江苏省怀仁中学高中数学《椭圆及其标准方程》课件 新人教版选修21.ppt

椭圆的标准方程 天体中一些行星和卫星运行的轨道是什么 椭圆 生活中的椭圆 罐车的横截面 哈雷慧星及其运行轨道 认识椭圆 椭圆形的尖嘴瓶 椭圆形的精品 认识椭圆 主要内容 学习如何建立椭圆的方程 然后利用方程研究它们的性质 并学习运用这些性质解决实际问题的一些简单实例 2 2椭圆 椭圆 2 2 1椭圆及其标准方程 我们知道 在平面内到一定点的距离为定值的点的轨迹为圆 那么平面内与两个定点的距离的和为常数的点的轨迹是什么图形呢 数学实验 1 取一条细绳 2 把它的两端固定在板上的两定点f1 f2 3 然后用铅笔尖 m 把细绳拉紧 在板上慢慢移动 看看画出的图形是什么 f1 f2 m 观察做图过程 1 绳长应当大于f1 f2之间的距离 2 由于绳长固定 所以m与两个定点f1 f2的距离的和也固定 2a 2c 分析 1 轨迹是怎么来的 2 在这个运动过程中 什么是不变的 答 点m运动得到的 且不论运动到何处 绳长是不变的 即轨迹上任一点m与两个定点距离之和为同一常数2a 即 分析 1 椭圆的定义 平面上与两个定点f1 f2的距离的和等于常数 2a 大于f1f2 的点的轨迹叫做椭圆 定点f1 f2叫做椭圆的焦点 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 2c 椭圆定义的文字表述 椭圆定义的符号表述 注意 1 平面上 这是大前提 2 动点m与两个定点f1 f2的距离的和是等于常数2a 3 常数2a要大于焦距2c 即a c 4 当2a 2c时 轨迹是椭圆 当2a 2c时 无轨迹 当2a 2c时 轨迹是线段 2 椭圆的标准方程 取过焦点f1 f2的直线为x轴 x y m 设m x y 是椭圆上任意一点 f1 f2 由定义得 o mf1 mf2 2a 2a 2c 0 c 0 c 0 线段f1f2的垂直平分线为y轴 建立如图所示的直角坐标系 由 f1f2 2c c 0 则f1 c 0 f2 c 0 x y 移项得 两边平方得 移项化简得 两边再平方 所求椭圆的方程为 这个方程叫做椭圆的标准方程 它所表示的椭圆焦点在x轴上 焦点是f1 c 0 f2 c 0 且中心在原点 这里c2 a2 b2 由定义可知 2a 2c 即a c 所以 化简得 椭圆的标准方程 1 注 1 椭圆的焦点在x轴上 2 焦点是f1 c 0 f2 c 0 3 c2 a2 b2 若椭圆的焦点在y轴上 则焦点是f1 0 c f2 0 c 故其标准方程为 这里也有 c2 a2 b2 椭圆的标准方程 2 注 1 椭圆的焦点在y轴上 2 焦点是f1 0 c f2 0 c 3 c2 a2 b2 f1 f2 m 0 x y 练习1 判定下列椭圆的焦点在哪个轴上 并指明a b 再写出焦点的坐标 答 在x轴上 a 5 b 4 3 0 和 3 0 答 在y轴上 a 13 b 12 0 5 和 0 5 答 在y轴上 判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则 焦点在分母大的那个轴上 练习 练习 0 1 和 0 1 练习2 将下列方程化为标准方程 并判定焦点在哪个轴上 写出焦点坐标 在上述方程中 a b c满足什么条件 就表示椭圆 答 a b c同号 且a不等于b 练习 3 数学运用 例1求适合下列条件的椭圆的标准方程 1 两个焦点的坐标分别是 4 0 4 0 椭圆上一点m到两焦点距离的和等于10 2 两个焦点的坐标分别是 0 2 0 2 并且椭圆经过点 解 1 因为椭圆的焦点在x轴上 所以设它的标准方程为 2a 10 2c 8 a 5 c 4 b2 a2 c2 52 42 9 2 因为椭圆的焦点在y轴上 所以设它的标准方程为 由椭圆的定义知 又c 2 b2 a2 c2 10 4 6 例题 练习3 写出适合下列条件的椭圆的标准方程 1 a 4 b 1 焦点在x轴 2 a 4 c 150 5 焦点在y轴上 3 a b 10 c 50 5 答案 1 2 3 或 练习 思考 1 椭圆的标准方程有几个 答 两个 焦点分别在x轴 y轴上 2 给出椭圆标准方程 怎样判断焦点在哪个轴上 答 在分母大的那个轴上 答 a b c同号时 4 求一个椭圆的标准方程需求几个量 答 a b c中任意两个 1椭圆的定义 2椭圆的标准方程 3求椭圆标准方程的方法 坐标法待定系数法 例2平面内有两个定点的距离是6 写出到这两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程 解 1 判断 和是常数 且常数10大于两个定点之间的距离6 故点的轨迹是椭圆 2 取过两个定点的直线做x轴 它的线段垂直平分线做y轴 建立直角坐标系 从而保证方程是标准方程 3 根据已知求出a c 再推出a b写出椭圆的标准方程 所求轨迹是椭圆 两个定点为焦点 用f1 f2表示 由椭圆的定义知 2a 10 2c 6 又b2 a2 c2 16 解 故所求轨迹方程为 若以f1 f2所在直线为y轴 线段f1f2的中垂线为x轴 建立直角坐标系 则所求轨迹方程为 不妨以f1 f2所在直线为x轴 线段f1f2的中垂线为y轴 建立直角坐标系 例2已知平面内两定点间的距离是6 求到这两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程 变题一已知平面内两定点间的距离是6 求到这两个定点的距离的和是6的点的轨迹 轨迹是以两定点为端点的线段 变题二已知平面内两定点间的距离是6 求到这两个定点的距离的和是4的点的轨迹 无轨迹 变题三已知 abc的一边bc的长为6 周长为16 求顶点a的轨迹方程 解 以bc边所在直线为x轴 bc的垂直平分线为y轴 建立直角坐标系 则点a的轨迹方程为 若以bc边所在直线为y轴 bc的垂直平分线为x轴 建立直角坐标系 则点a的轨迹方程为 练习 1 已知三角形abc的一边bc长为6 周长为16 求顶点a的轨迹方