 3xy 所以直线 l 的方程为 0 00 0 x yxxy y 即 0 00 3x yx yy 由 2 2 0 00 1 4 3 x y x yx yy 消去 y 得 2222 0000 4243640 xyxx xy 因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点 所以 222222 000000 24 4 4364820 4xxyyyx 因为 00 0 xy 所以 00 2 1xy 因此 点 P 的坐标为 2 1 因 为 三 角 形 OAB 的 面 积 为 2 6 7 所 以 21 2 6 7 AB OP 从 而 4 2 7 AB 设 1122 A x yB xy 由 得 22 000 22 00 1 2 2448 2 2 4 xyx x x y 所以 2 222 121 xByyxA 222 000 2222 000 48 2 1 4 xyx yxy 因为 22 00 3xy 所以 2 20 22 0 16 2 32 1 49 x AB x 即 42 00 2451000 xx 解 得 22 00 5 20 2 xx 舍去 则 2 0 1 2 y 因此 P 的坐标为 102 22 综上 直线 l 的方程为53 2yx 21 15 22 1 由 22cos 2sin x y 消去参数 可得 1 C普通方程为 2 2 24xy 4sin 2 4 sin 由 cos sin x y 得曲线 2 C的直角坐标方程为 2 2 24xy 16 2 由 1 得曲线 2 2 1 24Cxy 其极坐标方程为4cos 由题意设 12 AB 则 12 4 sincos4 2 sin4 2 4 AB sin1 4 42 kkZ 0 3 4 23 解 1 在2a 时 2221xx 在1x 时 22 2 1xx 15x 在2x 时 22 2 1xx 3x x无解 在21x 时 22 2 1xx 1 3 x 1 1 3 x 综上可知 不等式 1f x 的解集为 1 5 3 xx 2 224xax 恒成立 而22 1 xaxa x 或22 1 4xaxa x 故只需 1 4a x 恒成立 或 1 44a x 恒成立 1a 或1a a的取值为1或1 欢迎访问 高中试卷网 http sj fjjy org 1 湖南湖北八市十二校 2019 届高三第二次调研联考 文科数学试题文科数学试题 注意事项 1 答卷前 考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上 2 回答选择题时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 回答非选择题时 将答案写在答题 卡上 写在本试卷上无效 3 本试题卷共 5 页 时量 120 分钟 满分 150 分 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 全集 集合 集合 则 A B C D 2 若复数为纯虚数 则 A B 13 C 10D 3 若点 3 4 P 是角 的终边上一点 则sin2 A 24 25 B 7 25 C 16 25 D 8 5 4 给出下列五个命题 将 A B C 三种个体按 3 1 2 的比例分层抽样调查 若抽取的 A 种个体有 9 个 则样本容量为 30 一组数据 1 2 3 3 4 5 的平均数 众数 中位数都相同 甲组数据的方差为 5 乙组数据为 5 6 9 10 5 那么这两组数据中比较稳定的是 甲 已知具有相关关系的两个变量满足的回归直线方程为 1 2x 则 x 每增加 1 个单位 y 平均减少 2 个单位 统计的 10 个样本数据为 125 120 122 105 130 114 116 95 120 134 则样 本数据落在 114 5 124 5 内的频率为 0 4 2 其中是真命题的为 A B C D 5 函数 32 ln1yxxx 的图象大致为 A B C D 6 已知数列 n a的通项公式 100 n an n 则 122399100 aaaaaa A 150B 162C 180D 210 7 已知 f x 是定义域为 的奇函数 满足 1 1 fxfx 若 1 2f 则 1 2 3 50 ffff A 50 B 0C 2D 50 8 已知满足 则 A B C D 9 已知的一内角 为所在平面上一点 满足 设 则的最大值为 A B C D 3 10 过抛物线上两点分别作抛物线的切线 若两切线垂直且交于点 则直线的方程为 A B C D 11 已知三棱锥的四个顶点都在半径为 3 的球面上 则该三棱锥体积 的最大值是 A B C D 64 12 以椭圆的顶点为焦点 焦点为顶点的双曲线 其左右焦点分别是 已 知 点的 坐 标 为 双 曲 线上 的 点满 足 则 A 4B 2C 1D 1 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 一个算法的程序框图如图所示 若该程序输出的结果为 则判断框中的条件 中 的整数的值是 14 函数 的单调递减区间为 15 在正方形网格中 某四面体的三视图如图所示 如果小正方形网格的边长为1 那么该 4 四面体的体积是 16 已知数列 n a的前n项和 1 22n nn Sa 若不等式 2 235 n nna 对 n N 恒成立 则整数 的最大值为 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必 考题 每个试题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 60 分 17 在ABC 中 角 A B C的对边分别为 a b c且 2c 1 若 3 3 Ab 求sinC的值 2 若 22 sincossincos3sin 22 BA ABC 且ABC 的面积 25 sin 2 SC 求a和b的值 18 如图 在平行四边形中 以为折痕将 折起 使点到达点 的位置 且 证明 平面平面 为线段上一点 为线段上一点 且 求三棱锥的体 积 19 某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业 在一个开学季内 每售出 1 盒该产 品获利润 30 元 未售出的产品 每盒亏损 10 元 根据历史资料 得到开学季市场需求量的频 率分布直方图 如图所示 该同学为这个开学季购进了 160 盒该产品 以 x 单位 盒 100 x 200 表示这个开学季内的市场需求量 y 单位 元 表示这个开学季内经销该产品 的利润 5 1 根据直方图估计这个开学季内市场需求量 x 的平均数 2 将 y 表示为 x 的函数 3 根据直方图估计利润 y 不少于 4 000 元的概率 20 在平面直角坐标系xOy中 椭圆 C 过点 1 3 2 焦点 12 3 0 3 0 FF 圆 O 的直径 为 12 F F 1 求椭圆 C 及圆 O 的方程 2 设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P 若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 求点 P 的坐标 直线 l 与椭圆 C 交于 A B两点 若OAB 的面积为 2 6 7 求直线 l 的方程 21 知函数 2 ln12Ra x axxaxf 1 当a 1 时 求 xf的单调区间 2 设函数 2 1 x aaxe xfxg x 若x 2 是 xg的唯一极值点 求a 6 二 选考题 共 10 分 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做 的第一题计分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中 曲线 1 C的参数方程为 22cos 2sin x y 为参数 以原点O为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 2 C的极坐标方程为4sin 1 求曲线 1 C的普通方程和 2 C的直角坐标方程 2 已知曲线 3 C的极坐标方程为 0 R 点A是曲线 3 C与 1 C的交点 点B 是曲线 3 C与 2 C的交点 且 A B均异于原点O 且4 2AB 求a的值 23 选修 4 5 不等式选讲 已知 22f xaxx 1 在2a 时 解不等式 1f x 2 若关于x的不等式4 4f x 对xR 恒成立 求实数a的取值范围 7 湖南湖北八市十二校 2019 届高三第二次调研联考 文科数学试题参考答案及解析文科数学试题参考答案及解析 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 题号123456789101112 选项DAABCBCBADAB 9 答案 答案 A 详解 由题意可知 O 为 ABC 外接圆的圆心 如 图所示 在圆 中 所对的圆心角为 点 A B 为定点 点 为 优弧上的动点 则点满足题中的已知条件 延长交于 点 设 由题意可知 由于 三点共线 据此可得 则 则的最大值即的最 大值 由于为定值 故最小时 取得最大值 由几何关系易知当 是 取得最小值 此时 10 答案 D 详解 由 得 设 则 抛物线在点 处的切线方程为 点 处的切 线方程为 由解得 又两切线交于点 8 故得 过两点的切线垂直 故 故得抛物线的方程为 由题意得直线 的斜率存在 可设直线方程为 由消去 y 整理得 由和可得且 直线的方程为 11 答案 A 详解 设 则 外接圆直径为 如图 体积最大值为 设 则 令 得 在上递增 在上递减 即该三棱锥体积的最大值是 12 答 案 答 案 B 详 解 椭 圆 其 顶 点 坐 标 为 焦点坐标为 双曲线 9 方程为 由 可 得在与方 向 上 的 投 影 相 等 直 线 PF1的 方 程 为 即 把它与双曲线联立可得 轴 又 所以 即是的内切圆的圆心 故选 B 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 6 详 解 第 一 次 循 环 第 二 次 循 环 第三次循环 第四次循 环 第五次循环 输出 不满足判断框中的条件 判断框中的条件 故答案为 14 答案 答案 解析 解析 令 则 10 正弦函数在上单调递增 由得 函 数在的单调递增区间为 15 32 3 解析 解析 如图所示 在棱长为 4 的正方体中 点 P 为棱的中点 三视图对应的 几何体是图中的三棱锥PABC 该几何体的体积 1132 4 44 323 V 16 4 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必 考题 每个试题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 17 解 解 1 由余弦定理 由余弦定理 222 1 2cos942327 7 2 abcbcAa 3 分 由正弦定理 分 由正弦定理 sinsin ac AC 得得 21 sin 7 C 6 分 分 2 由已知得 由已知得 1cos1cos sinsin3sin 22 BA ABC sinsincossinsincos6sinAABBBAC sinsinsin 6sin sinsin5sinABABCABC 所以所以510abc 10 分 又 分 又 125 sinsin 22 SabCC 所以所以25ab 由 解得 由 解得5ab 12 分分 18 1 由已知可得 90 又 BA AD 且 所以 AB 平面 ACD 11 又 AB 平面 ABC 所以平面 ACD 平面 ABC 2 由已知可得 DC CM AB 3 DA 又 所以 作 QE AC 垂足为 E 则 由已知及 1 可得 DC 平面 ABC 所以 QE 平面 ABC QE 1 因此 三棱锥的体积为 19 解析 1 由频率分布直方图得 需求量为 100 120 的频率 0 005 20 0 1 需求量为 120 140 的频率 0 01 20 0 2 需求量为 140 160 的频率 0 015 20 0 3 需求量为 160 180 的频率 0 012 5 20 0 25 需求量为 180 200 的频率 0 007 5 20 0 15 则平均数 110 0 1 130 0 2 150 0 3 170 0 25 190 0 15 153 2 因为每售出 1 盒该产品获利润 30 元 未售出的产品 每盒亏损 10 元 所以当 100 x 160 时 y 30 x 10 160 x 40 x 1 600 当 160 x 200 时 y 160 30 4 800 所以 y 3 因为利润不少于 4 000 元 所以 40 x 1600 4 000 解得 x 140 所以由 1 知利润不少于 4 000 元的概率 P 1 0 3 0 7 20 1 因 为 椭 圆 C 的 焦 点 为 12 3 0 3 0 FF 可 设 椭 圆 C 的 方 程 为 22 22 1 0 xy ab ab 又点 1 3 2