江苏省苏州市第五中学高考数学总复习 第4讲 直线、平面垂直的判定与性质课件.ppt

第4讲直线 平面垂直的判定与性质 知识梳理1 直线与平面垂直 1 定义 若直线l与平面 内的一条直线都垂直 则直线l与平面 垂直 2 判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条直线垂直 那么这条直线垂直于这个平面 即 a b l a l b a b p 3 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线 即 a b 任意 相交 l 平行 a b 2 平面与平面垂直 1 定义 两个平面相交 如果它们所成的二面角是直二面角 就说这两个平面互相垂直 2 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条 那么这两个平面互相垂直 即 a a 3 性质定理 如果两个平面互相垂直 那么在一个平面内垂直于它们的直线垂直于另一个平面 即 a b a b 垂线 交线 a 辨析感悟1 对线面垂直的理解 1 直线a b c 若a b b c 则a c 2 直线l与平面 内无数条直线都垂直 则l 3 2013 浙江卷 4c 设m n是两条不同的直线 是两个不同的平面 若m n m 则n 4 2013 广东卷 8d 设l为直线 是两个不同的平面 若 l 则l 2 对面面垂直的理解 5 若两平面垂直 则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面 6 若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线 则 感悟 提升 三个防范一是注意在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行 还有可能异面 相交等 如 1 二是注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理 不要误解为 如果一条直线垂直于平面内的无数条直线 就垂直于这个平面 如 2 三是注意对平面与平面垂直性质的理解 如 5 考点一直线与平面垂直的判定和性质 例1 如图 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd ab ad ac cd abc 60 pa ab bc e是pc的中点 证明 1 cd ae 2 pd 平面abe 证明 1 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd cd 平面abcd pa cd ac cd pa ac a cd 平面pac 而ae 平面pac cd ae 2 由pa ab bc abc 60 可得ac pa e是pc的中点 ae pc 由 1 知ae cd 且pc cd c ae 平面pcd 而pd 平面pcd ae pd pa 底面abcd pa ab 又 ab ad且pa ad a ab 平面pad 而pd 平面pad ab pd 又 ab ae a pd 平面abe 规律方法证明线面垂直的方法 一是线面垂直的判定定理 二是利用面面垂直的性质定理 三是平行线法 若两条平行线中一条垂直于这个平面 则另一条也垂直于这个平面 解题时 注意线线 线面与面面关系的相互转化 另外 在证明线线垂直时 要注意题中隐含的垂直关系 如等腰三角形的底边上的高 中线和顶角的角平分线三线合一 矩形的内角 直径所对的圆周角 菱形的对角线互相垂直 直角三角形 或给出线段长度 经计算满足勾股定理 直角梯形等等 而bb1 bc b bb1 bc 平面bcc1b1 ab 平面bcc1b1 而b1c 平面bcc1b1 ab b1c 而ab bc1 b ab bc1 平面abc1 b1c 平面abc1 而b1c 平面b1cd 平面abc1 平面b1cd 规律方法证明两个平面垂直 首先要考虑直线与平面的垂直 也可简单地记为 证面面垂直 找线面垂直 是化归思想的体现 这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似 这种转化方法是本讲内容的显著特征 掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键 训练2 如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 ab ad 1 aa1 2 m是棱cc1的中点 证明 平面abm 平面a1b1m 考点三平行 垂直关系的综合问题 例3 2013 山东卷 如图 在四棱锥p abcd中 ab ac ab pa ab cd ab 2cd e f g m n分别为pb ab bc pd pc的中点 1 求证 ce 平面pad 2 求证 平面efg 平面emn 审题路线 1 取pa的中点h 证明四边形dceh是平行四边形 ce dh 根据线面平行的判定定理可证 2 证明ab ef 证明ab fg 证明ab 平面efg 证明mn 平面efg 得到结论 2 因为e f分别为pb ab的中点 所以ef pa 又ab pa 且ef pa共面 所以ab ef 同理可证ab fg 又ef fg f ef 平面efg fg 平面efg 因此ab 平面efg 又m n分别为pd pc的中点 所以mn dc 又ab dc 所以mn ab 因此mn 平面efg 又mn 平面emn 所以平面efg 平面emn 规律方法线面关系与面面关系的证明离不开判定定理和性质定理 而形成结论的 证据链 依然是通过挖掘题目已知条件来实现的 如图形固有的位置关系 中点形成的三角形的中位线等 都为论证提供了丰富的素材 训练3 2013 辽宁卷 如图 ab是圆o的直径 pa垂直圆o所在的平面 c是圆o上的点 1 求证 bc 平面pac 2 设q为pa的中点 g为 aoc的重心 求证 qg 平面pbc 证明 1 由ab是圆o的直径 得ac bc 由pa 平面abc bc 平面abc 得pa bc 又pa ac a pa 平面pac ac 平面pac 所以bc 平面pac 2 连接og并延长交ac于m 连接qm qo 由g为 aoc的重心 得m为ac中点 由q为pa中点 得qm pc 又o为ab中点 得om bc 因为qm mo m qm 平面qmo mo 平面qmo bc pc c bc 平面pbc pc 平面pbc 所以平面qmo 平面pbc 因为qg 平面qmo 所以qg 平面pbc 1 转化思想 垂直关系的转化2 在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线 若这样的直线图中不存在 则可通过作辅助线来解决 如有平面垂直时 一般要用性质定理 在一个平面内作交线的垂线 使之转化为线面垂直 然后进一步转化为线线垂直 故熟练掌握 线线垂直 面面垂直 间的转化条件是解决这类问题的关键 创新突破7 求解立体几何中的探索性问题 典例 2012 北京卷 如图1 在rt abc中 c 90 d e分别为ac ab的中点 点f为线段cd上的一点 将 ade沿de折起到 a1de的位置 使a1f cd 如图2 1 求证 de 平面a1cb 2 求证 a1f be 3 线段a1b上是否存在点q 使a1c 平面deq 说明理由 突破1 弄清翻折前后的线面关系和几何量的度量值 翻折前 de bc de ac 翻折后 de bc de a1d de cd 突破2 要证a1f be 转化为证a1f 平面bcde 突破3 由a1d cd 可想到取a1c的中点p 则dp a1c 进而可得a1b的中点q为所求点 证明 1 因为d e分别为ac ab的中点 所以de bc 又因为de 平面a1cb bc 平面a1cb 所以de 平面a1cb 2 由已知得ac bc且de bc 所以de ac 所以de a1d de cd 又a1d de d 所以de 平面a1dc 而a1f 平面a1dc 所以de a1f 又因为a1f cd 所以a1f 平面bcde 又be 平面bcde所以a1f be 3 线段a1b上存在点q 使a1c 平面deq 理由如下 如图 分别取a1c a1b的中点p q 则pq bc 又因为de bc 所以de pq 所以平面deq即为平面dep 由 2 知 de 平面a1dc 所以de a1c 又因为p是等腰三角形da1c底边a1c的中点 所以a1c dp 又de dp d 所以a1c 平面dep 从而a1c 平面deq 故线段a1b上存在点q 使得a1c 平面deq 反思感悟 1 解决探索性问题一般先假设其存在 把这个假设作已知条件 和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算 在推理论证和计算无误的前提下 如果得到了一个合理的结论 则说明存在 如果得到了一个不合理的结论 则说明不存在 2 在处理空间折叠问题中 要注意平面图形与空间图形在折叠前后的相互位置关系与长度关系等 关键是点 线 面位置关系的转化与平面几何知识的应用 注意平面几何与立体几何中相关知识点的异同 盲目套用容易导致错误 1 证明在图