江苏高考数学复习三角函数解三角形第23课两角和与差的正弦余弦和正切公式教师用书.docx

第23课两角和与差的正弦、余弦和正切公式最新考纲内容要求ABC两角和(差)的正弦、余弦及正切1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sin_cos_cos_sin_；(2)cos()cos_cos_sin_sin_；(3)tan().2有关公式的变形和逆用(1)公式T()的变形：tan tan tan()(1tan_tan_)；tan tan tan()(1tan_tan_)3辅助角公式asin bcos sin().1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)存在实数，使等式sin()sin sin 成立()(2)在锐角ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定()(3)公式tan()可以变形为tan tan tan()(1tan tan )，且对任意角，都成立()(4)公式asin xbcos xsin(x)中的取值与a，b的值无关()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)sin 20cos 10cos 160sin 10_.sin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin(2010)sin 30.3(2017苏州模拟)若(0，)，cos ，则tan _.(0，)，cos ，sin ，tan .tan.4若sin cos 1，且，则_.sin cos 2sin1，sin，又，.5若tan ，tan( )，则tan _.tan tan().三角函数公式的基本应用(2014江苏高考)已知，sin .(1)求sin的值；(2)求cos的值解(1)因为，sin ，所以cos .故sinsincos cos sin .(2)由(1)知sin 22sin cos 2，cos 212sin2122，所以coscoscos 2sin sin 2.规律方法1.使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征2使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值变式训练1(1)若，tan，则sin _.(2)已知cos，则cos xcos的值是_(1)(2)1(1)tan，tan ，cos sin .又sin2cos21，sin2.又，sin .(2)cos xcoscos xcos xsin xcos xsin xcos1.三角函数公式的逆用及变形应用(1)若锐角，满足tan tan tan tan ，则_. 【导学号：62172128】(2)sin 50(1tan 10)_.(1)(2)1(1)tan().又，(0，)，.(2)sin 50(1tan 10)sin 50sin 50sin 501.规律方法1.逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式2tan tan ，tan tan (或tan tan )，tan()(或tan()三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用变式训练2(1)sin(65x)cos(x20)cos(65x)cos(110x)的值为_(2)在斜三角形ABC中，sin Acos Bcos C，且tan Btan C1，则角A的值为_(1)(2)(1)原式sin(65x)cos(x20)cos(65x)cos90(x20)sin(65x)cos(x20)cos(65x)sin(x20)sin(65x)(x20)sin 45.(2)由题意知：sin Acos Bcos Csin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C，在等式两边同除以cos Bcos C得tan Btan C，又tan(BC)1tan A，所以A.角的变换问题(1)设，都是锐角，且cos ，sin()，则cos _. 【导学号：62172129】(2)若0，0，cos，cos，则cos等于_(1)(2)(1)依题意得sin ，cos().又，均为锐角，所以0cos()因为，所以cos().于是cos coscos()cos sin()sin .(2)0，所以由cos，得sin，又0，且cos，sin，故coscoscoscossinsin.规律方法1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”2常见的配角技巧：2()()，()，等变式训练3定义运算adbc.若cos ，0，则等于_依题意有sin cos cos sin sin()，又0，0，故cos()，而cos ，sin ，于是sin sin()sin cos()cos sin().故.思想与方法1三角恒等变换的变“角”与变“名”问题的解题思路(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的拆分与组合的技巧，半角与倍角的相互转化，如：2()()，()()，406020，2等(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦2三角恒等变换的变“形”问题的求解思路根据三角恒等式子的“结构特征”进行变“形”，使得变换后的式子更接近已知的三角函数式，常用技巧有：(1)常值代换：1sin2cos2cos 22sin2tan ，sin cos ，sin cos 等(2)逆用、变用公式：sin sin cos()cos cos ，cos sin sin()sin cos ，tan tan tan()(1tan tan )等(3)通分、约分：如：1tan .(4)分解、组合：如：(sin cos )2(sin cos )22.(5)平方、开方：1sin 2(sin cos )2，1sin 2(sin cos )2，1cos 22cos2，1cos 22sin2等易错与防范1运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通2在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围课时分层训练(二十三)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1设tan ，tan 是方程x23x20的两根，则tan()的值为_3由题意可知tan()3.2(2017盐城模拟)tan 70tan 50tan 70tan 50的值等于_tan 120tan(5070)，tan 50tan 70tan 50tan 70，即tan 70tan 50tan 70tan 50.3在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若角终边经过点P(2,4)，则tan_. 【导学号：62172130】3由题意可知tan 2.tan3.4若sin()sin cos()cos ，且是第二象限角，则tan等于_sin()sin cos()cos ，cos .又是第二象限角，sin ，则tan .tan.5已知sin sin (cos cos )，则sin 3sin 3_.0由已知得：sin cos cos sin ，即coscos，又，.故，即.sin 3sin 3sin(3)sin 30.6若cossin ，则cos_.cossin ，cos sin ，cos sin cos.7若sin，sin()，则的值为_. 【导学号：62172131】5由sin()，sin()得5.8(2017苏锡常镇调研二)若tan ，tan()，则tan(2)_.tan ，tan()，tan(2)tan(2)tan().9若sin 2，sin()，且，则的值是_. 【导学号：62172132】sin 2，cos 2且，又sin()，.cos().因此sin()sin()2sin()cos 2cos()sin 2，cos()cos()2cos()cos 2sin()sin 2，又，所以.10(2017如皋市高三调研一)若sin 3sin(2)，则tan()tan _.0由sin 3sin(2)得sin()3sin()，cos()sin sin()cos 3sin cos()cos sin()，4cos sin()2sin cos()，tan()tan .tan()tan tan tan 0.二、解答题11已知，且sincos.(1)求cos 的值；(2)若sin()，求cos 的值解(1)因为sincos，两边同时平方，得sin .又，所以cos .(2)因为，所以.又sin()，得cos().cos cos()cos cos()sin sin().12(2017启东中学高三第一次月考)在ABC中，三个内角分别为A，B，C，已知sin2cos A.(1)求角A的值；(2)若B，且cos(AB)，求sin B.解由sin2cos A，得sin Acos A2cos A，即sin Acos A因为A(0，)，且cos A0，所以tan A，所以A.(2)因为B，所以ABB.因为sin2(AB)cos2(AB)1，所以sin(AB)，所以sin Bsin(A(AB)sin Acos(AB)cos Asin(AB).B组能力提升(建议用时：15分钟)1已知0，tan，那么sin cos _.由tan，解得tan ，即，cos sin ，sin2cos2sin2sin2sin21.0，sin ，cos ，sin cos .2若tan 2tan，则_.3coscossin，原式.又tan 2tan，原式3.3已知函数f(x