高考数学复习专题四立体几何第三讲空间向量与立体几何能力训练理.docx

第三讲 空间向量与立体几何1(2018高考全国卷)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PEBF.(1)证明：平面PEF平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值解析：(1)证明：由已知可得BFPF，BFEF，所以BF平面PEF.又BF平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD.(2)如图，作PHEF，垂足为H.由(1)得，PH平面ABFD.以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz.由(1)可得，DEPE.又DP2，DE1，所以PE.又PF1，EF2，所以PEPF.所以PH，EH.则H(0,0,0)，P，D，.又为平面ABFD的法向量，设DP与平面ABFD所成角为，则sin .所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.2(2018长春模拟)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，E为PD的中点(1)证明：PB平面ACE；(2)设PA1，ABC60，三棱锥EACD的体积为，求二面角DAEC的余弦值解析：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接OE(图略)在PBD中，PEDE，BODO，所以PBOE.又OE平面ACE，PB平面ACE，所以PB平面ACE.(2)由题易知VPABCD2VPACD4VEACD，设菱形ABCD的边长为a，则VPABCDSABCDPA(2a2)1，则a.取BC的中点为M，连接AM，则AMAD.以点A为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y 轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，E(0，)，C(，0)，(0，)，(，0)，设n1(x，y，z)为平面AEC的法向量，则即取x1，则n1(1，3)为平面AEC的一个法向量又易知平面AED的一个法向量为n2(1,0,0)，所以cosn1，n2，由图易知二面角DAEC为锐二面角，所以二面角DAEC的余弦值为.3(2018高考全国卷)如图，在三棱锥PABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O为AC的中点(1)证明：PO平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值解析：(1)证明：因为PAPCAC4，O为AC的中点，所以OPAC，且OP2.如图，连接OB.因为ABBCAC，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，OBAC2.由OP2OB2PB2知POOB.由OPOB，OPAC，OBACO，得PO平面ABC.(2)如图，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.由已知得O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0，2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，(0,2,2)取平面PAC的一个法向量(2,0,0)设M(a,2a,0)(0a2)，则(a,4a,0)设平面PAM的法向量为n(x，y，z)由n0，n0得可取ya，得平面PAM的一个法向量为n(a4)，a，a)，所以cos ，n.由已知可得|cos，n|cos 30，所以，解得a4(舍去)或a.所以n.又(0,2，2)，所以cos，n.所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.4(2018青岛模拟)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BCA45，APADAC2，E为PA的中点(1)设平面PAB平面PCDl，求证：CDl；(2)求二面角BCED的余弦值解析：(1)证明：在四边形ABCD中，ACAD，ADAC2，ACD45，BCA45，BCDBCAACD90，即DCBC.又ABBC，ABCD.AB平面PAB，CD平面PAB，CD平面PAB.CD平面PCD，平面PAB平面PCDl，CDl.(2)PA平面ABCD，ACAD，以A为原点，以AD所在的直线为x轴，AC所在的直线为y轴，AP所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,2)，E(0,0,1)，D(2,0,0)，C(0,2,0)，B(1,1,0)，设平面DCE的法向量为n1(x1，y1，z1)，(0，2,1)，(2,0,1)，由得，令x11，则y11，z12，n1(1,1,2)是平面DCE的一个法向量设平面BCE的法向量为n2(x2，y2，