浙江高考数学二轮复习三角函数解三角形与平面向量第3讲平面向量学案.docx

第3讲平面向量考情考向分析1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题，且为基础题.2.考查平面向量数量积及模的最值问题，以选择题、填空题为主，难度为中高档，是高考考查的热点内容.3.向量作为工具，还常与解三角形、不等式、解析几何等结合，进行综合考查热点一平面向量的线性运算1在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化2在用三角形加法法则时，要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量的终点所得的向量；在用三角形减法法则时，要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量例1(1)如图，在ABC中，AB3DB，AE2EC，CD与BE交于点F.设a，b，xayb，则(x，y)为()A. B.C. D.答案A解析由D，F，C三点共线，可得存在实数，使得，即()，则(1)(1)(1)ab.由E，F，B三点共线，可得存在实数，使得，即()，则(1)(1)a(1)b.又a，b不共线，由平面向量基本定理可得解得所以ab.所以x，y，即(x，y)，故选A.(2)已知A(1,0)，B(1,0)，C(0,1)，过点P(m,0)的直线分别与线段AC，BC交于点M，N(点M，N不同于点A，B，C)，且xy(x，yR)，若2|m|3，则xy的取值范围是_答案解析设，则有|m|.M，N，P三点共线，且点O不在直线MN上，n(1n).从而有n(1n)xy，又与是不共线向量，得xy.由2|3，得xy的取值范围是.思维升华(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意平面向量基本定理的灵活运用(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系跟踪演练1(1)在ABC中，P是直线BN上的一点，若m，则实数m的值为()A4 B1C1 D4答案B解析因为kk(1k)，且m，又，不共线，所以解得k2，m1，故选B.(2)如图，矩形ABCD中，AB3，AD4，M，N分别为线段BC，CD上的点，且满足1，若xy，则xy的最小值为_答案解析连接MN交AC于点G.由勾股定理知，MN2CM2CN2，所以1，即MNCMCN，所以C到直线MN的距离为定值1，此时MN是以C为圆心，1为半径的圆的一条切线(如图所示).xy(xy).由向量共线定理知，(xy)，所以xy，又因为|max514，所以xy的最小值为.热点二平面向量的数量积1数量积的定义：ab|a|b|cos .2三个结论(1)若a(x，y)，则|a|.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|.(3)若非零向量a(x1，y1)，非零向量b(x2，y2)，为a与b的夹角，则cos .例2(1)已知在直角梯形ABCD中，ABAD2CD2，ADC90，若点M在线段AC上，则|的取值范围为_答案解析建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，D(0,2)，设(01)，则M(，2)，故(，22)，(2，2)，则(22，24)，|，当0时，|取得最大值2，当时，|取得最小值，|. (2)已知，|，|t，若点P是ABC所在平面内的一点，且，则的最大值为_答案13解析建立如图所示的平面直角坐标系，则B，C(0，t)，(0，t)，t(0，t)(1,4)，P(1,4)，(1，t4)1717213，当且仅当t时“”成立思维升华(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算跟踪演练2(1)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为1，E为AB的中点，若F为正方形内(含边界)任意一点，则的最大值为_答案解析E为AB的中点，正方形OABC的边长为1，E，得，又F为正方形内(含边界)任意一点，设F(x，y)，(x，y)，满足则xy，结合线性规划知识可知，当F点运动到点B(1,1)处时，取得最大值.(2)已知直角梯形ABCD中，ADBC，BAD90，ADC45，AD2，BC1，P是腰CD上的动点，则的最小值为_答案解析以DA为x轴，D为原点，过D与DA垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示由ADBC，BAD90，ADC45，AD2，BC1，可得D(0,0)，A(2,0)，B(2,1)，C(1,1)，P在CD上，可设P(t，t)(0t1)，则(2t，t)，(t2，t1)，3(42t，2t1)，(当且仅当t时取等号)，即的最小值为.真题体验1(2017浙江)已知向量a，b满足|a|1，|b|2，则|ab|ab|的最小值是_，最大值是_答案42解析设a，b的夹角为，|a|1，|b|2，|ab|ab|.令y.则y2102.0，cos20,1，y216,20，y4,2，即|ab|ab|4,22(2017浙江改编)如图，已知平面四边形ABCD，ABBC，ABBCAD2，CD3，AC与BD交于点O，记I1，I2，I3，则I1，I2，I3的大小关系是_答案I3I1I2解析I1I2()，ABBC，ABBCAD2，CD3，与所成的角为钝角，I1I20，即I1I2.I1I3|cosAOB|cosCODcosAOB(|)，又AOB为钝角，OAOC，OB0，即I1I3.I3I1I2.3(2016浙江)已知向量a，b，|a|1，|b|2.若对任意单位向量e，均有|ae|be|，则ab的最大值是_答案解析由于e是任意单位向量，可设e，则|ae|be|ab|.|ae|be|，|ab|，(ab)26，|a|2|b|22ab6.|a|1，|b|2，142ab6，ab，ab的最大值为.4(2017北京)已知点P在圆x2y21上，点A的坐标为(2,0)，O为原点，则的最大值为_答案6解析方法一根据题意作出图象，如图所示，A(2,0)，P(x，y)由点P向x轴作垂线交x轴于点Q，则点Q的坐标为(x,0)|cos ，|2，|，cos ，所以2(x2)2x4.点P在圆x2y21上，所以x1,1所以的最大值为246.方法二因为点P在圆x2y21上，所以可设P(cos ，sin )(02)，所以(2,0)，(cos 2，sin )，2cos 4246，当且仅当cos 1，即0，P(1,0)时“”成立押题预测1已知向量a，b满足|a|3，且向量b在向量a方向上的投影为2，则a(ab)的值为()A4 B3 C2 D1押题依据向量的数量积是高考命题的热点，常常考查平面向量的运算、化简、证明及其几何意义和平面向量平行、垂直的充要条件及其应用等几个方面答案B解析由向量b在向量a方向上的投影为2，得2，即ab6，则a(ab)a2ab963.2如图，在ABC中，DEBC交AC于点E，BC边上的中线AM交DE于点N，设a，b，用a，b表示向量，则等于()A.(ab) B.(ab)C.(ab) D.(ab)押题依据平面向量基本定理是向量表示的基本依据，而向量表示(用基底或坐标)是向量应用的基础答案C解析因为DEBC，所以DNBM，则ANDAMB，所以.因为，所以.因为M为BC的中点，所以()(ab)，所以(ab)故选C.3已知两个单位向量，的夹角为60，向量，且12,12，设向量，的夹角为，则cos 的取值范围是()A. B.C. D.押题依据平面向量基本定理在向量中应用广泛，可与数量积等知识结合起来应用答案C解析如图，由题意知，动点P在平行四边形CDEF区域(含边界)内运动易知AODFOA.|2|，cosFOA.|2|，cosDOA.故cos ，故选C.4如图，在半径为1的扇形AOB中，AOB60，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则的最小值是_押题依据本题将向量与平面几何、最值问题等有机结合，体现了高考在知识交汇点命题的方向，本题解法灵活，难度适中答案解析因为，所以()2.又因为AOB60，OAOB，所以OBA60，OB1.所以|cos 120|.所以|22，当且仅当|时，取得最小值.A组专题通关1(2018全国)在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于()A. B.C. D.答案A解析作出示意图如图所示()().故选A.2设向量a(1,2)，b(3,5)，c(4，x)，若abc(R)，则x的值为()A B. C D.答案C解析由已知可得(1,2)(3,5)(4，x)x，故选C.3已知向量a，b，其中a(1，)，且a(a3b)，则b在a方向上的投影为()A. B C. D答案C解析由a(1，)，且a(a3b)，得a(a3b)0，即a23ab43ab0，ab，所以b在a方向上的投影为，故选C.4.(2018天津)在如图所示的平面图形中，已知OM1，ON2，MON120，2，2，则的值为()A15 B9C6 D0答案C解析如图，连接MN.2，2，MNBC，且，33()，3(2)3(21cos 12012)6.故选C.5(2018宁波模拟)已知向量，满足|1，|2，AOB，M为OAB内一点(包括边界)，xy，若1，则以下结论一定成立的是()A.2xy2 B.xyC1x3y D.xy1答案B解析因为|1，|2，AOB，则不妨设(1,0)，(1，)，则xy(xy，y)，(0，)，所以3y1，解得y.又因为点M为OAB内一点(包含边界)，所以x，y满足的关系式为取x0，y，此时2xy，故A选项不一定成立；由y，xy1，得x，所以y，故B选项一定成立；取x0，y1，此时x3y31，故C选项不一定成立；取x0，y，此时xy，故D选项不一定成立，综上所述，选B.6(2018浙江省金丽衢十二校联考)已知向量a，b满足|a|2，|b|1，a与b的夹角为，则|a2b|_；a与a2b的夹角为_答案2解析由题意得ab|a|b|cos1，所以|a2b|2，|a2b|2，则cosa，a2b，所以a与a2b的夹角为.7若平面向量a，b满足|2ab|3，则ab的最小值是_答案解析由向量减法的三角形法则知，当a与b共线且反向时，|2ab|的最大值为3.此时设ab(0，(mn)21mn(mn)2，当且仅当mn时取等号(mn)21，则mn，即mn的最大值为.10(2018浙江省重点中学联考)已知矩形ABCD，AB2，BC1，点E是AB的中点，点P是对角线BD上的动点，若xy，则的最小值是_，xy的最大值是_答案15解析如图，建立平面直角坐标系，则(2,1)，(1，1)，直线BD的方程为y1，设点P(22t，t)(0t1)，则(22t，t)，44tt43t(0t1)，当t1时，取得最小值1.由xy，得xy4(0t1)，当t1时，xy取得最大值5.B组能力提高11.(2018天津)如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，ADCD，BAD120，ABAD1.若点E为边CD上的动点，则的最小值为()A. B. C. D3答案A解析如图，以D为坐标原点，DA，DC所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系连接AC，由题意知CADCAB60，ACDACB30，则D(0,0)，A(1,0)，B，C(0，)设E(0，y)(0y)，则(1，y)，y2y2(0y)，当y时，有最小值.故选A.12.如图，已知圆O的半径为2，A，B是圆O上任意两点，且AOB，PQ是圆O的直径，若点C满足33(1)(R)，当取得最小值时，的值为()A. B.C. D.答案A解析由已知得0，4，22cos 2，224，所以()()2()233(1)249229(1)2218(1)436236(1)236(1)436(3231)4108255，当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值5.故选A.13(2018嘉兴市、丽水市教学测试)已知|c|2，向量b满足2|bc|bc.当b，c的夹角最大时，|b|_.答案2解析设b，c，则由2|bc|bc得4(bc)2(bc)2，即4|b|2sin216|b|cos 160，则4cos |b|sin224sin ，当且仅当|b|sin2，即|b|时，等号成立，则tan 1，所以，当时，|b|2.14已知平面向量，(0，)满足|1，且与的夹角为120，则|的取值范围是_答案解析如图所示，记，由正弦定理得，|sin sin .又0120，0sin 1.即0|.15已知平面向量a(sin x，cos x)，b(sin x，cos x)，c(cos x，sin x)，xR，函数f(x)a(bc)(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)若f，求sin 的值解(1)因为a(sin x，cos x)，b(sin x，cos x)，c(cos x，sin x)，所以bc(sin xcos x，sin xcos x)，f(x)a(bc)sin x(sin xcos x)cos x(sin xcos x)sin2x2sin xcos xcos2xsin 2xcos 2xsin.当2k2x2k，kZ，即kxk，kZ时，函数f(x)单调递减所以函数f(x)的单调递减区间是，kZ.(2)由(1)知，f(x)sin，又f，则sin，sin.因为sin2cos21，所以cos.又sin sinsincos cossin ，所以当cos时，sin ；当cos时，sin .综上，sin .16已知向量m(sin x，1)，向量n，函数f(x)(mn)m.(1