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第二章确定性决策分析 广西大学数学与信息科学学院运筹管理系 确定型决策问题必须具备的条件 1 存在一个明确的决策目标 2 只有一个明确的自然状态 3 存在可供决策者选择的多个行动方案 4 可求得各方案在确定状态下的损益值 2 1盈亏决策分析 2 1 1盈亏决策分析的基本原理盈亏平衡点指项目在正常生产条件下 项目的利润为零的那一点 即项目的收入等于支出的那一点 此时 项目既不盈利也不亏损 若生产水平低于盈亏平衡点 则项目亏损 若生产水平高于盈亏平衡点 则项目盈利 2 1 1盈亏决策分析的基本原理 盈亏决策分析是利用投资项目生产中的产量 成本 利润三者的关系 通过测算项目达到正常生产能力后的盈亏平衡点 来考察分析项目承担风险能力的一种确定性分析方法 又称盈亏平衡分析 量本利分析或保本点分析 量本得分析的基本假设 1 项目分析期产销平衡 亦即假定其生产的全部产品都能销售出去 2 项目的总成本可分解为变动成本与固定成本 是产量的线性函数 变动成本总额随产销量成正比例变化 固定成本总额不随产销量的变化而改变 3 销售价格不变 从而销售收入是销售量的线性函数 4 项目所生产的产品和产品结构在一定时期内保持不变 符号说明 R 产品销售收入C 产品总成本L 产品总利润q 产品产 销 量F 产品固定成本总额Cv 产品变动成本总额p 产品销售单价v 单位产品变动成本m 单位产品边际贡献 贡献毛益 量本利基本关系式 销售收入 单价 销售量R p q总成本 固定成本总额 变动成本总额C F Cv变动成本总额 单价 单位变动成本Cv v q利润 收入 成本L R C 盈利区 单一产品的盈亏平衡点 图解法 图2 2盈亏平衡图 利润 单一产品的盈亏平衡点 解析法 盈亏平衡点 L 0解得 单一产品的目标利润销售量 额 目标利润点 L L目标 边际贡献 贡献毛益 分析 边际贡献 贡献毛益 指销售收入与变动成本的差额 记作g g R Cv p q v q p v q单位边际贡献 单位贡献毛益 产品单价与单位变动成本之差 记作m 即 m p v表示单位产品补偿固定成本或获取利润的能力 g m q 盈利区 边际贡献 贡献毛益 分析 图2 2边际贡献盈亏平衡图 利润 边际贡献 边际贡献 贡献毛益 分析 边际贡献是产品收入扣除自身变动成本后给企业所做的贡献 g p q v q它首先用于收回企业的固定成本 如果还有剩余则成为利润 如果不足以收回固定成本则发生亏损 L g F盈亏平衡时的产销量是使得边际贡献刚好补偿固定成本的产销量 即 F m qE 多产品的盈亏平衡分析 设某企业生产n种产品pi 第i种产品的单价qi 第i种产品的产 销 量Ri 第i种产品的销售额vi 第i种产品的单位可变成本mi 第i种产品的单位边际贡献gi 第i种产品的边际贡献总额 多产品的盈亏平衡分析 边际贡献率 边际贡献与销售收入之比 某产品的边际贡献率RMi该产品的单位边际贡献与单价之比 或该产品的边际贡献总额与其销售收入之比 多产品的盈亏平衡分析 边际贡献率综合边际贡献率RM全部产品的边际贡献总额与销售收入总额之比 综合边际贡献率RM 引入 i表示第i种产品的销售额占总销售额的比重 则有 即 综合边际贡献率RM等于各产品的边际贡献率以其产品销售额在总销售额中所占比重为权重的加权平均 多产品的盈亏平衡分析 多产品的盈亏平衡分析 G L F的关系与单一产品时相同 即 L G F在产品品种结构不变的条件下 如何求出综合盈亏平衡销售额 当产品品种结构不变 即 i不变 各产品的单价 单位变动成本不变时 RM不变 可以求出全部产品的综合盈亏平衡销售额 四 多产品的盈亏平衡分析 全部产品的盈亏平衡边际贡献总额为 gE F而 g RM R故有全部产品综合盈亏平衡销售额为 多产品的盈亏平衡点的计算 第一步 计算各种产品的销售额占总销售额的比重 i 第二步 计算综合边际贡献率RM 第三步 计算全部产品综合盈亏平衡销售额 多产品的盈亏平衡点的计算 第四步 计算各种产品的盈亏平衡销售额 第五步 计算各种产品的盈亏平衡销售量 经营杠杆系数 问 产销量变动百分之一时导致销售利润变动了百分之多少 定义 经营杠杆系数r是销售利润对产销量的弹性 单一产品结构的情形 经营杠杆系数 多种产品的情形设ri表示第i种产品的经营杠杆系数 则 全部产品的经营杠杆系数r为 经营杠杆系数 多种产品结构的情形全部产品的经营杠杆系数r表示每一种产品产销量都往同一方向变动百分之一时 利润总额变动的百分比 不论是单一产品还是多产品结构 经营杠杆系数都等于边际贡献额与利润的比值 经营杠杆系数 经营杠杆系数用于决策经营杠杆系数越大 销售利润对销售量变动的反映越灵敏 即销售量增加一定的百分比带来的利润增量越大 同时销售量减少一定的百分比使利润减少的数量也越大 在产品的市场前景好时 经营杠杆系数越大越有利 否则 经营杠杆系数不宜过大 固定成本越大 则经营杠杆系数越大 2 1 2盈亏分析的应用实例 例2 1某企业生产某种产品 在设备更新前其产品的售价为15元 单位产品可变成本为7元 每月固定成本费用为3200元 如果更新设备 则每月需增加固定成本600元 但由于先进设备的引进 单位可变成本降为5元 试做出决策 该企业的设备是否应更新 例2 1解 设C1 C2为设备更新前后的总成本 则有R 15 q设备更新前总成本为 C1 3200 7 q设备更新后总成本为 C2 3800 5 q可以求出设备更新前后的盈亏平衡点分别为 qE1 400 单位 qE2 380 单位 例2 1解 盈亏平衡点只能了解设备更新前后要保本分别应达到的产量 并不能比较两方案利润的大小 因为两方案收入相同 只是成本不同 只需比较其成本 成本低的方案利润大 图2 3设备更新前后的盈亏平衡图 例2 1解 令C1 C2 即3200 7q 3800 5q 可得q3 300分析 当q 300时 R C2 R C1 即设备更新后的盈利比设备更新前的盈利大 或亏损小 当q 400时 R C1 不更新设备方案此时会发生亏损 R 380时 R C2 更新设备方案此时会发生亏损 380 Q 400时 更新设备方案盈利 而不更新设备方案亏损 例2 1结论 若是产销量q 380件 则应更新设备 若q 300件 则应保留原设备 若300件 q 380件 更新后的成本略低于更新前的成本 但厂家仍与更新前一样会有亏损 这就应根据该厂的实际情况作慎重考虑 生产规模最优决策 例2 2某饮料厂生产一种饮料 固定成本4万元 变动成本每瓶4元 每瓶售价8元 出售该种饮料的目标利润为6万元 试确定至少应出售多少瓶 解 例2 2 如果估计25000瓶难以销售出去 要完成6万元的目标利润 就必须提高售价或降低成本 方案 1 降低固定成本 2 降低变动成本 3 提价 如果估计只能售出20 000瓶 请提出具体方案供决策 例2 2 由L p v q F当q 20 000瓶时 要使L 60 000元 可在目前基础上采取以下措施之一 1 固定成本总额降低2万元 2 每瓶降低变动成本1元 3 每瓶提价1元 产品结构决策 例2 3设某工厂的固定成本为600万元 生产A B C三种产品 如果该厂维持销售总额2500万元不变 但产品结构可由三种产品的售额比9 25 16变为12 10 3 两种方案的有关数据见表1 表2 为使企业获得较大利润 试对这两种产品结构方案作出选择 0 18 0 5 0 32 0 48 0 40 0 12 0 18 0 5 0 32 0 48 0 40 0 12 11 15 0 36 0 5 11 15 0 36 0 5 产品结构决策 解 计算方案一的综合边际贡献率RM1 方案一的综合盈亏平衡销售额为 产品结构决策 解 方案一的边际贡献总额为 方案一的利润总额为 产品结构决策 解 同理可计算出方案二相应的各指标 RM2 0 556R2E 1079 137万元g2 1390万元L2 790万元由此可见 即使总销售额没有提高 但由于改变了产品的结构 企业的盈亏平衡点和利润都发生变化 利润由580万元增加到790万元 净增210万元 故应选择方案二 2 2现金流及其时间价值 2 2 1现金流量的估计1 现金流量指一个投资项目引起的企业现金支出和现金收入增加的数量 包括 现金流出量 初始投资额及其他增加的现金支出现金流入量 投资项目所增加的现金收入现金净流量 现金流入量减现金流出量 2 2 1现金流量的估计 2 现金流量估计应注意的问题应与其他相关部门保持协调和一致 每个参与估计的人员使用统一的经济假设和标准 在估计中没有稳定性偏差 现金流量应按年估计 各年现金流量不能直接加以汇总 一个投资方案引起的现金流量变动部分 差额现金流量 才是该方案的相关现金流量 2 2 1现金流量的估计 3 现金流量的估计现金流入量的估计一个方案的现金流入包括 1 投产后的销售收入 2 财务财务安排的拨款或贷款 3 旧设备出售或报废收入 项目残值 4 变现损失所减少缴纳的所得税 2 2 1现金流量的估计 3 现金流量的估计现金流出量的估计一个方案的现金流出一般有 1 初始投资 土地 设备等 2 流动资金 3 毛经营成本 支付现金的部分 4 还款及支付利息 5 缴纳税金 6 其他付现成本 2 2 1现金流量的估计 例2 4某企业拟购买一台设备 买价2万元 运费1200元 固定资产投资方向调节税500元 投产时一次投入流动资金 垫付 5000元 10年内每年可得销售收入18000元 生产相应地增加生产和销售费用10000元 所得税率50 设备寿命10年 无残值 到期收回5000元流动资金 试计算该项目的现金流 解 1 初始投资 第0年 现金流量 设备价款20000元 运输安装费1200元 垫付流动资金5000元 固定资产调节税500元合计26700元 用 26700元表示 解 2 投产后1 9年每年现金流量相同 公式 年营业现金净流量 净利润 折旧费每年利润 销售收入 付现成本 折旧费年折旧额 20000 1200 10 2120元每年利润 18000 10000 2120 5880元净利润 利润 所得税 5880 1 50 2940元故1 9年 年营业现金净流量 2940 2120 5060元 第10年现金净流量 5060 5000 10060元 各年现金流量表 2 2现金流及其时间价值 2 2 2货币的时间价值1 货币的时间价值是指货币经历一定时间的投资和再投资所增加的价值 也称资金的时间价值 经济学认为 不同时期等额货币的价值是不同的 一定数量的货币在不同时期或时点上的价值量是不同的 其差额就是货币的时间价值 2 2 2货币的时间价值 如 100元人民币在第一年的价值量与其在第二年的价值量是不同的 假设年利率为5 则第一年的100元在第二年就变成了105元 两者之差105 100 5元就是这100元一年的时间价值 同理 此时200元一年的时间价值为10元 货币时间价值与货币的数量 时间间隔 利率有关 2 货币时间价值的计算 1 复利终值 将来值 F已知期初一次投入的货币为P 年利率为i 则n年末的终值为 式中 1 i n被称为复利终值系数 可查表 用符号 F P i n 表示 表示现在的一元在利率为i时 n年末的终值 1 复利终值 将来值 F 例2 5已探明一有工业价值的油田 目前立即开发可获利100亿元 若5年以后开发 由于价格上涨可获利160亿元 假设年利率12 求100亿元在5年末的终值 解 查表得 F P 12 5 1 762100 F P 12 5 176 2 亿元 故100亿元在5年末的终值为176 2亿元 因为176 2亿元 160亿元 因此现在开发较为有利 2 货币时间价值的计算 2 复利现值P指未来一定时间的特定资金F按复利计算相当于现在的价值 是为取得将来一定的本利和现在所需要的资金 式中 1 i n被称为复利现值系数 可查表 用符号 P F i n 表示 表示n年末一元按利率为i折算的现在的价值 2 复利现值 仍以例2 5油田开发为例 求5年后160亿元的现值 解 查表得 P F 12 5 0 5674160 P F 12 5 90 784 亿元 故5年末的160亿元的现值为90 784亿元 因为90 784亿元 100亿元 因此现在开发较为有利 2 货币时间价值的计算 3 年金终值年金是指等额 定期的系列收支 普通年金 递延年金 永续年金 3 年金终值 普通年金的终值F A 1 i n 1 A 1 i n 2 A 1 i A这是一个等比数列 可推导出以下公式 式中称为年金终值系数 可查表 用符号 F A i n 表示 表示一元普通年金在利率为i时 n年末的终值 3 年金终值 例2 6某项工程4年中每年末向银行借款30万元 年利率10 问第4年末应偿还本利和多少万元 解 查表得 F A 10 4 4 64130 F A 10 4 139 23 万元 故第4年末应偿还本利和139 23万元 4 年金现值 普通年金的现值P A 1 i 1 A 1 i 2 A 1 i n 1 A 1 i n这也是一个等比数列 可推导出以下公式 式中称为年金现值系数 可查表 用符号 P A i n 表示 表示n年的一元普通年金在利率为i时 在第一年初的价值 4 年金现值 例2 7某技改项目预计未来5年每年可增加收入20万元 假设新增加收入全部用于还款 年利率8 问这个技改项目最多可借款多少万元 解 查表得 P A 8 5 3 9926P 20 P A 8 5 79 854 万元 该技改项目最多可借款79 854万元 年金终值系数与年金现值系数 具有如下关系 年金现值系数 年金终值系数 复利现值系数或 年金终值系数 年金现值系数 复利终值系数即 5 资金回收系数 指项目初始投入的资金P应在预定的期限n年内收回 如年利率为i 每年应等额收回的数额A 式中称为资金回收系数 是年金现值系数的倒数 用符号 A P i n 表示 表示第一年初投入一元 利率为i n年内每年年末回收的年金值 5 资金回收数 例2 8某企业现借款1000万元的贷款 在10内以年利率12 均匀偿还 每年应付的金额是多少 解 查表得 P A 12 10 5 65 A P 12 10 5 65 1 0 17699A 1000 A P 12 10 176 99 万元 即每年应付的金额是176 99万元 6 资金存储数 指为在预定将来第n年末偿还一笔贷款F 若年利率为i 每年末应存储的等额资金数A 式中称为资金存储系数或偿债基金系数 用符号 A F i n 表示 是年金终值系数的倒数 表示为在第n年末偿还一元 利率为i时 n年内每年年末应存储的年金值 6 资金存储数 例2 9拟在5年后还清200万元债务 年利率10 问每年年末应向银行存储多少钱 才能使其本利和正好偿清这笔债务 解 查表得 F A 10 5 6 105 A F 10 5 6 105 1 0 1638A 200 A F 10 5 32 76 万元 即每年年末应向银行存储32 76万元 才能使其本利和正好偿清这笔债务 7 等差序列终值 等差序列指在一定的基础数值上逐期等额增加或等差减少形成的系列现金流量 一般是将第1期期末的现金流量A作为基础数值 然后从第2期期末开始逐期等差增加 或递减 G 基数为0的等差序列 At t 1 G一般的等差序列可看成是一笔年金与一笔基数为0的等差序列之和 7 等差序列终值 等差序列现金流At t 1 G在n年末的终值为 式中称为等差序列终值系数 记为 F G i n 可由年金终值系数计算出 8 等差序列现值 等差序列现金流At t 1 G在第一年初的现值为 式中称为等差序列现值系数 记为 P G i n 可由年金现值系数与复利现值系数计算出 9 等差换算系数 可求出与等差序列现金流At t 1 G等值的年金A 式中称为等差换算系数 用符号 A G i n 表示 例2 10某企业拟购买一台设备 其年收益额第一年为10万元 此后直至第8年末逐年递减3000元 设年利率为15 按复利计算 试求该设备8年的收益现值 这笔收益的等额年金是多少 解 将收益看成两部分 第一部分是8年每年10万的年金 第二部分是基数为0的等差序列 At t 1 G 其中G 0 3万元 第一部分的现值为 P1 10 P A 15 8 44 87 万元 例2 10解 等差额序列的现值为 P2 G P G 15 8 0 3 0 15 1 4 487 8 0 327 3 742 万元 因此总收益的现值为 P P1 P2 44 87 3 742 41 128 万元 相当于8年等额年金 A P A P 15 8 41 128 4 487 1 9 168 万元 货币时间价值的等值换算关系 表2 5货币时间价值的基本公式 续表2 5货币时间价值的基本公式 2 3无约束确定型投资决策 2 3 1基本假设 1 投资项目是独立的 2 投资来源是不受限制的 3 投资结果是确定的 4 投资项目是不可分割的 2 3无约束确定型投资决策 2 3 2价值型经济评价指标1 净现值 NPV 法净现值指标要求考察项目寿命期内每年发生的现金流量 按一定的折现率将各年净现金流量折现到同一时点 通常是期初 的现值 其累加值就是净现值 表达式为 1 净现值 NPV 法 式中 NPV 净现值 Ft 第t年的现金净流量 CIt 第t年的现金流入额 COt 第t年的现金流出额 i 折现率 评价单个方案的准则 若NPV 0 则表示方案可行 若NPV 0 则方案不可行 比较两个投资方案 取NPV较大的方案 效益的绝对数额较大 注 投资额不同 寿命不同的方案不可比 1 净现值 NPV 法 例2 11某设备的购价为4万元 每年的运行收入为1 5万元 年运行费用为0 35万元 四年后该设备可以按0 5万元转让 如果基准收益率为20 问此项设备投资是否值得 解 第一年初现金净流量为 4万元 4年每年年末的现金净流量分别为 1 15 1 15 1 15 1 65万元 例2 11解 NPV 4 1 15 P A 20 4 0 5 P F 20 4 0 7818 万元 0 故此项投资经济上不合理 在上例中 如果基准收益率为5 问此时该项投资是否值得 解 此时的净现值 NPV 4 1 15 P A 5 4 0 5 P F 5 4 0 49 万元 0即基准收益率为5 时 此项投资是值得的 1 净现值 NPV 法 一般情况下 净现金流量的净现值随折现率的增大而减小 故基准折现率定得越高 能被接受的方案就越少 净现值与折现率关系如图2 4所示 图2 4净现值与折现率的关系图 i 是一个具有重要经济意义的折现率临界值 被称为内部收益率 2 净年值 NAV 法 净年值是通过资金等值换算将项目净现值分摊到寿命期内各年 从第1年到底n年 的等额年值 其表达式为 NAV NPV A P i n 判断准则 若NAV 0 则项目在经济效果上可行 若NAV 0 则项目在经济效果上不可行 单个方案NAV法与NPV法评价结论是一致的 适于寿命期不同的方案的比较 NAV大者优 3 费用现值 PC 和费用年值 AC 在对多个方案比较选优时 如果诸方案产出价值相同 或者诸方案能够满足同样需要但其产出效益难以用价值形态计量时 可以通过对各方案费用现值和费用年值的比较进行选择 是净现值法与净年值法的特殊情形只能用于多个方案的比较 其判断准则是 费用现值或费用年值最小的方案为优 三 费用现值 PC 和费用年值 AC AC PC A P i n 式中 PC 费用现值 AC 费用年值 2 3 3效率型经济评价指标 1 内部收益率 IRR 法内部收益率是使净现值为零的折现率 是项目预期可达到的投资报酬率 判断准则 若IRR 资金成本 则项目在经济效果上可行 若IRR 资金成本 则项目在经济效果上不可行 1 内部收益率 IRR 法 例2 12某投资项目净现金流量表如下 当资金成本为12 时 使用内部收益率指标判断该项目在经济效果上是否可以接受 净现金流量表单位 万元 解 IRR 13 12 故该项目可行 2 外部收益率 ERR 法 外部收益率指投资的终值与用于再投资的净收益按基准折现率计算的总终值相等时的收益率 是对内部收益率的一种修正 计算外部收益率时再投资的收益率等于基准折现率 求解外部收益率的方程如下 2 外部收益率 ERR 式中 Kt 第t年的净投资额 NBt 第t年的净收益 i 基准折现率 ERR法的判别准则 若ERR i 则项目可以被接受 若ERR i 则项目不可以被接受 ERR i时 IRR ERR iERR i时 IRR ERR i 3 净现值率 NPVR 法 净现值率是项目净现值与项目投资总量现值 Ip 的比值 其计算公式为 式中 It 第t年的投资额 3 净现值率 NPVR 净现值率是一种效率型指标 其经济涵义是单位投资现值所能带来的净现值 若NPV 0 则NPVR 0 因为Ip 0 若NPV 0 则NPVR 0 因为Ip 0 在评价单个方案时 净现值率与净现值是等效评价指标 该指标主要用于多个投资额不同的方案的评价比较 4 投资收益率 R 法 投资收益率指项目在正常生产年份的净收益与投资总额的比率 其一般表达式为 式中 R 投资收益率 NB 正常生产年份的年平均净收益 I 投资总额 投资收益率 R 常用的具体形式 4 投资收益率 R 法 用投资收益率指标评价方案的经济效果 若基准投资收益率为Rb 判断准则 若R Rb 可以考虑接受 若R Rb 予以拒绝 缺点 未考虑货币的时间价值 一般用于技术经济数据不完整的项目的初步研究阶段 2 3 4时间型经济评价法 1 静态投资回收期 T 是从项目投建之日起 用项目各年的净现金流量将全部投资收回所需的期限 也是累加净现金流量第一次出现零值所需要的时间 设项目各年现金净流量为Ft t 1 2 n 静态投资回收期T满足 1 静态投资回收期 T 特殊情况下静态投资回收期的计算项目初始投资F0 第一年初现金流量 F0 第一年末开始每年现金净流入量相同 均为F 则静态投资回收期为 1 静态投资回收期 T 一般情况下静态投资回收期的计算计算各年累计净现金流量 m 直至开始出现正的 m的年份M 1 静态投资回收期 T 评价时需要对照基准投资回收期Tb判断准则为 若T Tb 则项目可以接受 若T Tb 则项目予以拒绝 缺点 无法了解项目的收益情况 未考虑时间价值 能否改进 2 动态投资回收期 Tp Tp是考虑了货币时间价值后的投资回收期 Tp满足 2 动态投资回收期 Tp 计算方法 计算各年净现金流量现的值累计 m 直至开始出现正值的年份M 例2 13投资回收期 折现率i 10 下表相关数据的单位 万元 6000 4000 3000 3500 5000 4500 4000 6000 10000 7000 3500 1500 T 4 1 3500 5000 3 7年 例2 13投资回收期 折现率i 10 下表相关数据的单位 万元 TP 5 1 1112 1682 1112 4 4年 6000 9636 7157 4527 1112 1682 2 3 5相对经济效益评价法 1 差额净现值 NPV 是两方案的差额现金流量的现值 判断准则 NPV 0 表明方案1经济效果好 NPV 0 表明方案2经济效果好 2 差额内部收益率 IRR 是使两方案各年的差额净现金流量的现值之和等于零的折现率 满足公式 判断准则 若 IRR i 则投资 现值 大的方案为优 即应选方案1 若 IRR i0 则投资 现值 小的方案为优 即应选方案2 注 差额现金流量全部同号时无法计算 3 差额投资回收期 T 指用两个方案的差额现金流量 未包括投资支出 去收回其差额投资额所需的年限 计算方法参考投资回收期的计算 判断准则 若 T Tb 标准投资回收期 时 应选择投资大的方案 若 T Tb 应选择投资额小的方案 2 4多方案投资决策 2 4 1独立型投资方案的决策独立方案 指各个方案的现金流量是独立的 不具备相关性 且任一方案的采