江苏省苏州市第五中学高考数学总复习 第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件.ppt

第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理 知识梳理1 分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案 在第一类方案中有m1种不同的方法 在第二类方案中有m2种不同的方法 在第n类方案中有mn种不同的方法 则完成这件事情 共有n 种不同的方法 m1 m2 mn 2 分步乘法计数原理完成一件事情需要分成n个不同的步骤 完成第一步有m1种不同的方法 完成第二步有m2种不同的方法 完成第n步有mn种不同的方法 那么完成这件事情共有n 种不同的方法 3 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 都涉及完成一件事情的不同方法的种数 它们的区别在于 分类加法计数原理与分类有关 各种方法相互独立 用其中的任一种方法都可以完成这件事 分步乘法计数原理与分步有关 各个步骤相互依存 只有各个步骤都完成了 这件事才算完成 m1 m2 mn 辨析感悟1 两个计数原理的理解 1 在分类加法计数原理中 两类不同方案中的方法可以相同 2 在分类加法计数原理中 每类方案中的方法都能直接完成这件事 3 在分步乘法计数原理中 每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的 4 在分步乘法计数原理中 事情是分两步完成的 其中任何一个单独的步骤都能完成这件事 2 两个计数原理的应用 5 教材习题改编 三个人踢毽 互相传递 每人每次只能踢一下 由甲开始踢 经过5次传递后 毽又被踢回给甲 则不同的传递方式共有10种 6 用数字2 3组成四位数 且数字2 3至少都出现一次 这样的四位数共有14个 感悟 提升 1 两点区别一是分类加法计数原理中 完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类 简单的说分类的标准是 不重不漏 一步完成 如 1 2 二是分步乘法计数原理中 各个步骤相互依存 在各个步骤中任取一种方法 即是完成这个步骤的一种方法 简单的说步与步之间的方法 相互独立 分步完成 如 3 4 2 两点提醒一是分类时 标准要明确 应做到不重不漏 可借助几何直观 探索规律 如 5 二是分步时 要合理设计顺序 步骤 并注意元素是否可以重复选取 如 6 中2 3可重复但至少各出现一次 考点一分类加法计数原理 例1 2013 福建卷改编 满足a b 1 0 1 2 且关于x的方程ax2 2x b 0有实数解的有序数对 a b 的个数为 当a 1时 b 1 0 1 有3种可能 当a 2时 b 1 0 有2种可能 由分类加法计数原理 有序数对 a b 共有4 4 3 2 13 个 答案13规律方法分类标准是运用分类计数原理的难点所在 重点在于抓住题目中的关键词或关键元素 关键位置 首先根据题目特点恰当选择一个分类标准 其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类 训练1 某同学有同样的画册2本 同样的集邮册3本 从中取出4本赠送给4位朋友 每位朋友1本 则不同的赠送方法共有 答案10种 考点二分步计数原理 例2 将字母a a b b c c排成三行两列 要求每行的字母互不相同 每列的字母也互不相同 则不同的排列方法共有 答案12种 规律方法 1 利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步 即分步是有先后顺序的 并且分步必须满足 完成一件事的各个步骤是相互依存的 只有各个步骤都完成了 才算完成这件事 2 分步必须满足两个条件 一是步骤互相独立 互不干扰 二是步与步确保连续 逐步完成 训练2 将一个四面体abcd的六条棱上涂上红 黄 白三种颜色 要求共端点的棱不能涂相同颜色 则不同的涂色方案有 解析因为只有三种颜色 又要涂六条棱 所以应该将四面体的对棱涂成相同的颜色 故有3 2 1 6种涂色方案 答案6种 考点三两个计数原理的综合应用 例3 2014 济南质检 如图 用4种不同的颜色对图中5个区域涂色 4种颜色全部使用 要求每个区域涂一种颜色 相邻的区域不能涂相同的颜色 则不同的涂色种数有 审题路线由于区域1 2 3与区域4相邻 由条件宜采用分步处理 又相邻区域不同色 因此应按区域1和区域3是否同色分类求解 答案96 规律方法 1 解决涂色问题 一定要分清所给的颜色是否用完 并选择恰当的涂色顺序 2 切实选择好分类标准 分清哪些可以同色 哪些不同色 训练3 如果一个三位正整数如 a1a2a3 满足a1a3 则称这样的三位数为凸数 如120 343 275等 那么所有凸数的个数为 解析若a2 2 则 凸数 为120与121 共1 2 2个 若a2 3 则 凸数 有2 3 6个 若a2 4 满足条件的 凸数 有3 4 12个 若a2 9 满足条件的 凸数 有8 9 72个 所有凸数有2 6 12 20 30 42 56 72 240 个 答案240 1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础并贯穿始终 1 分类加法计数原理中 完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类 2 分步乘法计数原理中 各个步骤相互依存 步与步之间的方法 相互独立 分步完成 2 1 切实理解 完成一件事 的含义 以确定需要分类还是需要分步进行 2 分类的关键在于要做到 不重不漏 分步的关键在于要正确设计分步的程序 即合理分类 准确分步 3 若综合利用两个计数原理 一般先分类再分步 创新突破8 与计数原理有关的新定义问题 典例 2012 湖北卷 回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数 如22 121 3443 94249等 显然2位回文数有9个 11 22 33 99 3位回文数有90个 101 111 121 191 202 999 则 1 4位回文数有 个 2 2n 1 n n 位回文数有 个 突破 由 式 理解 特殊 背景 回文数的含义 借助计数原理计算 结合 可从2位回文数 3位回文数 4位回文数探索求解方法 从特殊到一般发现规律 解析 1 4位回文数相当于填4个方格 首尾相同 且不为0 共9种填法 中间两位一样 有10种填法 共计9 10 90 种 填法 即4位回文数有90个 2 根据回文数的定义 此问题也可以转化成填方格 由计数原理 共有9 10n种填空 答案 1 90 2 9 10n 反思感悟 1 一题两问 以 回文数 为新背景 考查计数原理 体现了化归思想 将确定回文数的问题转化为 填方格 问题 进而利用分步乘法计数原理解决 将新信息转化为所学的数学知识来解决 2 从特殊情形入手 通过分析 归纳 发现问题中隐含的一些本质特征和规律 然后再推广到一般情形 必要时可以多列举一些特殊情形 使规律方法更加明确 自主体验 1 2014 扬州调研 从8名女生4名男生中 选出3名学生组成课外小组 如果按性别比例分层抽样 则不