高考数学 74垂直关系课件 北师大版.ppt

1 2012 安徽高考 设平面 与平面 相交于直线m 直线a在平面 内 直线b在平面 内 且b m 则 是 a b 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 解析 利用面面垂直的性质定理及空间直线的位置关系 判定充分必要条件 当 时 由于 m b b m 由面面垂直的性质定理知 b 又 a b a 是 a b 的充分条件 而当a 且a m时 b m b a 而此时平面 与平面 不一定垂直 不是 a b 的必要条件 故选a 答案 a 2 2012 浙江高考 设l是直线 是两个不同的平面 以下结论正确的是 a 若l l 则 b 若l l 则 c 若 l 则l d 若 l 则l 解析 利用线与面 面与面的关系定理判定 用特例法 设 a 若直线l 且l l 则l l 因此 不一定平行于 故a错误 由于l 故在 内存在直线l l 又因为l 所以l 故 所以b正确 若 在 内作交线的垂线l 则l 此时l在平面 内 因此c错误 已知 若 a l a 且l不在平面 内 则l 且l 因此d错误 答案 b 3 2011 辽宁高考 如图 四棱锥s abcd的底面为正方形 sd 底面abcd 则下列结论中不正确的是 a ac sbb ab 平面scdc sa与平面sbd所成的角等于sc与平面sbd所成的角d ab与sc所成的角等于dc与sa所成的角 解析 易证ac 平面sbd 因而ac sb a正确 ab dc dc 平面scd 故ab 平面scd b正确 由于sa sc与平面sbd的相对位置一样 因而所成的角相等 c正确 ab cd而sa不平行于sc 故所成的角不相等 d错误 答案 d 4 2011 浙江高考 下列命题中错误的是 a 如果平面 平面 那么平面 内一定存在直线平行于平面 b 如果平面 不垂直于平面 那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 c 如果平面 平面 平面 平面 l 那么l 平面 d 如果平面 平面 那么平面 内所有直线都垂直于平面 解析 两个平面 垂直时 设交线为l 则在平面 内与l平行的直线都平行于平面 故a正确 如果平面 内存在直线垂直于平面 那么由面面垂直的判定定理知 故b正确 两个平面都与第三个平面垂直时 易证交线与第三个平面垂直 故c正确 两个平面 垂直时 平面 内与交线平行的直线与 平行 故d错误 答案 d 5 2011 全国大纲高考 已知点e f分别在正方体abcd a1b1c1d1的棱bb1 cc1上 且b1e 2eb cf 2fc1 则面aef与面abc所成的二面角的正切值等于 说明 理科答案用法一 法二 文科答案只用法二 解析 法一 如图 建立空间直角坐标系 法二 如图 设正方体的棱长为3 则由题意知cf 2 be 1 分别延长fe cb交于点m 连接am 作bn am于点n 连接en 1 直线与平面垂直 1 直线和平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的直线都垂直 那么称这条直线和这个平面垂直 任何一条 2 直线与平面垂直的判定定理 3 直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一平面的两平面是否平行 提示 不一定 可能平行也可能相交 3 二面角 1 二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的 叫做二面角 2 二面角的平面角 以二面角的棱上任一点为端点 在两个半平面内分别作的两条射线 这两条射线所成的角叫二面角的平面角 以直线ab为棱 半平面 为面的二面角 记作二面角 3 直二面角 平面角是直角的二面角叫直二面角 二面角的平面角的范围是 当两个半平面重合时 相交时 共面时 图形 垂直于棱 ab 0 180 0 0 180 180 如图所示 p为 abc所在平面外一点 pa 平面abc abc 90 ae bp于e af pc于f 求证 1 bc 平面pab 2 ae 平面pbc 3 pc ef 思路点拨 转化本题设条件 把线线垂直转化为线面垂直 尝试解答 1 pa 平面abc bc 平面abc pa bc ab bc ab pa a bc 平面pab 2 bc 平面pab ae 平面pab bc ae pb ae bc pb b ae 平面pbc 3 ae 平面pbc pc 平面pbc ae pc af pc ae af a pc 平面aef 而ef 面aef pc ef 归纳提升 证明线面垂直的常用方法 1 利用线面垂直定义 证一直线垂直于平面内任意一直线 则这条直线垂直于该平面 2 用线面垂直的判定定理 证一直线与平面内两相交直线都垂直 则这条直线与平面垂直 3 用线面垂直的性质 两平行线之一垂直于这个平面 则另一条也必垂直于这个平面 4 用面面垂直的性质定理 两平面垂直 在一个面内垂直于交线的直线必垂直于另一平面 5 用面面平行的性质 一直线垂直于两平行平面之一 则必垂直于另一平面 2012 全国新课标高考 如图 在三棱柱abc a1b1c1中 侧棱垂直底面 acb 90 ac bc aa1 d是棱aa1的中点 1 证明 平面bdc1 平面bdc 2 平面bdc1分此棱柱为两部分 求这两部分体积的比 思路点拨 1 证线面垂直 dc1 面bdc 2 关键是求四棱锥b dacc1的体积 尝试解答 1 由题设知bc cc1 bc ac cc1 ac c 所以bc 平面acc1a1 又dc1 平面acc1a1 所以dc1 bc 由题设知 a1dc1 adc 45 所以 cdc1 90 即dc1 dc 又dc bc c 所以dc1 平面bdc 又dc1 平面bdc1 故平面bdc1 平面bdc 归纳提升 1 判定面面垂直的方法 1 面面垂直的定义 作两平面构成二面角的平面角 计算其为90 2 面面垂直的判定定理 a a 2 面面垂直的性质 1 两平面垂直 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 此种方法要注意 平面内的直线 2 两个相交平面同时垂直于第三个平面 那么它们的交线也垂直于第三个平面 3 在证明线面垂直 面面垂直时 一定要注意判定定理成立的条件 同时抓住线线 线面 面面垂直的转化关系 即 2012 江苏高考 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 a1b1 a1c1 d e分别是棱bc cc1上的点 点d不同于点c 且ad de f为b1c1的中点 求证 1 平面ade 平面bcc1b1 2 直线a1f 平面ade 思路点拨 1 关键先证线面垂直 ad 面bcc1b1 2 证a1f ad 尝试解答 1 因为abc a1b1c1是直三棱柱 所以cc1 平面abc 又ad 平面abc 所以cc1 ad 又因为ad de cc1 de 平面bcc1b1 cc1 de e 所以ad 平面bcc1b1 又ad 平面ade 所以平面ade 平面bcc1b1 2 因为a1b1 a1c1 f为b1c1的中点 所以a1f b1c1 因为cc1 平面a1b1c1 且a1f 平面a1b1c1 所以cc1 a1f 又因为cc1 b1c1 平面bcc1b1 cc1 b1c1 c1 所以a1f 平面bcc1b1 由 1 知ad 平面bcc1b1 所以a1f ad 又ad 平面ade a1f 平面ade 所以a1f 平面ade 考情全揭密 从近几年的高考试题来看 线面垂直的判定与性质 面面垂直的判定与性质 以及线面角 二面角的求法等是高考的热点 题型既有选择题 填空题 又有解答题 难度中等偏高 客观题突出 小而巧 主要考查垂直的判定及性质 考查线面角 二面角的概念及求法 主观题考查较全面 在考查上述知识的同时 还注重考查空间想象能力 逻辑推理能力以及分析问题 解决问题的能力 从命题方向上来看 2014年高考中垂直关系仍是热点 命题新动向 文 与垂直有关的探究性问题对于这类问题应先把题目中已确定的位置 大小关系作出全面认识和正确的推理 再对变化不定的线面关系进行观察 尝试作出各种常见的辅助线 辅助面进行判断 另外还要灵活运用观察 联想 类比 猜想 分析 综合 一般化 特殊化等科学思维方法 才能使开放性问题快速有效地解决 理 直线与平面所成的角 二面角高考中对直线与平面所成的角及二面角的考查是热点之一 有时在客观题中考查 更多的是在解答题中考查 求这两种空间角的步骤 根据线面角的定义域二面角的平面角的定义 作 找 出该角 再解三角形求出该角 步骤是作 找 证 认 指 求 在客观题中 也可用射影法 文 2012 北京高考 如图 1 在rt abc中 c 90 d e分别为ac ab的中点 点f为线段cd上的一点 将 ade沿de折起到 a1de的位置 使a1f cd 如图 2 1 求证 de 平面a1cb 2 求证 a1f be 3 线段a1b上是否存在点q 使a1c 平面deq 说明理由 规范解答 1 因为d e分别为ac ab的中点 所以de bc 又因为de 平面a1cb 所以de 平面a1cb 2 由已知得ac bc且de bc 所以de ac 所以de a1d de cd 所以de 平面a1dc 而a1f 平面a1dc 所以de a1f 又因为a1f cd 所以a1f 平面bcde 所以a1f be 3 线段a1b上存在点q 使a1c 平面deq 理由如下 如图 分别取a1c a1b的中点p q 则pq bc 又因为de bc 所以de pq 所以平面deq即为平面dep 由 2 知 de 平面a1dc 所以de a1c 又因为p是等腰三角形da1c底边a1c的中点 所以a1c dp 所以a1c 平面dep 从而a1c 平面deq 故线段a1b上存在点q 使得a1c 平面deq 理 2012 山东高考 在如图所示的几何体中 四边形abcd是等腰梯形 ab cd dab 60 fc 平面abcd ae bd cb cd cf 1 求证 bd 平面aed 2 求二面角f bd c的余弦值 规范解答 1 因为四边形abcd是等腰梯形 ab cd dab 60 所以 adc bcd 120 又cb cd 所以 cdb 30 因此 adb 90 即ad bd 又ae bd 且ae ad a ae ad 平面aed 所以bd 平面aed 2 法一 由 1 知ad bd 所以ac bc 又fc 平面abcd 因此ca cb cf两两垂直 以c为坐标原点 分别以ca cb cf所在的直线为x轴 y轴 z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 不妨设cb 1 法二 如图 取bd的中点g 连接cg fg 由于cb cd 因此cg bd 又fc 平面abcd bd 平面abcd 所以fc bd 由于fc cg c fc cg 平面fcg 所以bd 平面fcg 故bd fg 所以 fgc为二面角f bd c的平面角 在等腰三角形bcd中 由于 bcd 120 解 1 如图所示 连接ab1 又 ab aa1 四边形abb1a1是正方形 ba1 ab1 又ca ab1 a ba1 平面cab1 故cb1 ba1 理 2012 广东高考 如图所示 在四棱锥p abcd中 底面abcd为矩形 pa 平面abcd 点e在线段pc上 pc 平面bde 1 证明 bd 平面pac 2 若pa 1 ad 2 求二面角b pc a的正切值 尝试解答 1 pa 平面abcd bd 平面abcd pa bd 同理由pc 平面bde可证得pc bd 又pa pc p bd 平面pac 2 法一 如图 设bd与ac交