动力学理论+++.doc

2.3 多柔体系统动力学建模2.3.1 柔性体上点的位置向量、速度和加速度1柔性体系统中的坐标系 图2.5 柔性体上节点的位置柔性体系统中的坐标系如图2.5所示，包括惯性坐标系（）和动坐标系（）。前者不随时间而变化，后者是建立在柔性体上，用于描述柔性体的运动。动坐标系可以相对惯性坐标系进行有限的移动和转动。动坐标系在惯性坐标系中的坐标（移动、转动）称为参考坐标。与刚体不同，柔性体是变形体，体内各点的相对位置时时刻刻都在变化，只靠动坐标系不能准确描述该柔性体在惯性坐标系中的位置，因此，引入弹性坐标来描述柔性体上各点相对动坐标系统的变形。这样柔性体上任一点的运动就是动坐标系的“刚性”运动与弹性变形的合成运动。由于柔体上各点之间有相对运动，所以动坐标系的选择不是采用连体坐标系，而需要采用随着柔性体形变而变化的坐标系，即“浮动坐标系”。在研究多柔体系统时，合适的坐标系是非常重要的。在确定浮动坐标系时有两点准则：1、便于方程建立求解；2、柔性体刚体运动与变形运动的耦合尽量小。目前常见的浮动坐标系大致有如下5种，局部附着框架、中心惯性主轴框架、蒂斯拉德框架、巴克凯恩斯框架以及刚体模态框架。采用何种需因实际情况而定。 2柔性体上任意点的位置向量、速度和加速度在分析刚体平面运动的时候，把复杂的刚体平面运动分解为几种简单的运动。在对柔性体的运动，尤其是在小变形的情况下，也可以采用类似的方法。如某柔性体从位置L1运动到位置L2，其间运动可以分解为：刚性移动刚性转动变形运动。对于柔性体上任意一点P，其位置向量为： （2-158）为P点在惯性坐标系中的向量；为浮动坐标系原点在惯性坐标系中的向量；根据式2.2- 14，A为方向余弦矩阵；为柔性体未变形时P点在浮动坐标系中的向量;为相对变形向量，可以用不同的方法离散化，与讨论平面问题相同，对于点，该单元的变形采用模态坐标来描述，有： （2-159）式（2-159）中，为点满足里兹基向量要求的假设变形模态矩阵，为变形的广义坐标。柔性体上任一点的速度向量及加速度向量可以对式求对时间一阶导数和二阶导数得到： （2-160） （2-161）2多柔体系统的能量图2.6 柔性体变形模型（1）动能和质量矩阵考虑节点变形前后的位置、方向和模态，柔性体的广义坐标可以表示为： （2-176）速度表达式（2-160）在系统广义坐标式（2-176）的时间导数中表示为： （2-177）柔性体的动能为： （2-178）其中，和分别为节点的节点质量和节点惯性张量；，为点相对于全局坐标基的角速度在局部坐标基中的斜方阵表示。将式（2.3-20）和关系式代入式（2-178），得到动能的广义表达式： （2-179）上式中的质量矩阵为维的方阵，表示为： （2-180）其中下标分别表示平动、旋转和模态自由度。质量矩阵的六个独立分量分别表示为： （2-181）其中9个惯性时不变矩阵列表如下：式(2.3-24)中可以明显看出质量矩阵与模态坐标显性相关，而且由于引入转换矩阵和，质量矩阵也与系统的方向坐标显性相关。质量矩阵中的9个惯性时不变矩阵可通过计算有限元模型的个节点信息在预处理过程中一次性得到，从而简化运动微分方程的求解。节点信息包括：每个节点的质量，未变形时的位置矢量以及模态矩阵。（2）势能和刚度矩阵势能一般分为重力势能和弹性势能两部分，可用下列二次项表示： （2-182）在弹性势能中，是对应于模态坐标的结构部件的广义刚度矩阵，通常为常量。重力势能表示为： （2-183）其中表示重力加速度矢量，重力可对求导得； （2-184）（3）能量损失和阻尼矩阵阻尼力依赖于广义模态速度并可以从下列二次项中推导得出： （2-185）上式称为Rayleigh能量损耗函数。矩阵包含阻尼系数，它是常值对称阵。当引入正交模态振型时，阻尼矩阵可用对角线为模态阻尼率的对角阵来表示。对于每一个正交模态的阻尼率都可以取不同值，而且还能以该模态的临界阻尼的比值形式给出。3多柔体动力学方程柔性体的运动方程从下列拉格朗日方程导出： （2-186）其中，为约束方程； 为对应于约束方程的拉氏乘子；为如式（2.3-19）定义的广义坐标；为投影到上的广义力；为拉格朗日项，定义为，和分别表示动能和势能； 表示能量损耗函数。将求得的代入式（2.3-29），得到最终的运动微分方程为： （2-187）其中，为柔性体的广义坐标及其时间导数； 为柔性体的质量矩阵及其对时间的导数； 为质量矩阵对柔性体广义坐标的偏导数，它是一个维张量，为模态数。4.1.3 多刚体系统运动学对于多体系统的运动学分析，传统的理论力学是以刚体位置、速度和加速度的微分关系以及矢量合成原理为基础进行分析的，而计算多体系统动力学中的运动学分析则是以系统中连接物体与物体的运动副为出发点，所进行的位置、速度和加速度分析都是基于与运动副对应的约束方程来进行的。基于约束的多体系统运动学，首先寻求与系统中运动副等价的位置约束代数方程，再由位置约束方程的导数得到速度、加速度的约束代数方程，对这些约束方程进行数值求解，可得到广义位置坐标及相应的速度和加速度坐标，最后根据坐标变换就可以由系统广义坐标及相应导数得到系统中任何一点的位置、速度和加速度。由于机械系统在二维空间运动时，广义坐标、约束方程、问题规模以及问题求解都相对简单，故本节先讨论二维多体系统运动学以解释多体系统运动学基本理论，在此基础上再给出三维多体系统的运动学方程。1约束方程（位置方程）设一个平面机构由个刚性构件组成。在机构所在平面上建立一个全局坐标系，机构在该坐标系中运动；再为机构上每个构件建立各自的连体坐标系，可由连体坐标系的运动确定构件的运动。选定构件连体坐标系原点的全局坐标和连体坐标系相对于全局坐标系的转角组成构件的笛卡尔广义坐标矢量，如图2.2所示。由个刚性构件组成的系统的广义坐标数，则系统广义坐标矢量可表示为。图2.2 平面笛卡尔广义坐标一个实际的机械系统，系统中构件与支架或构件与构件之间存在运动副的联接，这些运动副可以用系统广义坐标表示为代数方程。设表示运动副的约束方程数为，则用系统广义坐标矢量表示的运动学约束方程组为： (2-8)这里给出的是定常完整约束情况。如果约束方程与时间相关，则自变量中显含时间项，这种约束被称为非定常约束；更一般的约束方程含有不可积速度项的不等式或关系式，这种约束称为非完整约束。一般的运动学约束是定常完整约束。对于一个有个广义坐标和个约束方程的机械系统，若，且这个约束方程是独立、相容的，则系统自由度。为使系统具有确定运动，可以有二种方法：（1）为系统添加与系统自由度DOF相等的附加驱动约束；（2）对系统施加力的作用。在（1）情况下，系统实际自由度为零，被称为是在运动学上确定的，在此情况下求解系统运动过程中的位置、速度和加速度的分析是运动学分析，运动学分析本身不涉及作用力或反作用力问题。但是对于运动学上确定的系统，可以求解系统中约束反力，即已知运动求作用力，这是动力学逆问题。在（2）情况下，系统有着大于零的自由度，但是在外力作用力，对于具有确定构型和特定初始条件的系统，其动力学响应是确定的，这种情况下求解系统运动过程中的位置、速度和加速度的分析，称为动力学分析。在这种情况下，特殊地，如果外力与时间无关，可以求解系统的静平衡位置，这就是静平衡分析问题。考虑运动学分析，为使系统具有确定运动，也就是要使系统实际自由度为零，为系统施加等于自由度（）的驱动约束： (2-9)在一般情况下，驱动约束是系统广义坐标和时间的函数。驱动约束在其集合内部及其与运动学约束合集中必须是独立和相容的，在这种条件下，驱动系统运动学上是确定的，将作确定运动。由式（2-8）表示的系统运动学约束和式（2-9）表示的驱动约束组合成系统所受的全部约束： (2-10)式（2-10）为nc个广义坐标的nc个非线性方程组，其构成了系统位置方程。求解式（2-10），就可得到系统在任意时刻的广义坐标位置。2速度和加速度方程对式(2-10)运用链式微分法则求导，得到速度方程： (2-11)若令，则速度方程为 (2-12)如果是非奇异的，可以求解式(2-12)得到各离散时刻的广义坐标速度。对式(2-11)运用链式微分法则求导，可得加速度方程 (2-13)若令，则加速度方程为 (2-14) 如果是非奇异的，可以求解式(2-14)得到各离散时刻的广义坐标加速度。在速度方程(2-12)和加速度方程(2-14)中出现的矩阵，称为雅可比矩阵，雅可比矩阵是约束多体系统运动学和动力学分析中最重要的矩阵。如果的维数为m，q维数为n，那么维数为矩阵，其定义为。这里为的方阵。对式(2-12)中的和式(2-14)中的进行计算时，会涉及到二阶导数，在实际的数值求解中，并不是实时地调用求导算法来进行计算，而是先根据具体的约束类型，导出二阶导数以及雅可比矩阵的表示式，在计算中只需代入基本的数据即可。3坐标变换与任意点运动在确定系统中构件上任意点的运动时，常要求将构件上点从连体坐标系变换到全局坐标系中，现讨论连体坐标系与全局坐标系的坐标变换及构件上任意点运动。设矢量在全局坐标系和某连体坐标系中分别表示为： (2-15)若任意点在全局坐标系和连体坐标系中坐标如图2-3所示，则存在如下坐标变换关系： (2-16)其中，为点在全局坐标系中的坐标，为连体坐标系原点在全局坐标系中的坐标，为矢量在全局坐标系中坐标，为矢量在连体坐标系中的坐标，为旋转变换矩阵，其形式为： (2-17)对时间的导数为： (2-18)根据式(2-16)，我们可以得到以连体坐标系表示的构件上的任一点的全局坐标。 二维空间坐标变换 三维空间坐标变换式(2.2-9)对时间求导