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文档简介

教育部重点课题新教育子课题 在高中数学教学中如何达到理想课堂的实践 导数的几何意义 一 复习 1 导数的定义 其中 其几何意义是表示曲线上两点连线 就是曲线的割线 的斜率 p 相切 相交 再来一次 p pn 割线 切线 t 当点pn沿着曲线无限接近点p即 x 0时 割线ppn趋近于确定的位置 这个确定位置的直线pt称为点p处的切线 切线 能否将圆的切线的概念推广为一般曲线的切线 直线与曲线有唯一公共点时 直线叫曲线过该点的切线 如果能 请说明理由 如果不能 请举出反例 不能 直线与圆有惟一公共点时 直线叫做圆的切线 所以 不能用直线与曲线的公共点的个数来定义曲线的切线 圆的切线定义并不适用于一般的曲线 通过逼近的方法 将割线趋于的确定位置的直线定义为切线 交点可能不惟一 适用于各种曲线 所以 这种定义才真正反映了切线的直观本质 m x y 割线与切线的斜率有何关系呢 即 当 x 0时 割线pq的斜率的极限 就是曲线在点p处的切线的斜率 函数y f x 在点x0处的导数的几何意义 就是曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线的斜率 即曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线的斜率是 故曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线方程是 导数的几何意义 例1 求曲线y f x x2 1在点p 1 2 处的切线方程 导数的几何意义的应用 注 旧方法也可以求 且新方法与旧方法相比还不显示出导数的优越性 但以下一题就可以显示出导数的优越性 这一题旧方法已经是力不从心无可救药了 必须要发明新方法即导数的方法 练习 如图 已知曲线 求 1 点p处的切线的斜率 2 点p处的切线方程 即点p处的切线的斜率等于4 2 在点p处的切线方程是y 8 3 4 x 2 即12x 3y 16 0 这是导数非常非常小的应用 原来方法没有效果了 必须发明新方法 那就是导数 q2 q3 q4 t 继续观察图像的运动过程 还有什么发现 h t o 结论 根据导数的几何意义 当某点处导数大于零时 说明在这点的附近曲线是上升的 即函数在这点附近是单调递增 当某点处导数小于零时 说明在这点的附近曲线是下降的 即函数在这点附近是单调递减 当某点处导数等于零时 说明是函数的最值点 这是导数又一个非常重要的应用 用导数判断函数的单调性结论是简单明了通俗易懂 这就是导数的伟大魅力 比如判断y x2 y x3的单调性 要复习高一的证法 再讲解导数的证法 高一证法同学早已忘光 通过比较知道导数的巨大魅力 导数是项伟大的发明 如爱因斯坦的狭义 广义相对论 证明y x3的单调性是某年的高考题 得分很低 有的同学可能觉得求导数每次按定义求运算量很大 其实同学们学到以后会发现这些有共同的公式去套 有人专门解出具有普遍意义的函数的导数 让人们只是套一下解题 讲这道应用题的目的是有的同学将来要当医生 医生是如何当的 那就
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