第四讲各种多属性决策方法.ppt

一 多属性决策问题的准备工作 设可供选择的方案集为 方案的属性集为 决策矩阵为 1 决策矩阵 例1学校扩建问题 设某地区现有6所学校 由于无法完全容纳该地区适龄儿童 需要扩建其中的一所 在扩建时既要满足学生就近入学的要求 又要使扩建的费用尽可能小 至于所扩建学校的教学质量我们稍后再考虑 经过调研 获得如下表所示的决策矩阵 例2研究生院评估 为了客观地评价我国研究生教育的实际状况和各研究生院的教学质量 国务院学位委员会办公室组织过一次研究生院的评估 为了取得经验 先选5所研究生院 收集有关数据资料进行了试评估 下表中所给出的是为了介绍各种数据预处理方法的需要而选的几种典型属性和经过调整了的数据 2数据预处理数据预处理又称属性值的规范化 主要有三个作用 1 属性值有多种类型 有的属性值越大越好 有的属性值越小越好 有的属性值越接近于某个值越好 因此 需要对决策矩阵中的数据进行预处理 使表中任一属性下性能越优的方案变换后的属性值越大 2 无量纲化 多目标间的不可公度性 要求仅用数值的大小来反映属性值的优劣 3 归一化 即把表中数均变换到 0 1 区间上 数据处理的本质是要给出某个指标的属性值在决策人评价方案优劣时的实际价值 1 线性变换原始的决策矩阵为Y yij 变换后的决策矩阵记为Z zij i 1 m j 1 n 设yjmax是决策矩阵第j列中的最大值 若j为效益型属性 则zij yij yjmax 1 采用上式进行数据预处理时 经过变换的最差属性值不一定为0 最佳属性值为1 若j为成本型属性 可以令zij 1 yij yjmax 2 经过 2 变换后的最佳属性值不一定为1 最差为0 成本型属性也可以用下式进行变换 zij yjmin yij 2 用式 2 变换后的属性最差不一定为0 最佳为1 且是非线性变换 2 标准0 1变换对于线性变换 属性值进行线性变换后 若属性j的最优值为1 则最差值一般不为0 若最差值为0 最优值就往往不为1 为了使每个属性变换后的最优值为1且最差值为0 可以进行标准0 1变换 对效益型属性j 令 3 最优值为给定区间时的变换设给定的最优属性区间为 yj0 yj yj 为无法容忍下限 yj 为无法容忍上限 则 5 变换后的属性值zij与原属性值yij之间的函数图形为一般梯形 4 向量规范化无论成本型属性还是效益型属性 向量规范化均用下式进行变换 这种变换也是线性的 但是它与前面介绍的几种变换不同 从变换后属性值的大小上无法分辨属性值的优劣 它的最大特点是 规范化后 各方案的同一属性值的平方和为1 因此常用于计算各方案与某种虚拟方案 如理想点或负理想点 的欧式距离的场合 5 原始数据的统计处理有些时候某个目标的各方案属性值往往相差极大 或者由于某种特殊原因只有某个方案特别突出 如果按一般方法对这些数据进行预处理 该属性在评价中的作用将被不适当地夸大 为此可以采用类似于评分法的统计平均方法 方法之一是设定一个百分制平均值M 将方案集X中各方案该属性的均值定位于M 再用下式进行变换 其中 是各方案属性j的均值 m为方案个数 M的取值可在0 5 0 75之间 专家打分数据的预处理有时某些性能指标很难或根本不能用适当的统计数据来衡量其优劣 通常要请若干个同行专家对被评价对象按指标打分 再用各专家打分的平均值作为相应指标的属性并据此确定被评价对象的优劣 为了改变无形中造成的各专家意见重要性不同的状况 使各位专家的意见在评价中起同样的重要作用 应该把所有专家的打分值规范到相同的分值区间 M0 M M0和M 的选值不同对评价结果并无影响 只要所有专家的打分值都规范到该区间就行 具体算法为 8 若选M0 0 M 1 上式就与效益型属性的标准0 1变换式 3 相同 9 5TOPSIS法1 TOPSIS法的解题思路TOPSIS是逼近理想解的排序方法 techniquefororderpreferencebysimilaritytoidealsolution 它借助多属性问题的理想解和负理想解给方案集X中各方案排序 理想解x 是一个方案集X中并不存在的虚拟的最佳方案 它的每个属性值都是决策矩阵中该属性的最好的值 而负理想解x0则是虚拟的最差方案 它的每个属性值都是决策矩阵中该属性最差的值 在n维空间中 将方案集X中的各备选方案xi与理想解x 和负理想解x0的距离进行比较 既靠近理想解又远离负理想解的方案就是方案集X中的最佳方案 并可以据此排定方案集X中各备选方案的优先序 TOPSIS法的思路可以用下图来说明 3 用TOPSIS法求解例2 1 对表所示属性值向量规范化 所得属性矩阵见下表 表中最右一列是属性2经式 5 变换后的值再进行向量规范化的结果 2 设权向量仍为w 0 2 0 3 0 4 0 1 得加权的量规范化属性矩阵如下 3 由上表和式 9 34 式 9 35 得理想解x 为 0 1939 0 2000 0 2872 0 01655 负理想解x0为 0 00692 0 0000 0 01592 0 06482 4 分别用式 9 36 和式 9 37 求各方案到理想点的距离di 和负理想点的距离di0 列于下表 5 计算排队指示值Ci 见上表 由Ci 值的大小可确定各方案的排序为 二 基于离差最大化的多属性决策方法 1 决策方法对于某一多属性决策问题 属性权重信息完全未知 决策矩阵为 A经过规范化处理后 得到规范化矩阵 假设属性权重向量为并满足单位化约束条件 则各方案的综合属性值可定义为 多属性决策 一般是对这些方案综合属性值的排序比较 若所有方案属性uj下的属性值差异越小 则说明该属性对方案决策与排序所起的作用越小 反之 如果属性uj能使所有方案的属性值有较大差异 则说明其对方案决策与排序将起重要作用 因此 从对方案进行排序的角度考虑 方案属性值偏差越大的属性 无论其本身的重要性程度如何 应该赋予越大的权重 特别地 若所有方案在属性uj下的属性值无差异 则属性uj对方案排序将不起作用 可令其权重为0 对于属性uj 用Vij w 表示方案与其他所有方案之间的离差 则可定义 令 则Vj w 表示对属性uj而言 所有方案与其他方案的总离差 根据上述分析 加权向量w的的选择应该使所有属性对所有方案的总离差最大 为此 构造目标函数为 于是 求权重向量w等价于求解如下最优化模型 解此最优化模型 作拉格朗日 lagrange 函数 求其偏导数 并令 求得最优解为 由于传统的加权向量一般都满足于归一化约束条件而不是单位化约束条件 因此在得到单位化权得向量w 之后 为了与人们的习惯用法一致 还可以对w 进行归一化处理 即令 由此得到 2 实例分析 某单位在教练机选型论证中 选取了10种国内外教练机 X1 L 39 X2 MB339 X3 T 46 X4 膺 X5 C101 X6 S211 X7 阿尔法喷气 X8 歼教5 X9 初教6 X10 T 4 评价指标属性为 u1 过载范围 u2 升限 u3 最大平飞速度 u4 着陆速度 u5 最大爬升率 u6 续航时间 其性能数据如下表 试对方案进行排序和择优 1 1 利用下列式子将数据归范化 效益型 成本型 由 1 1 得最优权重 W 0 0950 0 1464 0 1956 0 1114 0 2849 0 1667 再计算方案的综合属性值zi w Z w 0 5913 0 7410 0 6071 0 8323 0 6847 0 5894 0 8553 0 7107 0 4210 0 8810 X10 X7 X4 X2 X8 X5 X3 X1 X6 X9 三 基于信息商的多属性决策方法 1 决策方法熵的概念最初产生于热力学 它被用来描述运动过程中的一种不可逆现象 后来在信息论中用熵来表示事物出现的不确定性 熵值越大 系统的不确定性越大 下面介绍一种基于信息熵的多属性决策方法 步骤1 对于某一多属性决策问题 构造决策矩阵 并利用适当的方法把它规范化为 步骤2 计算矩阵 得到列归一化矩阵 其中 步骤3 计算属性输出的信息熵 步骤4 计算属性权重向量 其中 步骤5 计算方案xi的综合属性值zi w 并进行排序 预备知识1 互反判断矩阵 判断矩阵 满足 互反判断矩阵主要用在层次分析法中 2 模糊互补判断矩阵 设模糊矩阵 满足 三 对方案有偏好信息的多属性决策方法1 对方案的偏好信息为互反判断矩阵的情形对于某一多属于性决策问题 设决策矩阵 属性类型主要有效益型和成本型 为了消除不同物理量纲对决策结果的影响 决策时需要对A进行规范化处理 并得到规范化矩阵 设决策者根据互反标度对决策方案进行两两比较 并构造互反判断矩阵 为了使决策信息一致化 利用下列转换函数把所有方案的综合属性值转化成互反判断矩阵形式 其中 若互反判断矩阵 即 则有 或 在此情形下 可直接利用互反判断矩阵的排序方法 如特征向量法 求出矩阵H的排序向量 并依此对方案进行排序和择优 然而 互反判断矩阵和之间往往存在着一定的偏差 为此引入线性偏差函数 显然 为了得到合理的属性权重向量w 上述偏差值总是越小越好 为此可建立下列优化模型 构造拉格朗日函数 令 得到 2 对方案的偏好信息为模糊互补判断矩阵的情形 设决策者根据互补标度对决策方案进行两两比较 并构造模糊互补判断矩阵 为了使决策信息一致化 利用下列转换函数把所有方案的综合属性值转化成互补判断矩阵形式 其中 易知 一般情况下 模糊互补判断矩阵和之间往往存在着一定的偏差 为此引入线性偏差函数 显然 为了得到合理的属性权重向量w 上述偏差值总是越小越好 为此可建立下列优化模型 构造拉格朗日函数 令 得到 3 对方案的偏好信息为效用值的情形 设决策者对方案xi的偏好值以效用值 i的形式给出 i 0 1 i越接近1 决策者越偏好方案xi 这里把握规范化矩阵中的属性值rij看成决策者在属性uj下对方案xi的客观偏好值 由于种种条件的制约 决策者的主观偏好与客观偏好之间往往存在着一定的差距 为了使决策具有合理性 属性权重向量w的选择应使决策者的主观偏好值与客观偏好值 属性值 的总偏差最小化 为此建立下列单目标优化模型 解此模型 作拉格朗日函数 求其偏导数 并令 解得 四 基于理想点的多属性决策方法 1决策方法 1 由于决策方案xi越接近正理想点就越优 因此 可令方案xi与正理想点之间的加权偏差之和为 对于给定的权重向量w ei w 越小则方案xi越优 于是可建立如下多目标决策模型 由于每个方案都是公平竞争的 不存在任何偏好关系 因此可将模型 M 3 1 等权集结为如下单目标最优化模型 2实例分析 步骤1虽然上述各因素均为效益型 但量纲不一致 将决策矩阵转化为规范化矩阵R 如下表所示 五 基于方案满意度的多属性决策方法 1 决策方法 2实例分析 六 基于方差最大化模型的多属性决策方法 决策方法 2实例分析 七 部分权重信息下的两阶段多属性决策方法1 决策方法 2 实例分析 八 基于线性目标规划模