（固体力学专业论文）索梁耦合结构的非线性振动特性研究.pdf

山东大学硕士学位论文 摘要 近年来，索梁耦合结构在工程实际中得到了广泛的应用。索由于其自身的大 柔度、轻质和小阻尼的特点，很容易在各种激励下产生复杂的非线性振动，当其 固有频率与梁的固有频率成一定比例时，容易引发系统的共振，在工程中造成严 重的危害和损失。因此，对索梁耦合结构振动特性的分析引起了学者的广泛关注， 这将为以后的工程应用提供有效的理论依据。本文以该结构为研究对象，通过解 析分析和数值计算相结合的方法研究了索梁耦合结构的振动机理及特性。全文共 分为五章，主要内容如下： 第一章为绪论，介绍了斜拉索振动的研究背景、研究历史及现状、斜拉索的 振动类型、与本文相关的概念以及非线性振动的基本理论与研究方法等。 第二章首先描述了斜拉索的基本力学特性，建立了斜拉索的三维非线性振动 方程。其次在此基础上，对斜拉索在可动边界下的非线性振动进行分析，建立了 振动模型，得到其一维约化方程，利用r u n g e k u t t a 法对振动微分方程进行数值 计算，得到不同频率比下斜拉索跨中时程响应曲线，考察索跨中最大位移随不同 频率比和激励幅值的变化规律。 第三章首先基于斜拉索的振动特性，并考虑轴力对梁横向振动的影响以及索 的面内横向振动，建立了索梁耦合结构的振动模型及相应的二维振动偏微分方程 组，使用g a l e r k i n 方法将该偏微分方程组转化为常微分方程组。利用多尺度法求 解常微分方程组，得到了结构发生共振时的索梁频率比及振幅间的关系式，发现 当索与梁的频率比满足1 ：2 、1 ：1 和2 ：1 时，结构发生内共振，这将引起拉索的大 幅振动，造成严重的后果。其次，分析了零解的稳定性，利用r u n g e k u t t a 法对 工程实例进行数值计算，得到索梁耦合系统的时程响应曲线，并考察质量比、初 始静拉力、拉索的倾斜角度等参数对系统振动特性的影响。最后，考虑到索面内 受横向简谐激励的作用，通过数值计算得到索梁耦合结构的幅频响应曲线以及不 同频率关系下索梁的时程响应曲线。 第四章在第三章的基础上引入斜拉索的面外振动，建立了三个自由度的索梁 耦合结构的振动常微分方程。首先采用多尺度法对方程进行解析分析，推导出三 个自由度之间的能量守恒关系式，并且讨论了零解的稳定性。其次采用r u n g e v 山东大学硕士学位论文 k u t t a 法对方程进行数值求解，得到结构三个自由度间的能量转换特性，以及结 构共振时的时程响应曲线。 第五章为结论及展望。 关键词：索梁耦合非线性内共振多尺度法参数激励 v i 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ec a b l e s t a y e db e a mh a sb e e nw i d e l yu s e di nc i v i le n g i n e e r i n gs t r u c t u r e sa n d m e c h a n i c a ls y s t e m si nr e c e n ty e a r s d o wt ot h ec a b l e sl a r g ef l e x i b i l i t y , l i g h tw e i g h t a n ds m a l ld a m p i n g ，e x t e r n a le x c i t a t i o nm a yc a u s ei t sn o n l i n e a rv i b r a t i o n i np a r t i c u l a r 仔e q u e n c yr a t i o so ft h ec a b l et ot h eb e a m ，r e s o n a n c eo c c u r sw h i c hl e a d st ot h ef a i l u r e o ft h el o c a ls t r u c t u r ea n di m p a c t st h eo v e r a l ls t a b i l i t y t h e r e f o r e ，d e t a i l e da n a l y s i so f t h ec a b l e s t a y e db e a m sv i b r a t i o nc a u s e ss c h o l a r s a t t e n t i o n ，w h i c hw i l lp r o v i d e e f f e c t i v et h e o r e t i c a lr e f e r e n c e sf o re n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n i nt h i sp a p e r ，t h ev i b r a t i o n m e c h a n i s mo fac a b l e s t a y e db e a mi ss t u d i e d ，b yc o m b i n i n ga n a l y t i cs o l u t i o n sa n d n u m e r i c a lc o m p u t a t i o n s t h e r ea r ef i v ec h a p t e r si nt h ep a p e r t h em a i nc o n t e n t so f e a c hc h a p t e ra r es h o w na sb e l o w c h a p t e r1 i st h ei n t r o d u c t i o n ，i nw h i c ht h er e s e a r c hb a c k g r o u n da n dt h e s t a t e - o f - t h e a r to ft h ec a b l ev i b r a t i o na r ep r e s e n t e d i na d d i t i o n ，s o m er e l a t e dc o n c e p t s a n db a s i ct h e o r i e sa n dr e s e a r c hm e t h o d so fn o n l i n e a rv i b r a t i o na r ei n 仃o d u c e d i n c h a p t e r2 ，f i r s t l y , b a s i cm e c h a n i c a lp r o p e r t i e sa n dt h r e e d i m e n s i o n a l n o n l i n e a rv i b r a t i o ne q u a t i o n so ft h ec a b l ea r es h o w n s e c o n d l y , b a s e do nt h ep r e v i o u s r e s e a c h ，n o n l i n e a rv i b r a t i o no fas m a l l s a gc a b l ew i t hm o v a b l eb o u n d a r yi sa n a l y z e d t h em o d e li se s t a b i l i s h e da n dt h eo n e d i m e n s i o n a lo s c i l l a t i o ne q u a t i o ni sd e d u c e d t h e nr u n g e k u t t am e t h o di su s e df o rt h en u m e r i c a lc a l c u l a t i o n ，t h r o u g hw h i c ht h e s i n g l e - d e g r e e o f - f r e e d o mr e s p o n s eo ft h ec a b l ei sa t t a i n e d m e a n w h i l e ，h o wt h e 丘e q u e n c yr a t i o sa n dt h ea m p l i t u d eo ft h ee x c i t a t i o ni n f l e n tt h ec a b l e sv i b r a t i o ni s s t u d i e d i nc h a p t e r3 ，f i r s t l y , b a s e do nt h ev i b r a t i o nc h a r a c t e r i s t i c so ft h ec a b l ea n d t a k i n ga c c o u n to ft h ei n f l e n c eo fa x i a lf o r c eo ft h eb e a mo v e ri t sv i b r a t i o na n dt h e c a b l e s i n - p l a n et r a n s v e r s ev i b r a t i o n ，t h ev i b r a t i o nm o d e la n dc o r r e s p o n d i n g t w o d i m e n s i o n a l p a r t i c a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a r ee s t a b i l i s h e d t h e ng a l e r k i n m e t h o di su s e dt ot r a n s f o r mp a r t i c a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si n t oo r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s t h em u l t i - s c a l em e t h o di su s e dt oa t t a i nt h e 行e q u e n c yr a t i o sc o r r e s p o n d i n g t or e s o n a n c ea n dt h er e l a t i o no ft h ev i b r a t i o na m p l i t u d e so ft h ec a b l ea n dt h eb e a m i t v i i 山东大学硕士学位论文 i sf o u n dt h a ti n t e r n a lr e s o n a n c eo c c u r si nt h ef r e q u e n c yr a t i oo f1 ：2 1 ：1a n d2 ：1 s e c o n d l y , t h es t a b i l i t yo fz e r os o l u t i o ni sa n a l y z e d f u r t h e r m o r e ，r u n g e k u t t am e t h o d i su s e df o rt h en u m e r i c a lc a l c u l a t i o no fac a b l e s t a y e db e a m ，t h r o u g hw h i c ht h e t i m e d i s p l a c e m e n tr e s p o n s e so ft h es y s t e ma n dh o w v a r i o u sp a r a m e t e r s ，s u c ha sm a s s r a t i o ，i n i t i a lt e n s i o n ，c a b l e sa n g l eo fi n c l i n a t i o n ，e f f e c tt h er e s p o n s e si sa t t a i n e d f i n a l l y , c o n s i d e r i n gt h ei n - p l a n et r a n s v e r s es i m p l e h a r m o n i cf o r c ea p p l i e do nt h ec a b l e ， t h r o u g h n u m e r i c a lc a l c u l a t i o nt h ea m p l i t u d e f r e q u e n c y r e s p o n s e c u r v e sa n d t i m e - - d i s p l a c e m e n tr e s p o n s eo ft h ec a b l e - s t a y e db e a mi nd i f f e r e n tf r e q u e n c yr a t i o sa le o b t a l n e d i nc h a p t e r4 ，b a s e do nc h a p t e r3 ，c o n s i d e r i n gt h eo u t - o f - p l a n ev i b r a t i o no ft h e c a b l e ，t h r e e - d i m e n s i o n a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s o ft h e c a b l e - s t a y e db e a ma r e e s t a b i l i s h e d f i r s t l y ，m u l t i s c a l em e t h o di su s e df o ra n a l y s i s ，t h r o u g hw h i c he n e r g y c o n s e r v a t i o ne q u a t i o ni sd e d u c e da n dt h es t a b i l i t yo fz e r os o l u t i o ni sd i s c u s s e d s e c o n d l y ，r u n g e k u t t am e t h o di su s e df o rt h en u m e r i c a lc a l c u l a t i o n ，t h r o u g hw h i c h t h ef e a t u r e so fe n e r g yt r a n s f e ra n dt i m e d i s p l a c e m e n tc u r v e sa r ed e r i v e d i nc h a p t e r5 ，t h ec o n l u s i o n sa n dp r o s p e c t sa r ep r e s e n t e d k e yw o r d s ：c o u p l i n go fac a b l e s t a y e db e a m ；n o n l i n e a r ；i n t e r n a lr e s o n a n c e ； m u l t i s c a l em e t h o d ；p a r a m e t r i ce x c i t a t i o n v i i i 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：盈塑塑e t 期： 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留或向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人 授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：询苎退导师签名： 山东大学硕士学位论文 1 1 研究背景 第1 章绪论 在实际工程中，索梁耦合结构作为以索和梁单元为主要受力构件的结构形式 得到了广泛的应用，成为满足现代化建筑需要和结构要求的有效组合。例如用于 通信传输的光纤耦合器、抛锚的船舶、高压架空输电线和塔架等都可以简化为索 梁耦合结构，其中斜拉桥是索梁耦合结构的典型应用。 斜拉桥作为索梁耦合结构的典型应用，其受力构件为桥塔、斜拉索和桥面梁。 1 9 5 6 年，瑞典的s t r o u m s u n d 桥拉开了现代斜拉桥的开端，它填补了当时短跨和 中跨之间的空白，并且由于它具有防腐技术要求低、抗风性能好、造型美观、施 工相对简单等优点，很快在欧美、日本等地区得到了蓬勃的发展。目前全世界约 建成3 0 0 多座斜拉桥，其中日本的多多罗大桥( t a t a r ab r i d g e ，主跨8 9 0 m ，1 9 9 9 年建成) 和法国的诺曼底大桥( n o r m a n d i eb r i d g e ，主跨8 5 6m ，1 9 9 4 年建成) 成为了斜拉桥建设史上的里程碑。而我国的斜拉桥建设起步较晚，至今己建成 5 0 余座。建于1 9 7 5 年的四川云阳桥开启了我们斜拉桥建设的序幕。随后，我国 又相继建成了上海杨浦大桥、南京长江二桥、南京长江三桥等一批大跨度桥梁。 f q i n o 认为斜拉桥技术仍然在不断发展中，2 1 世纪会出现一个更加经济、美观、 实用的斜拉桥时代。 随着斜拉桥跨度大幅度的增加，斜拉索的长度也随之变得越来越长。由于斜 拉索具有小阻尼、大柔度和小质量的特点，极易在风雨、地震、交通荷载的作用 下发生振动。1 9 8 8 年，比利时的b e n a h i n 桥在风载荷作用下，其中九根索发生 了振幅lm 以上的大幅振动，同年，w a n d e r 桥也发生了类似的现象 1 1 ；1 9 9 5 年， 美国的f r e dh a r t m a n 桥由于斜拉索的风雨振动致使斜拉索根部索套疲劳开裂【2 】； 1 9 9 6 年4 月，荷兰的e r a s m u s 桥在开通不到两个月就由于拉索的大幅振动而被 迫关闭【3 】；而我国的杨浦大桥在1 9 9 4 年和1 9 9 5 年先后三次因为拉索的振动而导 致了减振器的脱落，更为严重的是在1 9 9 5 年4 月其中的2 9 号和3 0 号拉索发生 了由于风雨振动而互相碰撞的情况；2 0 0 1 年，中国洞庭湖大桥上拉索发生风雨 山东大学硕士学位论文 激振，振幅达0 4 m 。 斜拉索的这种大幅振动产生的危害是显而易见的。它会引起索的疲劳破坏、 在索锚接合处产生疲劳裂纹、破坏索的防腐系统，严重的甚至会引起索的失效， 不得不更换拉索。如德国汉堡的k o h l b r a n d 桥在建成后的第三年，由于严重的腐 蚀问题更换了所有拉索，1 9 7 8 年在委内瑞拉的m a r a c a i b o 桥上有超过5 0 0 根钢丝 损坏，次年有3 根拉索完全损坏，因而更换了全部拉索。拉索的大幅振动还将使 桥梁的舒适度要求难以满足，引起行人的恐慌，对桥梁的安全性和耐久性产生际 疑。为此，斜拉索的振动问题引起的学者的广泛关注和重视。1 9 8 8 年，日本建 设工程委员会组织了研究小组，重点研究斜拉桥拉索的风振特性；1 9 9 2 年，日 本土木工程研究中心组织了庞大的研究队伍，对1 0 0 多座斜拉索做了调查研究， 主要研究拉索振动机理及振动控制方法1 4 1 ；1 9 9 6 年，在美国联邦公路委员会的 组织下，研究了拉索在轴力作用下的动力响应，并建立了包括1 4 0 0 多根拉索在 内的拉索数据库，为斜拉索的研究做了大量工作 5 1 、【6 】。 1 2 研究历史及现状 早在1 8 世纪上半叶，t a y l o r ，e u l e r 和b e r n o u l l i 就对绷紧弦的振动进行了研 究，提出了弦的基本振动理论。对索的振动问题做出早期重要贡献的是p o i s s o n ， 他在1 8 2 0 年给出了索在一般力作用下的偏微分方程，对前人得到的悬索和绷紧 弦的振动解做出了改进。1 8 5 1 年，r o h r s 和s t o k e s 合作得到了小垂跨比、均匀无 伸长悬索面内对称振动的近似解。1 9 4 0 年，美国的t a c o m a 桥发生坍塌，引发了 对地面索桥拉索的振动研究。1 9 5 0 年，b l e i c h 等考虑了索的弹性作用，对悬索 桥进行了较全面的研究。1 9 7 7 年，t a g a t a 研究了水平索( 忽略垂度影响) 在轴 向力作用下的一阶参数振动问题，导出了无量纲的m a t h i e u 方程，然后利用谐波 平衡法求解方程，并与试验结果进行对比1 1 0 。早期的研究工作主要集中在线性 理论和直线索方面，但是，随着桥梁技术的进步，斜拉桥拉索的长度也越来越长， 其几何非线性问题变得尤为突出，对于特大跨径的斜拉桥，其自重产生的垂度较 大，忽略非线性的影响将使分析结果与实际不符。1 9 8 0 年，h a g e d o m 和s c h a f e r 2 山东大学硕士学位论文 研究了三维斜拉索的非线性自由振动问题1 。1 9 8 5 年，a 1 - n o u r y 等研究了抛物 线悬索面内外的非线性耦合问题，主要讨论了在变化的横向及竖向谐振激励作用 下的由内共振引起的谐波响应【1 2 】。1 9 8 6 年，b e n e d e t t i n i 等对拉索的面内面外的 耦合振动进行了研究，结果显示两种模态之间的能量转移以“拍”的形式进行【”】。 1 9 8 7 年，l u o n g o 等研究了三维弹性斜拉索的几何非线性问题，发现面外运动对 面内运动有参数激励的作用，它们之间存在非线性共振的情况【1 4 】。t a k a h a s h i 等 建立了倾斜拉索的三维非线性振动模型，并用谐波平衡法分析了耦合的h i l l 方程， 研究结果表明：拉索的几何非线性可能表现为硬化或软化现象，主要依赖于拉索 的垂跨比 1 5 1 【1 6 1 。1 9 9 4 年，l i l i e n 等研究了斜拉索的参数振动，指出拉索可能在 低频激励下发生大幅振动1 1 。1 9 9 5 年，b e n e d e t t i n i 和r e g a 等研究了水平悬索在 外载和支座运动联合作用下的动力响应，建立了一个四自由度的模型，利用一阶 摄动法讨论了多种内共振条件下悬索的非线性振动 1 7 】。p a k d e m i r l i 和n a y f e h 等 讨论了l ：l 内共振条件下小垂度拉索的非线性振动，并用两种方法求解控制方程， 直接利用多尺度法求解和将控制方程离散化再求解，最后对两种结果做了比较 【培】。同年，w a m i t s h a i 和f u j i n o 等在考虑拉索有限运动和支座运动影响的前提下， 通过拉格朗日方程得到了拉索面内和面外非线性振动的控制方程，在此基础上建 立了悬索结构的非线性模型【1 9 l 。1 9 9 6 年，p i n t od ac o s t a 利用第一类方法，由 h a m i l i t o n 原理导出了斜拉索在竖向激励下的非线性振动方程，研究了不同倾斜 角的索产生参数振动时的振幅及索内力1 7 。1 9 9 8 年，m i c h e lv i r l o g e u x 用第一类 方法将索梁耦合振动分解为沿索轴向的参数振动和垂直于轴向的强迫振动，同时 m i c h e lv i r l o g e u x 也建立了索梁相互作用的两质量模型，重点研究了强迫振动 2 0 1 。 同年，我国学者亢战和钟万勰用第二种方法基于集中质量块模型建立了拉索和桥 面耦合的非线性振动方程，采用数值积分的方法揭示了拉索参数振动的机理，同 时还给出了拉索发生参数共振的区间以及影响拉索最大振幅的因素【2 1 1 。2 0 0 0 年， 汪至刚将拉索简化为弦，同时考虑了桥面质量及刚度的作用，建立了索桥耦合振 山东大学硕士学位论文 动模型，通过数值积分得到了与亢战基本一致的结论 8 1 。以上两个模型均没有考 虑索的重力垂度的影响。2 0 0 2 年，z h a o 等研究了在谐波激励作用下斜拉索的非 线性动力学行为，利用约化方法和g a l e r k i n 方法得到了斜拉索的控制方程，并利 用多尺度法对控制方程进行了求解【2 2 】。2 0 0 3 年s r i n i l 等对斜拉索的三维自由振 动做了研究，导出了其振动方程，同时利用数值方法进行了求解，得到了索跨中 的位移响应，在此基础上讨论了模态间的耦合效应 2 3 1 。2 0 0 5 年，b e r l i o z 等建立 了斜拉索的非线性模型，用多尺度法进行了求解，分析了倾角、初始静拉力等对 拉索振动的影响，并同试验结果做了比较【2 4 1 。g e o r g a k i s 等研究了斜拉索在正弦 及随机激励下的运动，通过h a m i l t o n 原理建立了斜拉索的运动方程，并用有限 元法进行了求解，讨论了拉索在不同初始条件下的运动特点【2 5 2 6 1 。 1 3 斜拉索振动类型概述 对索梁耦合结构的研究首先是从拉索的振动分析开始的。对斜拉索的振动有 不同的分类方法。文献7 和文献8 对斜拉桥拉索的各类振动进行了分析。至今已 发现的斜拉索可能发生的振动类型主要包括以下几种：1 、涡激共振2 、抖振3 、 空气动力失稳4 、风雨激振5 、尾流驰振6 、参数共振。 涡激共振是指当气流通过物体时，交替在物体的上下部产生漩涡，激起与气 流方向垂直的力，从而引起物体的横风向振动。当漩涡的脱落频率与索的某一阶 横向固有振动频率相同时，就会产生横风向共振，称为涡激共振。 抖振是由于风的风速脉动引起的结构随机振动。随着风速的增加，抖振响应 增大。但是由于斜拉桥拉索的张力较大，并且受风面积小，一般来说拉索的抖振 响应振幅较小。 空气动力失稳包括横风向的驰振和顺风向的发散振动。当拉索的截面不是标 准的圆形截面时，其形状可能会导致拉索的横向驰振。由于斜拉索一般是标准的 圆形截面，当风垂直流过斜拉索时，不会产生横风向驰振。当索的表面形状改变， 如冰霜附着在索表面时，则有可能发生驰振。实际上，风的方向大多数时候与索 4 山东大学硕士学位论文 轴线不垂直，而是有一个攻角，此时不稳定驰振也有可能发生。风与结构相互作 用时，如果阻力系数与风速满足一定的关系，气动力将使振动加剧，产生不稳定 的顺风向振动。 风雨激振是指在风和雨的共同作用下，斜拉索发生的大幅振动。它是目前所 知的拉索振动形式中最为强烈的一种。当拉索发生风雨激振时，在拉索的上下表 面各有一条水线形成，从而改变了拉索的气动外形。当拉索发生振动时，水线随 之在拉索表面摆动，则拉索的气动外形不停发生变化，作用在拉索上的气动力也 交替变化并且具有气动不稳定性，从而使拉索发生大幅振动。风雨激振具有限幅 限速的特性，即它只有在特定的风速范围内发生，而且振幅不会无限增大。此外 风雨激振仅在一定的风攻角和风向角下发生。 尾流驰振是指当两排拉索在来流方向前后排列时，处在下游的拉索比上游的 拉索更为强烈的一种风致振动。由于前排拉索的尾流区形成一个稳定驰振区，若 后排拉索处于这一区域内，就会发生尾流驰振，振幅一直增大，直到达到稳态振 幅的极限环为止。对于斜拉桥拉索而言，两根拉索之间不会发生尾流驰振。但是 对于靠近桥塔的短索，由于桥塔的尺寸较大，很有可能发生尾流驰振。 在风雨或交通荷载的作用下，使桥面或桥塔发生振动，当桥面或桥塔的某一 阶振动频率接近于索的固有频率的两倍时，拉索将产生大幅振动，这种振动称为 斜拉索的参数共振。当激励作为参数出现在振动系统中，并随时间变化，这样的 激励称为参数激励，在这种激励下的振动称为参数振动【9 】。与外激励系统不同的 是，在参数激励系统中，当激励的频率接近系统某一阶固有频率的两倍时，小的 激励也会产生大的响应。对斜拉索参数振动的研究方法，按照激励形式的不同可 分为两大类：第一类是理想激励系统，即认为桥面的质量远大于拉索的质量，忽 略拉索的振动对桥面的影响，其振动幅值和频率只按指定的方式变化。第二类是 非理想激励系统，即认为桥面的振动和拉索的振动是相互耦合的，桥面的振动幅 值和频率在响应过程中不断变化。建立索梁振动耦合系统，比第一类方法多一个 自由度。 1 4 非线性振动的基本理论 5 山东大学硕士学位论文 1 4 1 非线性振动的主要特点 ( 1 ) 叠加原理在非线性系统中不再适用。 ( 2 ) 在非线性系统中，在有阻尼而无干扰力时也存在稳态的周期运动。 ( 3 ) 在非线性系统中，对应于平衡状态和周期振动的定常解一般有数个，必须研 究解的稳定性问题。 ( 4 ) 系统的固有频率与振幅有关，同时振动三要素也与初始条件有关。 ( 5 ) 系统的幅频和相频曲线中存在跳跃现象。 ( 6 ) 系统响应中除了存在和激励频率相同的成分外，还存在倍频和分频成分。 1 4 2 非线性振动的研究方法 非线性振动系统的数学模型为非线性微分方程。与线性微分方程不同，非线 性微分方程尚无普遍有效的求解方法，很难得到精确的解析解。对于工程中的实 际非线性振动问题，常用的研究方法有实验研究和理论研究两类，而理论研究方 法又分为几何方法、解析方法和数值方法。 实验研究是根据相似理论，建立实验模型，对各种参数下结构的振动特性进 行实验测试，以获得非线性振动系统的响应特性，有时还需要对实际结构进行现 场实测。实验可以验证理论解的合理性，并能直接捕捉到复杂系统的某些规律， 促进理论的发展。 几何方法是研究非线性振动的一种定性分析方法。在常微分方程定性理论的 基础上，根据相轨迹的几何性质判断微分方程解的性质。利用相平面内的奇点和 极限环作为平衡状态和孤立周期运动的几何描述。因此，关于奇点的类型和稳定 性的研究，关于极限环的存在和稳定性的研究，以及稳定性随参数变化的研究， 都是几何方法讨论的主要内容。其局限性是不能得到非线性振动的定量规律。 解析方法是研究非线性振动的一种定量分析方法。即通过精确的或近似的寻 求非线性微分方程的解析解，得到非线性系统的运动规律。由于能够得到精确解 析解的非线性振动系统数量极其有限，因此多采用近似解析方法求解。常用的近 似解析法有基本摄动法、谐波平衡法、多尺度法和渐进法等。解析方法的优点是 能够得到非线性系统的响应随时间变化的规律，以及系统参数对响应的影响，是 6 山东大学硕士学位论文 研究非线性振动响应特性的重要方法。但是解析方法的应用十分有限，由于大多 数问题难以得到精确解，往往需要采用近似求解，而近似解析解基本上适用于与 线性系统十分接近的弱非线性系统，因此近似解析解的结果未必能够真实反应非 线性振动系统的特性，还需要用数值方法或试验结果进行验证。 数值方法是研究非线性振动系统的数值计算方法。数值方法通过数值求解非 线性微分方程，得到非线性系统在特定的参数条件和初始条件下的运动规律。数 值方法的基础是常微分方程组的初值问题和数值解法。数值方法既可以计算非线 性系统的各种运动的时间历程，包括平衡、周期运动和非周期运动等，也可以通 过数值计算确定参数对系统运动的影响，以及通过对吸引盘及其边界的计算确定 初始条件对系统运动的影响。由于处理非线性振动问题的数学工具尚不完备，数 值方法起着非常重要的作用。 在研究非线性振动时，最好的途径就是把数值方法和解析方法结合起来，如 果有条件的话最好以实验结果为指导。数值方法可以验证解析方法的正确性，使 解析方法的结论更加定量化，而解析方法为数值方法提供向导作用，对数值分析 中的参数选取提供依据，一定程度上减少了数值方法的盲目性。而实验结果则对 解析分析和数值计算均可进行指导并验证。 1 5 与本文相关的概念 内共振：对于一个n 自由度系统的n 个线性固有频率，记作劬，c 0 2 ，c o ，当 两个或多个频率可通约，或接近于可公度时，由于系统中非线性项的存在，频率 的这些可公度关系能够引起相应模态的强烈耦合，这种现象就称为内共振。 超谐波共振、主共振、次谐波共振：当系统固有频率接近激励频率的整数倍 ( 该整数倍1 ) 时出现的共振现象成为超谐波共振；当系统固有频率接近激励 频率时发生的共振称为主共振；当系统固有频率接近激励频率的分数倍时出现的 共振成为亚谐波共振，又称次谐波共振。 外激励与参数激励：当随时间变化的激励作为非其次项出现在系统微分方程 中时，称之为外激励；当它作为系数出现在运动方程中时则称为参数激励。 多尺度法：在摄动法求解非线性问题中，系统的周期解z ( f ；s ) 仅是自变量t 的 7 山东大学硕士学位论文 函数。如果引入+ 1 个不同的时间尺度： 巧= s ”f = 0 ，1 ，2 ，) ( 1 1 ) 那么x 就是+ 1 个独立自变量的函数，即 x ( ，；s ) = z ( 瓦，石，巧；占) n - i - - z x o ( r o ，秒，乙) + 乙) ( 1 2 ) ，写，乙) + d p ，乙) p 叫 这些新变量瓦随时间f 变化的速度一次减慢一个数量级。在上式中所需独立 时间变量的个数取决于需求解到哪一阶近似解。引入新的自变量磊，石，死后， 对时间f 的导数变为对瓦的导数： 一d ：d t o 旦+ 盟旦+ ：旦+ 占旦 ( 1 3 ) 一= 一+ + = 一+ f i1 ， d t d t 巩d t 妈喝钒 d 2 ；：姜+ 2 9 j ” 丽2 可“f 瓦两扣一 ( 1 4 ) 将( 1 3 ) 、( 1 4 ) 代入非线性方程，就能按照s 的幂次得到关于，_ ，的 线性微分方程组。这些方程组的解中包含有时间变量瓦，互，乙的任意函数，利 用消除解中长期项的条件可确定这些函数。 1 6 本文主要研究工作 本文结合解析方法和数值计算研究了索梁耦合结构的非线性振动问题，其主 要目的是为了探讨索梁耦合结构的振动机理，同时考虑各种参数对结构振动特性 的影响，并提出对工程有实际意义的结论。 本文的主要研究工作包括： ( 1 ) 推导出索梁耦合结构的非线性振动方程。利用牛顿定律建立了结构非线 性振动的偏微分方程，利用g a l e r k i n 方法对方程进行离散得到了结构非线性振动 的常微分方程。 ( 2 ) 利用多尺度法对耦合结构的常微分方程进行解析求解，得到了索梁耦合 8 山东大学硕士学位论文 结构发生内共振所满足的频率比以及零解的稳定性。 ( 3 ) 由索梁耦合振动模型得到了拉索振幅与梁振幅所满足关系式，从而在理 论上解释了结构的限幅特性。 ( 4 ) 通过数值计算的方法得到结构的时程响应曲线，验证了解析分析的结论， 并考虑参数变化对结构振动响应的影响。 9 山东大学硕士学位论文 第2 章斜拉索的基本动力学特性 为了分析斜拉索的基本非线性动力学特性，本章首先建立了两端铰支斜拉索 的三维非线性振动方程，其次考虑了斜拉索在可动边界条件下的非线性振动，得 到了斜拉索的二维及一维约化方程。采用龙格库塔法对斜拉索的一维约化方程进 行数值求解，并讨论参数变化对拉索振动的影响。 2 1 斜拉索的三维非线性振动方程 为了使研究简化并能体现问题本质，对斜拉索作以下假设田】： ( 1 ) 不计索的抗弯刚度，抗剪刚度和抗扭刚度。 ( 2 ) 斜拉索只承受拉力作用。 ( 3 ) 索的变形本构关系服从虎克定律且各点受力均匀。 ( 4 ) 近似认为索重力垂度曲线是抛物线。 ( 5 ) 索在振动过程中的轴向应变足够小。 为了分析斜拉索的非线性动力学特性，建立如图2 1 所示的坐标系，斜拉索 静止时所在的平面为x y 平面，简称面内，斜拉索在该平面内的振动称为面内 振动，x z 平面简称面外，斜拉索在该平面的振动称为面外振动。 1 0 图2 1 斜拉索的振动模型 定义斜拉索的垂跨比旯= ，其中厂= ，孵c o s 衍明为拉索跨中垂度，三为 斜拉索长度，汐为斜拉索倾角，历为索单位长度的质量，日为索沿x 方向的静张 力。索的勤垂度曲线方程坝力= 鼍笋卜等 【2 7 】。 设索在静平衡状态下任意一点p 点距原点的弧长坐标为j ，索在运动状态 时p 点距原点的弧长坐标为s ，p 点沿x 、y 、z 方向偏离平衡位置的动态位 移分别为纵队w 。 在图2 i 所示的坐标系下，斜拉索的静力平衡方程为【2 7 1 m g s i n t ? m g c o s0 ( 2 1 ) 其中，? 为斜拉索的初始轴向张力。 设变形前的弧长微段为出，变形后弧长微段为出，由几何关系有 ( 出) 2 = ( 2 + ( 妙) 2 ( 2 2 ) 汹，) 2 啪+ 罢d s ) 2 懈+ 塞d s ) 2 + e d s ) 2 ( 2 3 ) o s a 譬 、a q 。、j 定义索的轴向动应变为 d s 一f l c 白= 了 ( 2 4 ) 则 2 小2 白w 亿5 ， 略去二阶小项，得到 = 粕2 一 = 軎喜+ 罢象+ - 1l t i 抛) 2 、2 + ( 罢) 2 + ( 芸) 2 q 6 出西出西 i 国j 弋iji 由牛顿定律建立斜拉索的三维非线性振动方程【2 7 1 ： 血如妙一曲 r r ，0一， a西a一西 山东大学硕士学位论文 丢 芸 昙 m ) 丢“) = 肌窘托鲁一倒肛六 丁+ 砂昙( y + v ) ) = 朋窘+ c v 詈一愕c o s 0 - ( 2 7 ) m ) 斜= 聊+ c w 芸一z 其中，s 为弧长坐标，f = e a s d 为索的附加轴向动张力，鲋为索的抗拉强 度，巳、印分别为索沿双y 、z 方向的阻尼系数，丘、乃、z 分别为索单位 长度所受的外力在x 、y 、z 方向的分量。在小垂度下，可取d s d x ，t h 。 考虑到索的小垂度及静力平衡方程，则( 2 6 ) 式变为 白= 瓦十五d y 瓦0 v + i 1 ( 瓦0 u ) 2 + ( 妄) 2 + ( 尝) 2 c 2 8 ， 方程( 2 7 ) 变为 昙 丁罢+ f + r 塞) = 朋窘+ 巳鲁一z 旦0 x r 塑0 x + f 业d x + f 塑0 x = 聊孚c o t + q 堡o t 一，y ( 2 9 ) ij 2 ” 。 p 7 昙 丁芸+ f 警) = 聊窘+ 气詈一z 这是一组偏微分方程，为了进行非线性动力学分析，现将其转化为常微分方 程，由于在斜拉索振动中一阶模态占主导地位，为此采用g a l e r k i n 方法对方程进 行一阶模态截断，设 iu ( x ，f ) = 仍( x ) g l ( f ) v ( x ，f ) = ( p 2 ( x ) q 2 ( f ) ( 2 1 0 ) 1 w ( x ，f ) = 仍( x ) 9 3 ( f ) 将式( 2 8 ) 代入式( 2 6 ) 则得到 白鸹- 嘲f f + 忑d yg ：誓+ 丢 ( g l 芸) 2 + ( g ：鲁) 2 + ( g 。警) 2i 泣 将旬的表达式( 2 1 1 ) 代入方程组( 2 9 ) ，同时对方程组第一式两边同乘以 仍( x ) ，对第二式两边同乘以仍( x ) ，对第三式两边同乘以仍( x ) ，并分别在 o ，纠 1 2 山东大学硕士学位论文 内积分，得到了一组常微分方程： 口1 磊+ a 2 q l + a 7 l + a 4 q 2 + a s q l 2 + a 6 q l q 2 + a t q 2 2 + a s q 3 2 + a g q l 3 + a l o q l q 2 + a 1 qq 3 2 + a 1 220 笠q 2 + b 2 q 2 + zb 3 q 2 2 + b 4 q l + b s q 2 2 - - 6 6 q t 2 + b t q 3 2 地g l 吼+ 6 9 9 2 3 ( 2 1 2 ) + 6 1 0 q 1 2 q 2 + 2 j l i q 3 2 q 2 + b 1 2 = 0 、一1 。7 c 1 9 3 + c 2 9 3 + 巳9 3 + c 4 q l q 3 + c s q 2 q 3 + c 6 q l z q 3 + c t q 2 2 q 3 + c 8 9 3 3 + c 9 = 0 其中q q ：、2 j i 岛：、q 白的表达式见附录1 。 从常微分方程组( 2 1 2 ) 中可以看出，三个自由度之间存在着强烈的耦合作 用，表现为一次项、二次项和三次项耦合。 在这里我们定义q 2 旦a i 为甜方向的振动频率，哆2 每为1 ，方向的振动频 v 、6 i 广 率，q 2 詈为w 方向的振动频率。从以上系数的表达式可以看出，影响斜拉索 振动频率主要有以下几个因素：斜拉索的抗拉强度e a 、初始轴向拉力t 、垂跨 比旯、斜拉索的倾角秒。 2 2 斜拉索在可动边界下的非线性振动分析 2 2 1 振动方程的建立 图2 2 斜拉索在可动边界下的振动模型 f 昙 嗉+ f 皇d x + f 宇，= 所鲁o t o x o x jl 苏i 叙 。2 昏昝聊害 1 3 一尉f l a y - o v 矧2 + 妊耻等亿蝴 丢 嗉+ 彳罢+ f 塞 = 聊塑o t 2 c 2 5 ， 苏 苏出