矩阵可逆的若干判别法.doc

重庆三峡学院毕业设计（论文）题目：矩阵可逆的若干判别法 专 业：数学与应用数学 年 级：2009级 学 号：200906034129 作 者：姜清亭 指导老师：涂正文 完成时间：2013年5月目 录摘要iabstractii1 引言12 基础知识12.1 基本概念12.2 矩阵可逆的性质33 矩阵可逆的若干判别方法33.1定义法33.2 行列式判别法43.3 伴随矩阵判别法43.4 初等变换判别法53.5 秩判别法73.6 线性方程组判别法73.7 哈密顿凯莱定理求逆矩阵103.8 特征值判别法113.9 利用gauss-jordan法求逆矩阵114 常见矩阵的可逆性135 其他逆矩阵的求法165.1 秩判别法求逆矩阵165.2 用分块矩阵求逆矩阵175.3 拼接新矩阵185.4 -矩阵判别法195.5 用相除法判断循环矩阵可逆205.6 矩阵多项式求逆矩阵22小结22致 谢23参考文献23矩阵可逆的若干判别方法姜清亭（重庆三峡学院数学与统计学院数学与应用数学专业2009级 重庆万州 404100）摘要: 对线性代数和代数学而言，矩阵既是一个主要研究对象又是一个重要工具, 而可逆矩阵是矩阵运算理论的整体中不可或缺的一部分. 在矩阵理论中, 可逆矩阵所占据的地位是不可替代的, 在坐标轴旋转变换公式的矩阵表示、线性变换、线性方程组等理论研究中，它均具有重要意义. 而且在许多有关数学、物理，经济的实际问题中，常常需要通过建立合适的数学模型转化为相关的线性代数和代数学问题等, 从而可逆矩阵也是解决实际问题比较常用的工具之一.关键词：矩阵; 逆矩阵; 初等变换; 伴随矩阵 iireversible matrix discriminant methodjiang qing-ting(grade 2009, mathematics and applied mathematics, college of mathematics and statistics chongqing three gorges university, wanzhou, chongqing 404100 )abstract: as for linear algebra and algebra, matrix is not only a main research object but also a important tool. however, the invertible matrix is a indispensable part of the matrix manipulation theory. and in the matrix theory, invertible matrix takes a irreplaceable role and it has a lot of significance in axis rotation transformation formula of matrix representation, linear transformation and linear system of equations and so on. whats more, in math, physics and economics, it usually needs to establish a suitable math model to change into problem which relates to linear algebra. therefore, the invertible matrix is a very common and useful tool which is used to deal with practical issue.key words: matrix; inverse matrix; elementary transformation; adjoint matrix iii2013届数学与应用数学专业毕业设计（论文）1 引言矩阵理论是线性代数的一个主要内容, 也是处理实际问题的重要工具, 而可逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有重要地位. 英国数学家西尔维斯特、凯莱在研究线性方程组时先后引入矩阵的概念. 凯莱于1858年在矩阵论的研究报告中定义了两个矩阵相等、相加以及数与矩阵的数乘等运算和运算律并随后定义了转置阵、对称阵等概念; 现在矩阵作为高等代数, 这一伟大数学图腾的重要分支之一, 在日常生活、学习、工作中都发挥了卓越的工具作用.而可逆矩阵是矩阵理论的一个基础支流, 基于自身的性质特点，为更高层次矩阵问题的解决提供了便利，更是丰富了矩阵的理论内容. 现今矩阵的发展十分迅速，如今它已经成为在物理、控制论、机器人学、生物学、经济学等学科的重要工具, 广泛地被应用于数学、物理、经济等领域.2 基础知识2.1 基本概念定义 阶方阵称为可逆的，如果存在阶方阵，使得 , （1）其中是阶单位矩阵.定义 如果适合（1），那么就称为的逆矩阵，记作 .定义 设是矩阵中元素的代数余子式，矩阵 ,称为的伴随矩阵.定义 设, 称矩阵的行向量组的秩为的行秩, 矩阵的列向量组的秩为的列秩，矩阵的行秩等于矩阵的列秩, 统称为矩阵的秩, 记为秩或.定义 矩阵的三类初等行变换： (1)对调矩阵中某两行(列)的位置, 记为； (2)用以非零常数乘以矩阵的某一行(列), 记为； (3)将矩阵的某一行（列）乘以数后加到另一行（列）上去，记为 .定义 对单位矩阵施加以第一类、第二类、第三类初等变换后得到的矩阵分别称为第一类、第二类及第三类初等矩阵.第一类初等矩阵表示将单位阵的第行与第行对换后得到的矩阵：.注意 也可以由单位矩阵的第列与第列对换后得到的矩阵.第二类初等矩阵等于将常数乘以单位阵的第行（或列）而得到的矩阵：.第三类初等矩阵表示将单位阵的第行（第列）乘以后到第行（第列）上得到的矩阵：.定义 对施加一系列初等变换, 它变为, 则称与等价.定义 称方阵为循环矩阵, 如果, 也记, 它的各行是由第一行逐个移动一位而最右端元素转回到最左端所得.定义 如果阶矩阵满足(即), 则称为正交矩阵.2.2 矩阵可逆的性质性质 若为可逆阵，则.性质 若为可逆阵，则(为任意一个非零的数)都是可逆阵, 且 , .性质 , 其中, 均为阶可逆阵.性质 .性质 .性质 是一个矩阵，如果是可逆矩阵，是可逆矩阵，那么 .3 矩阵可逆的若干判别方法 3.1定义法设是数域上的一个阶方阵, 如果存在上的阶方阵, 使得,则称是可逆的, 又称b为a的逆矩阵. 当矩阵a可逆时, 逆矩阵由a惟一确定, 记为.例 1 已知阶矩阵满足. 证明可逆并求出.证明:由, 可得 ，从而 ，所以存在一个矩阵, 使，由定义知可逆, 且 .注：利用定义凑的方法, 当条件中有矩阵方程时, 通过矩阵运算规律从矩阵方程中凑出(或)的形式, 从而可得. 这种方法实际上是通过直接找到矩阵的逆, 进而根据矩阵可逆的定义来证明矩阵可逆的, 它多适用于简单矩阵和非具体矩阵.3.2 行列式判别法引理 矩阵可逆是方阵且(非退化)矩阵可逆的充分必要条件是, 可逆.证明：必要性, 设, 是可逆的, 则的各列是个线性无关的维向量,这迫使. 另一方面,也是可逆, 这又迫使, 因而, 故是方阵. 当, 由可知, 可逆,且. 充分性, 如果可逆, 那么有. 两边取行列式, 得, 因而,即非退化, 故可逆. 例 2 判断矩阵是否可逆.解：先将第一行中的公因子提出, 可得 ,于是 因此，, 故可逆.注：此定理判断矩阵可逆很容易, 只是求逆矩阵非常的麻烦, 适用于求低阶矩阵（二阶、三阶）的逆矩阵的情况.3.3 伴随矩阵判别法引理 若可逆存在, 使得, 即,.注 对于阶数较低（一般不超过3阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵. 注意元素的位置及符号. 特别地, 对于2阶方阵，其伴随矩阵即伴随矩阵具有“主对元素互换, 次对角元素变号”的规律. 对于分块矩阵不能按上述规律求伴随矩阵.例 3 设矩阵, 判断是否可逆. 若可逆, 求.解： 由, 知可逆, 而 ,于是 .注：计算需要个阶行列式，还需要计算, 计算量较大, 且容易出错; 因此用公式法求矩阵的逆矩阵一般适用于低阶矩阵或较简单的高阶矩阵, 以及理论问题. 如二阶、三阶矩阵就适用该法, 四阶及其以上阶数不适宜用该方法. 此外该题也可用初等行（列）来计算.3.4 初等变换判别法引理 对矩阵施行初等行（或者列）变换得到的矩阵, 则可逆可逆. 即是 或. 证明：设用初等行或列变换, 将变为, 因为初等变换是等价变换, 从而不改变的秩, 所以与秩相等, 故与有相同的可逆性, 从而可逆等价于可逆. 命题得证.注: 对于阶数较高（）的矩阵, 采用初等行变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便. 在用上述方法求逆矩阵时, 只能施行初等行（列）变换.例 4 已知 , 求矩阵的逆矩阵.解: 法一 用初等行变换求的逆矩阵. ,所以.法二 用初等列变换求的逆矩阵. ,所以 .注: 在事先不知道阶矩阵是可逆的情况下, 可直接用此方法, 也可用来判断可逆. 如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0, 则意味着不可逆. 另外用初等行变换法求时, 对只能施行一系列初等行变换, 而不能用初等列变换. 同理对只能施行一系列初等列变换, 而不能用初等行变换.3.5 秩判别法引理 阶方阵可逆.证明: 充分性, 由可逆, 知, 再由矩阵秩的定义可得. 所以由可逆可推得.反过来, 必要性也显然成立.例 5 已知, 判断矩阵是否可逆.解：.从而=3, 故矩阵可逆. 3.6 线性方程组判别法1.齐次线性方程, 即(其中为该齐次方程组的系数矩阵）只有零解可逆.证明：用分别代表系数矩阵各列, 则齐次方程组可写成,方程组只有零解,即 ,从而线性无关，而线性无关的充要条件为可逆.故命题得证.2. 非齐次线性方程 即（其中为该方程组的系数矩阵）有唯一解可逆.证明：用分别代表系数矩阵各列，即 ,则方程组可以写成向量形式, 由, 知成的一组基, 故每个向量都可以写成的线性组合的形式，即,且系数由唯一决定. 换句话说, 命题中的方程组有唯一解. 反过来若方程组有唯一解, 则必然有, 否则方程组无解或有无穷多解.引理 根据上(下)三角矩阵的逆矩阵仍是上(下)三角矩阵, 且上(下)三角矩阵的逆矩阵的主对角元分别为上(下)三角矩阵对应主对角元的倒数, 于是可设出逆矩阵的对应元素; 又由两端对应元素相等, 依次可得只含有一个待求元素的方程,进而求得待求元素的值, 得到其逆矩阵. 此法常用元素待求上(下)三角矩阵的逆矩阵.例 6 已知齐次线性方程组, 将其系数矩阵记为, 若存在三阶矩阵使得, 求及解：根据题目中, 显然得知方程组存在非零解, 于是 , 即, 因为 , 而,又由知, 可见方程组存在零解（存在非零列）, 于是 .所以 ,.例 7 求的逆矩阵.解：设,因为,所以 ,于是 , , , , , .所以. 3.7 哈密顿凯莱(hamilton-caley)定理求逆矩阵哈密尔顿一凯莱定理：设是数域上的阶矩阵 为的特征多项式，则 ,于是， ,故.例 8 已知, 求.解：的特征多项式,由hamilton-caley定理知：，所以 . 3.8 特征值判别法引理 矩阵可逆的充要条件是它的特征值不等于零.例 9 判断是否可逆.解: 解得特征值为 所以矩阵可逆.3.9 利用gauss-jordan法求逆矩阵引理 设是维向量, 矩阵可逆, 且, 若, 则.证明：已知，那么我们有 于是 进而 所以故 例 10 已知非齐性方程组 求方程组的解.解： 因为方程组对应的系数矩阵和右端向量矩阵分别为,所以,进而得 ,因为 所以 ,又因为, 所以可解得 .4 常见矩阵的可逆性4.1 单位矩阵是可逆的.证明：因为显然成立, 故根据矩阵可逆的定义可知单位矩阵可逆, 进而知道, 所以也是可逆的.4.2 令对角矩阵, 若它的主对角线上的元均不为零, 则可逆. 证明：记 , ,因为, 故根据矩阵可逆的定义可知, 是可逆的.4.3 数量矩阵可逆. 证明：因为,而单位矩阵是可逆的, 由矩阵可逆的性质2知, 故可逆.4.4 分块矩阵4.4.1 设, 且可逆, 则(1)准对角矩阵可逆, 且;(2)可逆，且.证明：(1)因为可逆, 故存在, 使得 ,故可逆，且有,类似地，我们可以证明可逆，且有.4.4.2 设, 且可逆，则(1) 若分块矩阵与可逆，则;.(2)分块矩阵可逆，则 .证明：(1)对任意, 有成立，特别地, 若令, 则有：;同理，可得: .(2)因为 , 所以 .4.5 当时, 有, 矩阵称为上三角形矩阵, 可逆上三角形矩阵的逆仍是上三角形矩阵.证明:令, 设是的逆, 即,比较和的第一列元素： 因为, 所以 进而. 同理可以比较其它列, 得时, 所以是上三角形矩阵, 故可逆上三角形矩阵的逆仍是上三角形矩阵.注: 此结论对下三角形矩阵也是成立的.4.6 正交矩阵是可逆的, 且.例 11 已知为一对称正交阵, 求的逆矩阵.解： 因为为正交阵，由定义知，故, 所以4.7 线性空间中，一组基到另外一组基的过渡矩阵是可逆的. 4.8 线性空间中，任意一组基对应的度量矩阵是可逆的.5 其他逆矩阵的求法5.1 秩判别法求逆矩阵若阶矩阵的秩为, 则矩阵可逆; 利用初等行变换将矩阵化为行阶梯型矩阵求其秩, 看是否等于矩阵的阶数或者计算矩阵的各级子式, 从阶数最高的子式开始, 找到不等于零的子式中阶数最大的一个子式, 则这个子式的阶数就是矩阵的秩. 再利用伴随矩阵、初等变换、哈密顿凯莱定理等求逆矩阵. 例 12 已知, 判断是否可逆; 若可逆, 求出逆矩阵. 解： ，因为, 所以可逆. 而 , ,所以 5.2 用分块矩阵求逆矩阵设、分别为、阶可逆矩阵，则; ;.例 13 已知, 求.解： 将分块如下：因为,所以, ,进而有.5.3 拼接新矩阵在可逆矩阵的右方补加上一个单位矩阵, 在的下方补加上一个负单位矩阵, 再在的右下方补加上一个零矩阵, 从而得到一个新的方阵. 对该方阵施行第三种行的初等变换, 使其负单位矩阵化为零矩阵, 那么原来的零矩阵所化得的矩阵就是所要求的逆矩阵.例 14 求矩阵的逆矩阵.解：因为, 所以存在,构造矩阵有.将第一行依次乘以-2，-3和1，分别加到第二行、第三行和第五行，得, 将第二行依次乘以-1和1, 分别加到第三行和第四行，得 ,再将第三行依次乘以-3、2和-1，分别加到第四行、第五行、第六行，得 .故 .5.4 -矩阵判别法例 15 设, 判断矩阵是否可逆; 若可逆, 求出它的逆矩阵.解：因为,但的二阶子式, 所以 , 从而是不满秩的, 故不可逆.注：对于可逆的-矩阵, 如同数字矩阵一样, 也可以采用公式法（即伴随矩阵法）、初等变换法和分块矩阵的有关结果来求逆矩阵.5.5 用相除法判断循环矩阵可逆阶循环矩阵可逆的充分必要条件是与互素，即. 例 16 判断矩阵是否可逆.解：, 应用辗转相除法得 -1 -5 0由上式可见是与的一个最大公因式，则矩阵不可逆.例 17 判断矩阵是否可逆.解：, 应用辗转相除法得 -1 由上式可得下列等式：,.消去, 整理得由上知, 故可逆.5.6 矩阵多项式求逆矩阵设为一个阶矩阵, 是代数多项式. 在线性代数中, 常常会遇到求矩阵的多项式的逆矩阵这一问题. 一般可用待定系数法或分解因子法求其逆矩阵.例 18 已知矩阵满足, 求的逆矩阵.解：设,则有进而有 解得 所以 小结本文对矩阵的诸多定义、性质进行了介绍, 并对如何判断矩阵是否可逆进行了论证; 其次对逆矩阵的求法进行了系统的整理、总结、演算, 其中可逆矩阵的判别方法包括定义法、行列式法、初等变换法、伴随矩阵判别法、秩的判别法、辗转相除法、特征值判别法等, 同时对不同类型的问题就不同方法的解答进行了分析研究, 并总结部分方法在解决不同问题中的优劣, 另外对一些特殊矩阵的逆矩阵的存在性及求法进行了探讨.致 谢 在此首先要感谢我的指导老师. 本文无论是在资料查询、开题阶段, 还是在撰写、修改的每一环节, 都得到涂老师的细心指导, 在此向涂老师表示衷心地感谢! 同时要感谢在学习、生活、工作中给予我支持、帮助的同学和朋友. 另外要感谢数计学院的各位领导和老师，是你们的教诲使我拥有了不断拼搏的信念和勇气. 最后还要感谢培养我长大的父母，感谢您们！参考文献1王萼芳,石声明.高等代数（第三版）m.北京：高等教育出版社,19782张同斌,万建军.高等代数选讲m.合肥：合肥工业大学出版社,20093姚幕生.高等代数学m.上海：复旦大学出版社,20034刘洪星.高等代数选讲m.北京:机械工业出版社,20095赵树原.线性代数m.北京：中国人民大学出版社,19976刘希强,腾兴虎.高等代数全程学校指导与习题精解m.南京：东南大学出版社,20127曲秀英.矩阵可逆的几种判断方法j.山东省农业管理干部学院学报,2004,(05):152 8吴华安.矩阵多项式的逆矩阵的求法j.武汉理工大学学报,2004,20(4):89-919徐兰,舒贵福.也谈矩阵逆的求法j.长江理工大学学报,2011,6(2):126-13410郭微,孙玉祥.矩阵非奇异性的判定j.北京大学学报,