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投影变换 中午的太阳光下 一排排的树木的影子会投影到各自的树根 排球中场休息时 工作人员用平地拖把拖扫比赛场地 要求同时同向推动拖把 把垃圾推到边界线停止 问题情境 图2把垃圾推到边界线 图1树在中午的阳光下形成影子 这两个生活中事情 实质反映了平面上的点在某一直线上的投影 能否用矩阵来表示 提出问题 解决问题 方案1 以直线为x轴 建立直角坐标系 设平面上的任一点的坐标为 x y 则投影后的点坐标为 x 0 故所求矩阵为 解决问题 方案2 以直线为y轴 建立直角坐标系 设平面上的任一点的坐标为 x y 则投影后的点坐标为 0 y 故所求矩阵为 研究矩阵m 所确定的变换 反思问题 对于平面内任意列向量 有 矩阵m使得平面上点的横坐标不变 纵坐标变为与横坐标相等 该变换将平面内的点沿垂直于x轴方向投影到直线y x上 如图 1 投影变换的几何要素 投影方向 投影到的某条直线l 2 投影变换矩阵能反映投影变换的几何要素 3 与投影方向平行的直线投影于l的情况是某个点 4 投影变换是映射 但不是一一映射 像这类将平面内图形投影到某条直线 相应的变换称做投影变换 或某个点 上的矩阵 我们称之为投影变换矩阵 建构数学 的曲线方程 x y 例2求圆x2 y 2 2 1在矩阵 的变换下 y x 研究线段ab在矩阵 得到的图形 其中a 0 0 b 1 2 作用下变换 探究 说明矩阵所对应的变换的几何意义 该变换将平面内的点沿垂直于直线y x方向投影到直线y x上 x a b a a 0 0 b 1 2 在投影矩阵m作用下分别变换为点a 0 0 b 1 5 1 5 求变换对应的矩阵m 变式训练1 x y a a b 1 2 b 1 5 1 5 c 0 3 若不是投影变换 则矩阵m有无数个 1 说明矩阵的变换
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