数据模型与决策-71(线性与非线性规划).ppt

数据 模型与决策 丁邦ingbangjun 线性规划与非线性规划 线性规划问题线性规划模型线性规划的求解非线性规划 例某家电公司准备将一种新型电视机在三家商场进行销售 每一个商场的批发价和推销费及产品的利润如表所示 由于该电视机的性能良好 各商场都纷纷争购 但公司每月的生产能力有限 只能生产1000台 故公司规定 甲商场至少经销100台 至多200台 乙至少经销300台 丙商场至少经销200台 公司计划在一个月内的广告预算费为8000元 推销人员最高可用工时数为1500 同时 公司只根据经销数进行生产 试问 公司下个月采取的市场对策 一个例子 甲乙丙三家市场销售电视机情况 S t 建立线性模型 S t 线性规划模型 线性规划求解方法 图解法 计算机解法 Excel Lindo 单纯形方法 需要矩阵知识 线性规划求解 图解法 例3生产A B两种产品 需要某种原料的数量和使用某种设备的时间如下 S t 线性规划求解 图解法 线性规划求解 图解法 2 4 6 8 10 12 14 16 2 4 6 8 10 12 14 16 10 x 2y 30 6x 4y 32 x y P 2 5 0 Q 5 2 5x 2y 0 线性规划求解 Excel 工具规划求解课堂演示 线性规划的对偶问题 S t 关于影子价格的讨论 非线性规划 举例 优利投资公司的投资组合仅包含三支股票STOCK1 STOCK2STOCK3 他们的预期回报率和风险参数见下表 问在预期回报率一定的情况下 三支股票在投资组合中各占多大的比例才能使投资组合的风险最小 三支股票的数据 规划建模 设三支股票的投资比例分别为a b c 那么得到下面关系 Excel求解 投资比例分别为0 3390 0 3249 0 3361 此时风险达到最小值0 0084 三支股票的数据 答案 优利公司按照33 90 32 49 33 61 的比例投资三支股票STOCK1 STOCK2 STOCK3他们的预期回报率在达到10 的情况下 投资组合的风险将达到最小 高级线性规划 数据包络分析 DEA 收益管理投资组合模型和资产分配博弈论 数据包络分析 DEA DEA是线性规划用于测量有相同目标和目的的工作单位的相对效率的一种应用 例如 DEA被用于一个连锁销售店中单个的快餐店 在这种情况下 DEA的目标是找出应该进行进一步研究以及如果必要则进行纠正的低效率店面 DEA还用于测量医院 银行 法院 学校等相对效率 在这些应用中 每个机构或组织的绩效是相对于系统中所有运行单位的绩效来测量的 银行分行的效率 描述了一个大型的知名银行如何运用DEA来发现哪个分行的运营是低效率的 银行分行的效率评估 一个大型的知名银行管理层想要在分行水平上改善运营 本研究选取了位于4个主要城市的182家分支银行 DEA用于确定哪个银行分行的运营是低效率的 DEA模型比较了每个分行与所有其他分行的实际运营结果 相对于绩效最佳的分行 一个低生产力的分行生产相同的产出需要更多的资源 效率最佳的分行用 的DEA效率等级来标出 低效或低生产力分行用少于 的DEA效率等级来标出 分行的输入与输出 每个分行的输入是 全日制出纳人员的数目全日制非出纳人员的数目停车位的数目ATM机的数目每位客户的广告花费每个分行的输出是 1 贷款的总量 直接贷款 间接贷款 商业贷款和股本贷款 2 存款的总量 支票存款 储蓄存款和CD存款 3 每位客户账户的平均数目4 基于季度的客户调查的客户满意度打分 DEA结论 最终收集了连续六个季度的数据以确定分行在这段时间内是如何运营的 结论 DEA线性规划模型的解显示 182个分行中92个是完全高效的 只有5个分行低于70 的效率水平 并且大约25 的分行的效率等级处于80 89 之间 DEA找出了相对低效的那些分行 并对这些分行如何提高生产率效率提供了建议 关注低生产力的分行 银行能够在不显著减少规模和服务质量的前提下 找到减少需要输入的资源的方法 另外 DEA分析能使管理层更好地理解对分支银行效率贡献最大的因素 四个医院的绩效比较 下面 我们通过一组4个医院的绩效来说明DEA的应用 总医院 大学医院 县医院和州医院的管理者聚在一起讨论能以自己的医院帮助彼此改进绩效的方法 一个顾问建议他们考虑采用DEA来测量每所医院相对于所有4所医院的绩效 在讨论这种评价如何进行时 确定出下面三种输入测量和四种输出测量 医院的输入与输出 输入测量 全日制非医生人员的数目物资花费总数可用床日的数目输出测量 具有医疗保险服务的病人日无医疗保险服务的病人日培训的护士数目培训的实习医生数目 上述的数据分别如下 表一4所医院年消耗的资源 输入 表二4所医院提供的年服务 输出 DEA方法概述 在DEA的这个应用中 为每个要评价其效率的医院都建立了一个线性规划模型 为了说明该建模过程 我们构造了一个用来确定县医院相对效率的线性规划 首先 使用一个线性规划模型 基于有相同目标的所有运营单位的输入和输出 构建一个假定的合成单位 在这个例子中是一家合成的医院 对这4所医院的每个输出测量 合成医院的输出由全部4家医院对应输出的加权平均计算而得 DEA方法概述 对每个输入测量 合成医院的输入由采用相同的权重的全部4家医院对应输入的加权平均计算得到 线性规划模型中的约束条件要求合成医院的所有输出大于等于要评价的县医院的输出 如果组合单位的输入能显示出少于县医院的输入 那么就说明合成医院能利用较少的输入产出一样或更多的输出 在这种情况下 模型就说明合成医院比县医院更有效率 或者可以说 被评价的医院比合成医院的效率低 因为合成医院是基于全部4家医院的 所以当与同组内其它医院相比时 被评价医院被判定为是相对低效的 DEA方法概述 其次 为了确定在计算合成医院的输出和输入时每家医院所占的权重 我们假设如下决策变量 wg 总医院输入和输出采用的权重wu 大学医院输入和输出采用的权重wc 县医院输入和输出采用的权重ws 州医院输入和输出采用的权重显然 这些权重的总和等于1 因此 第一个约束条件是wg wu wc ws 1 DEA方法概述 一般来说 每个DEA线性规划模型都包含类似这样一个要求运营单位权重之和等于1的约束条件 正如前面所说 对每个输出测量 合成医院的输出由全部4家医院对应输出的加权平均计算而得 例如 对输出测量1 医疗保险服务的病人日数目 YLFW 合成医院的输出则为 合成医院YLFW wg 总医院YLFW wu 大学医院YLFW wc 县医院YLFW ws 州医院YLFW DEA方法概述 具体数据带入 得到 1 合成医院医疗保险 wg 48 14 wu 34 62 wc 36 72 ws 33 16类似地 我们得到其它三个输出 2 合成医院非医疗保险 wg 43 10 wu 27 11 wc 45 98 ws 56 46 3 合成医院护士 wg 253 wu 148 wc 175 ws 160 4 合成医院实习医生 wg 41 wu 27 wc 23 ws 84 DEA方法概述 对这4个输出中的每一个 我们需要一个限制合成医院的输出大于等于县医院输出的约束条件 因此 输出的约束条件的总形式为合成医院的输出 县医院的输出 或者 1 wg 48 14 wu 34 62 wc 36 72 ws 33 16 36 72以相同的形式 得到其它三个约束条件如下 2 wg 43 10 wu 27 11 wc 45 98 ws 56 46 45 98 3 wg 253 wu 148 wc 175 ws 160 175 4 wg 41 wu 27 wc 23 ws 84 23 DEA方法概述 这4个输出的约束条件要求线性规划的解能够得到一组权重 使得合成医院的每个输出测量都大于等于县医院对应的输出测量 因此 如果能找到一个满足输出约束条件的解 合成医院每个输出将生产与县医院至少一样多的产出 DEA方法概述 对于输入而言 我们需要考虑构建出合成医院输入与合成医院可用资源之间关系的约束条件 三个输入测量都需要一个约束条件 输入的约束条件的总形式为合成医院的输入 合成医院可用的资源 注意该约束与输出不同 对于每个输入测量 合成医院的输入是4家医院每个对应输入的加权平均 对于输入测量1 合成医院三种资源对应的输入为 1 合成医院非医生人员 285 2wg 162 3wu 275 7wc 210 4ws 2 合成医院物资花费 123 8wg 128 7wu 348 5wc 154 1ws 3 合成医院床日 106 72wg 64 21wu 104 1wc 104 04ws DEA方法概述 为了完成输入的约束条件 我们必须写出每个约束条件右侧值得表达式 首先 要注意到右侧值是合成医院的可用资源 在DEA方法中 这些右侧值是县医院输入值得一个百分比 因此 我们必须引入下面的决策变量 E 县医院输入可用于合成医院的百分比 DEA方法概述 为了说明E在DEA方法中所起的重要作用 我们将出示如何写出合成医院的非医生人员数目的表达式 首先县医院的非医院人员数目为275 7 因此 275 7E是合成医院可用的非医院人员数目 若E 1 即100 那么 合成医院的非医院人员数目就是275 7 与县医院非医院人员数目相同 然而 若E 1 则合成医院就按比例拥有更多的非医生人员 而当E 1时 合成医院就按比例拥有更少的非医生人员 由于E在决定合成医院可用资源时所起的作用 E被称为效率指标 DEA方法概述 根据关于输入的这种分析 可得如下的约束条件 1 合成医院非医生人员285 2wg 162 3wu 275 7wc 210 4ws 275 7E 2 合成医院物资花费 123 8wg 128 7wu 348 5wc 154 1ws 348 5E 3 合成医院床日 106 72wg 64 21wu 104 1wc 104 04ws 104 1E如果在E 1能找到一个解 合成医院要生产相同水平的输出就不需要与县医院一样多的资源 DEA方法概述 DEA模型的目标函数是最小化E的值 其等价于最小化合成医院可用的输入资源 因此 目标函数为 MinE县医院效率评价的DEA线性规划模型有5个决策变量和8个约束条件 完整的模型是 DEA方法概述 MinEs t wg wu wc ws 1wg 48 14 wu 34 62 wc 36 72 ws 33 16 36 72wg 43 10 wu 27 11 wc 45 98 ws 56 46 45 98wg 253 wu 148 wc 175 ws 160 175wg 41 wu 27 wc 23 ws 84 23 275 7E 285 2wg 162 3wu 275 7wc 210 4ws 0 DEA方法概述 应用Excel规划求解得到如下结果 DEA方法概述 我们首先注意到目标函数值显示县医院的效率得分为0 905 这个分数告诉我们合成医院通过使用不超过县医院需要输入资源的90 5 可以达到至少县医院能达到的每个输出的水平 因此 合成医院是更有效的 并且DEA分析指出县医院是相对低效的 DEA方法概述 从上面的解中 我们还看出合成医院是由总医院 wg 0 212 大学医院 wu 0 26 和州医院 ws 0 527 加权平均形成的 合成医院的每一个输入和输出都是由这3家医院的输入和输出进行相同加权平均得来的 DEA方法概述 松弛 剩余列给出了县医院效率与合成医院相比的一些其他信息 具体来说 合成医院的每个输出至少与县医院一样多 约束条件2 5在最终解计算结果都大于0 相比县医院 它多出1 6个培训护士 在约束条件4中 176 6 175 1 6 和37个培训的实习生 约束条件5 约束条件8的松弛为0 合成医院使用的床日数约为县医院使用的90 5 约束条件6和7合成医院使用的非医生人员和物资花费资源少于县医院使用的90 5 DEA方法概述 很明显 合成医院比县医院更有效率 由此 我们得出结论 县医院与同组其它医院相比是相对低效率的 鉴于DEA分析的结果 医院管理者应该检查运营操作以确定应该如何更有效地利用县医院的资源 DEA方法总结 为了使用数据包络分析方法来检测县医院的相对效率 我们基于问题中4家医院的输入和输出 利用一个线性规划模型构建了一所假定的合成医院 使用DEA求解其它类型问题的方法是相似的 对每个我们需要测量其效率的运营单位 我们都必须建立并求解一个与测量县医院相对效率时求解的线性问题相似的线性规划模型 怎样求其它三家医院的效率 DEA方法的灵敏度分析 灵敏度分析 sensitivityanalysis 能够为管理层决策提供非常有用的信息 能够帮助决策者做出正确的决策 我们知道 周围环境的变化会使系数发生变化 系数的变化很可能会影响已求得的最优解 因此 开明的管理者为了让管理决策能够更好地适应现实环境 还要继续研究最优解对数据变化的反应程度 以适应各种偶然的变化 这是灵敏度分析所要研究的内容之一 灵敏度分析研究的另一类问题是探讨在原线性规划模型的基础上增加一个变量或者一个约束条件对最优解的影响 总之 灵敏度分析通常可以解决参数变化对模型的影响 DEA方法的灵