（基础数学专业论文）一族新的孤子方程的hamilton结构及liouville可积性.pdf

摘要 本文首先从一个新的2 2 谱问题出发，导出了一族( 1 + 1 ) 维孤子方程然后利 用谱问题对应的r i c c a t i 方程获得该等谱方程族的无穷多个守恒律进而证明了此孤子族 的2x2l e n a r d 算子对为h a m i l t o n 算子对，说明此孤子族是l i o u v i l l e 意义下可积的广义 h a m i l t o n 系统且具有b i - h a m i l t o n 结构和m u l t i - h a m i l t o n 结构，并利用在约束条件下求泛 函导数的方法，得到了该孤子族的h a m i l t o n 泛函与守恒密度之间的对应关系最后，本 文讨论了此谱问题与a k n s 系统之间的规范变换，位势之间的广义m i u r a 变换及孤子方 程之间满足的等价关系 关键词：孤子方程；无穷守恒律；s y m p l e c t i c 算子；b i - h a m i l t o n 结构；l i o u v i u e 可积； 规范变换 a b s t r a c t s t a r t i n gw i t han e w2 2s p e c t r a lp r o b l e m ，an e w1 + 1d i m e n s i o n a ls o l i t o nh i e r a r c h yi 8 p r e s e n t e d t h e n ，a ni n f i n i t en u m b e ro fc o n s e r v a t i o nl a w sf o rt h ei s o s p e c t r a ls o l i t o nh i e r a r c h ya r e d e d u c e dw i t ht h eh e l po fr i c c a t ie q u a t i o n s m o r e o v e r ，w ep r o v et h a ti t s2 2l e n a r dp a i ro f o p e r a t o r sf o r m sah a m i l t o n i a np a i r t h u st h es o l i t o nh i e r a r c h yi st h eg e n e r a l i z e dh a m i l t o n i a n s y s t e m sa n dp o s s e s s e st h eb i - h a m i l t o n i a ns t r u c t u r e s ，m u l t i - h a m i l t o n i a ns t r u c t r u e sa n dl i o u v i l l e i n t e g r a b i h t y b yu s i n gt h em e t h o do f d e r i v a t i o no ff u n c t i o n a lu n d e rs o m ec o n s t r a i n tc o n d i t i o n s ， ac o m p l e t eo n e - t o - o n ec o r r e s p o n d e n c eb e t w e e nt h eh a m i l t o n i a nf u n c t i o n so ft h eh i e r a r c h ya n d i t sc o n s e r v a t i o nd e n s i t yf u n c t i o n sc a l lb eb u i l t f i n a l l y , t h e r ei sag a u g et r a n s f o r m a t i o nb e t w e e n t h es p e c t r a lp r o b l e mo ft h i sp a p e ra n dt h ea k n ss y s t e m a n d ，t h ep o t e n t i a l si nt h e s es p e c t r a l p r o b l e m ss a t i s f yt h eg e n e r a l i z e dm i u r at r a n s f o r m a t i o n ，t h ec o r r e s p o n d i n gr e l a t i o n s h i pb e t w e e n t h et w os o l i t o nh i e r a r c h i e si sa l s og i v e n k e yw o r d s ： s o l i t o ne q u a t i o n ；c o n s e r v a t i o nl a w ；s y m p l e c t i eo p e r a t o r ；b i - h a r n i l t o n i a ns t r u c - t r u e s ；l i o u v i l l ei n t e g r a b i l i t y ；g a u g et r a n s f o r m a t i o n l l 第一章引言 孤立子理论是非线性科学的一个重要方向，是研究非线性发展方程的主要手段之一 它的兴起给求解非线性偏微分方程带来了革命性的内容和新的动力同时，孤立子理论也 是应用数学和数学物理的一个重要组成部分它在流体力学，量子场论，经典场论，非线 性光学，等离子物理等领域中有着广泛应用而孤立子理论中的完全可积系统是国内外具 有挑战性的研究课题，人们从未停止过对l a x 或l i o u v i l l e 意义下的可积系统的寻找和扩 充在此过程中l a x 表示和零曲率表示有着重要应用 众所周知，l o u v i l l e 可积对一个有限维h a m i l t o n 系统而言，是指系统中的方程能表示 为h a m i l t o n 方程，且存在n 个独立的相互对合的守恒积分曹策问找出的非线性化方法， 亦称“约束流方法”，是构造有限维可积h a m i l t o n 系统的有效方法l i o u v i l l e 可积的概念推 广到无限维动力系统中，人们发现许多孤子方程也具有h a m i l t o n 结构其中，b i - h a m i l t o n 结构是证明非线性发展方程完全可积的直接而优美的方法 1 , 2 - 5 1 根据m a g r i 定理1 2 1 ，如 果一方程可表示成彼此相容的一族h a m i l t o n 系统，则可得到两两对合的h a m i l t o n 守恒积 分近年来，我国学者在这方面取得了很大成果屠规彰1 9 8 5 年提出的迹恒等式是构造 无穷维h a m i l t o n 系统的有效方法，该方法由一个适当的谱问题出发，获得发展方程族及 其h a m i l t o n 结构，后又进一步发展完善【6 一该方法自提出至今，已被众多研究者所采 用1 6 - 9 1 ，这一方法已成功解决了许多孤子族的h a m i l t o n 结构，如a k n s ，t c ，t a ，b p t ，y a n g 族等【1 0 ，1 “ 另外，n o t h e r 定理指出，一种具体的不变性存在着一个对应的守恒律无穷多个守 恒律是很多可积系共有的性质对于一个孤子系统而言，寻找其无穷守恒律对证明此系统 可积具有重要意义1 9 6 8 年，m i u r a ，g a r d n e r 和k r u s k a l 1 2 1 发现了k d v 方程的无穷守 恒律，此后出现了一系列的构造方法一般来说，一个连续的无穷守恒律或守恒量可以通 过以下几个途径来获得 ( 1 ) 通过b i c k l u n d 变换f 1 目一般方程的b 萏c k h m d 变换都包含x 部分和t _ 部分，由t _ 部分可构造守恒律的一般形式，而具体的守恒密度由x - 部分导出的r i c c a t i 方程来获得 这一方法只与所讨论的方程有关，不受l a x 对限制但只能获得单个方程的无穷守恒律。 ( 2 ) 通过r i c c a t i 方程组【1 3 l 从l a x 对获得r i c c a t i 方程组，利用方程组中两方程( x 部 分和t 一部分) 的相容性构造守恒律，具体的守恒密度由x - 部分导出该方法从l a x 对出 发可以获得整个发展方程族的无穷守恒律 ( 3 ) 通过散射问题及散射量a ( a ) 的渐近形式1 1 4 1 散射量a ( a ) 可以通过特征函数构造的 w r o n s k i a n 行列式来表示，利用特征函数的渐近式可得a ( a ) 的渐近式，进一步利用a ( a ) 与 t 无关的特点可以得到与谱问题相联系的无穷多个守恒量，但方程并不能构造出无穷守恒 律 对于线性等谱问题 瞧急枷钏，加删 - ， 1 讥：肿枷o ，妒：( 札忻一州t w j 其相容性条件为零曲率方程 舰一+ m ，( ”】= 0 ， n 0 ( o 2 ) 其中m = m ( 丝，a ) ，( ”) = ( ”) ( 盟，a ) 是矩阵算子，a 为谱参数，u = ( - 1 ，啦，) r 为位 势 设( 0 2 ) 确定的非线性发展方程为 鲍= ( 蓟，n 0( 0 3 ) 则称( 0 3 ) 是l a x 可积的，这是可积理论中的一个核心问题1 1 5 1 设存在s y m p l e c t i c 算子 氕又称h a m i l t o n 算子) 与h a m i l t o n 泛函 k = 巩( 型) ，使 鲍= ( 班歹警，n o ( 0 4 ) 则称( o 4 ) 为广义h a m i l t o n 方程 6 1 这一概念的引入把有限维h a m i l t o n 系统的l i o u v i f i e 定理推广到无限维【1 1 若存在另一s y m p l e c t i c 算子蟊，使 鲍= ( 墅) = j s 。h u n = 蟊s h 6 n u - 1 ，n 2 o ( o 5 ) 蟊，歹组成个h a m i l t o n 算子对，即其线性组合a 露+ p 歹恒为h a m i l t o n 算子，则称( o 5 ) 具 有b i h a m i l t o n 结构q 本文在前述理论框架下考虑2 2 谱问题 = c ，仍u = - a + 害a ：；) ， 。， 2 对应的孤子族 ( ：) k = 2 # ，1 f _ l + ( 口k 一1 一舞) 靠】+ 2 巩景) ， 的相应内容，得到了( 0 7 ) 的b i - h a m i l t o n 结构，m u l t i h a m i l t o n 结构，l i o u v i l l e 可积性， 并利用寻找无穷守恒律的方法( 2 ) 得到了( 0 7 ) 的无穷守恒律，且进一步求得了守恒密度 与h a m i l t o n 泛函之间的关系，最后讨论了谱问题( 0 6 ) 与a k n s 系统的规范等价性 全文框架如下；正文共分六节，第一节从l a x 对出发导出一类新的孤子族；第二节通 过选择新的l e n a z d 序列获得了2 x 2l e n a r d 算子对；第三节仍由l a x 对出发，求得了整个 发展方程族的无穷守恒律；第四节利用2 x 2l e n a r d 算子对是h a m i l t o n 算子对的性质，得 到了孤子族的b i - h a m i l t o n 结构，m u l t i - h a m i l t o n 结构及l i o u v i l l e 可积性；第五节利用依 赖于谱参数的守恒密度的积分在约束条件下求泛函导数的方法给出了孤子族的h a m i l t o n 泛函与守恒密度之间的关系；第六节通过寻找规范变换，建立了谱问题( 0 6 ) 与a k n s 系 统的联系，得到了两孤子族之间相应的等价关系 3 第二章h a m i l t o n 结构和l i o u v i l l e 可积性 1方程族 考虑谱问题 = u 协u = ( ：害a ：；) 其中妒= ( 妒l ，妒2 ) t ，n r ，且k 一1 ， 为两个位势 下面引进l e n a r d 递归序列 卯 其中 k g 卜1 = j g i ，j g 一1 = 0 ，j 2 0 胙b o + u 0 ；：0h ：2 - 2 0 此处0 = 岳 方程如一1 = 0 有一特解 卜害1 9 一l = l i ， i 一。j 由g - 1 作为初始值，锄) 可由下列递归关系唯一确定 可得协) 前几个值为 ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) = 一；瞄( v k - j - v , x , 堋 v 护j 却q 釉) l ( 1 q 4 、lj 、j n 一 + 孙 o 产 一 2 域 f嚣懈享懈札札” 叫札 p p 1 1 9 1 2 4 其中 令 n r = 毋一l a ”一+ 如，孔= ( o ，0 ，如) t j = o 晶= ( 砖，瑶，职) t ，矗2 面f i 丽i 1 + ( 2 ”扣1 一摹) 靠+ 他+ 1 ) 蘸】 ”m = 降乏王掣蚓矗) ， 沙，= ( 髻墨) _ 萨等扣q 瓢) i ( 小( 嚣t 慧掣川弘馈h ) ：f 矾南娣”扩l 号) 靠郴+ 1 ) 扩娜1 面面2 i 研1 一而2t i 研+ 1 ) 靠 5 ( 1 8 ) ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) ( 1 1 2 ) 舻 r 0 机 k 垒口 斗 “ 矿 扩哟一 叫 彬絮州恤倒吼 k 如。一 弘+ 氟力“ 七 斗 +缈卅卅k 沪萨釉w 耖+ 釉釉 孤子族的前两个非平凡的方程为 u t l = ；a 一( 七+ 1 + o ) “+ 【( 后一1 ) v 七一等】+ t 上2 + 百干i 2l 石k 一毒b ) + 蓐干t i 可k - k + 善勒) + 再1 、1 一七+ i 睾r ) ， ( 1 t 3 ) v t ，= 话干i 巧a 【( 童尹”膏一詈) + t ( 口七+ 1 + o ) 一i ( 口+ 詈) 2 2 1 u t ：= 研! ，。f o 。1 。o f 、：一i 耘) a 一( 知- i - 1 ) 2 钆一( 七+ 1 ) a 嘉a ( 蠹+ 罟) + ( 南+ 1 ) a ( 一而o v + a ( 一矗b ) a 嘉剜 ( 童手”知一詈) + u ( v 知+ 1 + o ) 一；扣+ 詈) 2 钞2 】 + 赢了p 击a ( 泸+ 詈) 一a ( 一毒轫) a 川- 1 - a 乜， 一( 知+ 1 + o ) t + t 2 + i 一1 ) v 詹 一2 a l v 2 5 一南) z + 南( 譬+ 洚) + 南( 1 2 + 海) “z ，0 1 4 ) 仇。= 粕( 矗b a ( 护+ 等) + ( 1 + 刁岛) 踟j “2 + 一1 ) v 七一等j + 南( 1 一k + i 轩) + 南( ：一毒b ) 让。一扣+ 1 + a ) u + i 干t 1 ( 笔萨+ 暑) 记) + 可晶可 一【蒂b a ( 扩+ 罟) + ( 1 + 刁黯) 踟】+ 南a + 矗j 【书b a ( ：一刁岛) a 一( 1 + 硒a ，o 。t o 】h ( 量手扩一詈) t k + “( 甜七+ 1 + o ) 一；( 扩+ 詈) 2 2 】 特别地 田七= 0 ，o r = 0 时，( 1 1 1 ) 的前两个非平凡方程为f 1 8 j 毗- 2 ? “一? 一一籼吼 ( 1 1 5 ) v t l = 一2 u 一；z + u + 口毗 t l t ：= t b z z + 【；“z + 扣3 一；u 2 材+ u v 2 + 2 t k 一；( ) 。】。 t k = + ( ；2 一；+ ；移3 一口2 “+ ；口k 当位势 = 2 u 时，( 1 1 5 ) 约化为b u r g e r s 方程 1 s t 2 一互z 一姚， 当位势 = t 时，( 1 1 6 ) 约化为m k d v 方程 u t 2 一五1 一再3 “。 。 i i 】k = 1 ，口= 0 时，( 1 1 1 ) 的前两个非平凡方程为 u t l = ( 一1 t ，$ 一札 2 + “2 ) ， 仇l = l u z 矿+ u 一u 2 地 6 ( 1 i 6 ) ( 1 1 7 ) ( 1 1 8 ) ( 1 1 9 ) = u z x x + ；“2 + ( t 正一十2 v - l u z + 2 删一1 z - - 2 v 一4 v ：- 2 u 2 v 2 ) z ， ( 1 2 0 ) 7 1 t 2 = z z + ；u v u z + ；u 2 t k 一3 u v 2 一； 2 + 警v 4 v z 2 2 x 2l e n a r d 算子对 为证明( 1 1 1 ) 是广义h a m i l t o n 系统，须求逆辛算子下面从( 1 1 2 ) 出发构造2 x 2l e n a r d 算子对( 瓦西，为后面证明孤子系统的b i h a m i l t o n 结构做准备求得2 x 2l e n a r d 算子对 如下 定= 苎k 2 2 2 卜南( r 斗 仁- ， 其中 瓦1 = 话 酽p 古a ( ：一蠢b ) a + a ( ：一硒a 、0 。1 0 1 ， 蟊2 = 话 酽p 嘉a ( 1 + 刁岛) 一a ( ：一i 爵了) a i 熹了】+ i 击。芳 砭1 = 两酽i b a ( ：一刁船) a 一( 1 + 砰a 、o 。1 d 1 + 矗了荸a 羁2 = 南【击a ( 1 + 毒) + ( 1 + 南) a 南】 下面我n 1 讨论如何寻求k ，j 向量场( 1 1 2 ) 可写为 一g n 3 k - - 1 c t 2 ) ， 其中歹为( 2 1 ) 所示 定义新的l e n a r d 序列 g 。) ，g 。与骱的关系如下 g 。= ( 毳) = ( 耋+ 。一。一号，鳍) 由递推关系鹃一- = 。确，抬一= 0 ，来寻求髟 a = 繇一l b = 靠一- + ( 女护一器) 靠一t 7 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 将c 渤，c z 司，c 。q 代入c m ，得( ：) “= 面( 三) ，可求出面 ( 小( 嚣1 1 黼u1 ：以k - - 1 矗a0 0 “一21 】) ：( 身由， 一=0a。十。a护vo+乩8vk ) ，d = 2 ( ：) c 。s ， = l ，= li 却 a 2 十u a ja o 蟊= ；( ；笋；a ：；) ，歹= ( 蚕：；) c z 。， 妙愁(kvk-焉ah2)(kv 芝仁埘 等 l1 - 号) 2 j = o 得 妒= ( 了竺a ) ， 协 8 其中 如= 南g 轴去砩， a = 善nu j l 一，舻- 3 + + 南g 暑+ 嚷，b = 喜两和( ”嘭一- 一嘭。) a “。， c = 塞南【( ：一毋，) g ；_ 1 ，。+ ( 1 + 嚣t ) 嘭一l 】a ”。 不难验证下面命题成立； 命题1 以一盼矿”) 】= 以( ( 髟一a 力g ) f 2 1 2 1 = 巩( 勋。) = 玑( 五；) 命题2 由零曲率方程。= 谚一m 矿( ”) 】和命题1 知下式成立 3 无穷守恒律 ( 计矗 考虑谱问题 妒。= c ，奶u = - a + 孚a ：；) 及相应的辅助问题 慨= y 仍y = a a - a a b a 1 ， 其中妒= ( 妒l ，妒2 ) t ，k ，o 为任意常数，“， 为两个位势 作变换 口：丝 则由( 3 1 ) 可得 = ( v k + ：) + 2 ( a 一；) 一一如a 2 ， 以妒1 同除( 3 1 ) ，( 3 2 ) 之第一方程给出 - ( 1 n l p l ) z = ( 一a + 2 ) + a v a ， ( i n 妒1 ) t = a a + a b a ， 9 ( 2 1 3 ) ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) 由( 3 4 ) 的相容条件得一族方程的守恒律 ( 罢+ a v a ) t = a ( a + b 口) z ( 3 5 ) 由( 3 3 ) 得 ( 一k = 鲁( ”力+ 2 ( 入一；) ( ”一) 一a ( 一) 2 - i - ( v k + l + 。) ， ( 3 6 ) 记u = ”以为得到无穷多的守恒密度，可设u 按a 的负幂展开成级数 c ，= a 一， n = o 将上级数代入( 3 6 ) ，并比较a 的同次幂系数得 a 1 ： o j o 。0 a o ： o j l = 一 ( 口。+ 1 + q ) ， ( 3 7 ) a 一”： + 1 = ( z 警+ + e 屿+ 1 叫) ， = l ，2 ) 由递推关系( 3 7 ) 可得此方程族的守恒密度，其中前3 个容易算得为 o j l = - 1 ( v + 1 + n ) ， _ j 2 = 一 ( h 七一等) 一 u ( v k + 1 + a ) + 舻+ 1 + n ) 2 ， ( 3 8 ) “，3 = - i n k 一1 ) 一1 + 2 wv 。2 一 ( k 口。一罟) 砘”一扣( 一罟) 。+ 1 ( 4 k + 1 ) 口 一等】( 口七+ 1 + n ) t k 一 ( 2 b + 1 , 2 ) ( 七+ 1 + o ) + 3 u ( v 七+ 1 + o ) 2 一矗( 七十1 + o ) 3 对于方程族只要给定a ，b 就可以在( 3 5 ) 中比较a 的同次幂系数，并利用递推公式 ( 3 7 ) 得到无穷守恒律，且族中所有方程具有相同的守恒密度，而连带流各异 对孤子族( 1 1 1 ) 的第一个非平凡方程( 1 1 3 ) ，由( 2 1 3 ) ，( 2 4 ) ，( 1 5 ) 知 a a = 一a 2 + ；( + 1 + n ) a + 可晶可 【丛笨皿+ 善】+ 2 ( ；一南) 奶搿一( 七一1 一孝) + + 1 ) 阻2 一t ( 口知+ 1 + o ) 】+ + 1 ) ( 七一1 ) 七一等】t k ， a b = 口a 2 + i u v 一( 口+ 詈) 2 一】a ， c = v k a + ；( ( 口。+ 詈) 一( 口。十詈2 + ( k v 一1 一号) 】 1 0 将此与。：萎a 一”代入( 3 5 ) 得方程( 1 1 3 ) 的无穷守恒律及相应的连带流如下 n = o u 耐= + 1 + ；( 一3 孑一 2 + 1 一n ) k ， 噩= 瓢( 1 一七) 口七十警】一 “扣七+ 1 + n ) + i ( 七十1 + ) 2 ， 乃= 一 限 一2 ) + 擎】磋一 ( ”+ 詈) 。一i - ( 3 k 一1 ) v 。一警】+ ( ”+ 1 + n ) ( k v 七一詈) 一扣2 ( 七+ 1 + n ) 一l u x ( v 七十1 + 8 ) + i 札( 钉知+ 1 + 口) 2 一i ( v 七+ 1 + n ) 3 特别地 【i 】方程( 1 1 5 ) 的无穷守恒律及相应的连带流如下 ( m n t = + 1 + ( t | 一譬一口+ 1 一口) k 乃= 一 “口+ ； 2 ， t 2 = 女毗一 “2 口一 + u v 2 一； 3 ， | i i 】方程( 1 1 9 ) 的无穷守恒律及相应的连带流如下 = + l + ；( “一鲁一口+ 1 一n ) 】。， 丑= - u v 2 十 4 ， 乃= 遽一 ”。一 “m k + ”3 一 “2 ”2 一 u z ”2 + i u ”4 一 ”6 4b i - h a m i l t o n 结构 本节我们将讨论方程族( 1 1 1 ) 的h a m i l t o n 结构及其相关性质 孤子族( 1 1 1 ) 亦即 ( u v ) 。= k g - 1 = ， 其中瓦zg 。分别为( 2 1 ) ，( 2 2 ) ，( 2 3 ) 所示 下面我们证明( 4 1 ) 具有b i - h a m i l t o n 结构并且在l i o u v i l l e 意义下可积为叙述方便， 1 1 先给出一些基本概念及符号，概念以定义和引理的形式出现。 定义1u = u ( t ，z ) 是定义在整个数轴上的光滑函数，令i ，为一向量场空间，f 为一l ，中 的函数或作用在p 上的算子，且，c 一，则，沿方向g v 的g a t e a u x 导数定义为 ，m = 磊dk _ - o f ( “+ 印) 定义2 对于给定的非线性发展方程 饥= ，( 4 2 ) 盯( t ，z ，u ) ”称为该方程的对称，如果o t = x 7 m 方程( 4 2 ) 的所有对称构成一个线性空 间s ，其对偶空间p = ，y ( ，z ，u ) i m = k + ，y 称为( 4 2 ) 的守恒协变量空间这里k “表 示k 7 的共轭算子 定义3q 称为方程( 4 2 ) 的n o t h e r 算子，如果q ：+ s ，或sq i x 】_ q k “+ k q 其中吼1 ，n 都假设不显含t 定义4 若反对称算子p 满足下式 + + = 0 ， v ，= y ( t ，z ，“) ，g = a ( t ，z ，“) ，h = h ( t ，z ，t ) ，则0 称为逆辛算子 定义5 设非线性发展方程可表为 u t = k = j f ( t ，z ，u ) ， 若j 为逆辛算子，而f ( t ，z ，u ) 为非线性泛函日的泛函导数，则称此方程为广义h a m i l t o n 方程 定义6 若演化方程u t = 可写成下列形式 u t = = j 鲁= k s h 矿_ n - 1 ，0 o u zk 为h a m i l t o n 算子对，即其线性组合a j + p k 恒为h a m i l t o n 算子，则称此系统具有 b i - h a m i l t o n 结构 定义7 若广义h a m i l t o n 方程u t = j 0 = j f ( t ，z ，u ) 存在无穷多个独立的实值泛函h ，0 ，h ，1 ，w j ， 且它们是两两对合的守恒量，则称此方程在l i o u v i l l e 意义下可积 引理1若算子l 为整个方程族( 1 1 1 ) 的n o t h e r 算子，且所有的 g 。) 都是梯度，则l 为 1 2 下面证明孤子族( i i i ) 的h a m i l t o n 结构及其l i o u v i l l e 可积性由定义6 知，需找 h a m i l t o n 算子对，而l e n a r d 算子对( 蟊，西即为所求 引理2 蟊，了为逆辛算子( h a m i l t o n 算子) ，即 ( 1 ) 膏，歹为斜称的， ( 2 ) 霄，歹满足j a c o b i 恒等式 渊川= 南弦0 皓) ，知 = 麝南心蝴掘) ( ：) 如 。， = i 干i 2f 等【晴+ 1 ) g 1 。凰+ ( 鲁k h l + 够h 2 d x ， = 南e + 1 ) a 1 h 1 。+ g 1 ( 缸+ 譬t j 2 乩 d x ， ( 4 4 ) 2 南上。【( 七+ 1 。+ g 1 ( 詈) z + 万日1 。， ( 4 4 ) 由此得 + = 雨2j 一+ o o ( 七+ 1 ) ( g l x 皿+ g 1 玩z ) + i ( 窘) z h l + v 擘h l x + i g l z + g j ( 鲁) 。】) 如 f 4 5 1 2 南j 茗【( + 1 ) ( g 1 h 1 ) z + ( 鲁峨b + ( g 1 鲁k d z = 南【 + 1 ) g i h l + 鲁凰+ g h 。 i 一- - 。0 0 = 0 ， 极 + 】 = 一 ， = 一 ， = 一 可得( 4 1 3 ) ，( 4 1 4 ) ，( 4 1 5 ) 三式之和为零，即( 4 8 ) 成立 下面验证露满足j a c o b i 恒等式令 k h = h = ， 其中 h 1 = 蟊1 h 1 + 蟊2 h 2 = 两 酽p 击a ( ；一刁岛) 鼽1 + a ( ：一矗耘) a 专a 1 + a 嘉a ( 1 + 刁簖) 危2 一a ( ：一黍羲) a 害与l + 雨b a 守 则有 ( 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) ( 4 1 5 ) ( 4 1 6 ) ( 4 1 7 ) 飓= 玩l h l + k 2 2 h 2 = 话 酽【刁岛a ( ：一毒毛) a 危1 一( 1 + 毒h ) a 嘉a 危1 ( 4 1 8 ) + 由a ( 1 + 毋) 九2 + ( 1 + 寿) a 格】+ 而1v 墨o h l ， 矛旧= ( 毳：曷毳薹：) ( 4 1 9 ) 蟊1 旧= 南 a 糟a ( ：一南) a + a ( ：一哥o t , o - - 一k h 2 。t + a 击研= 警垃+ 垡：i ； 譬丝】a + a 【= 筘纽+ 嘴。l o q ，10 ， t g 1 2 h i = 南 a 静a ( 1 + 南) + 皓一南) a 学+ a 嘉a 等学蚴1 一酬- k 产h + 韭专各譬垄p 砑b + i 干t 1a ( 争一i k u 帮h ) ， 鹂，旧= 南 专华a ( ；一南) a + ( 1 + 阿c t ，u 辩k ha + 掣学皓a + 毒l _ a 【二- 铲k h 。+ 堡k - + 2 轺a l l 一2 】a ) + 矗了( 鲁一孥鲁) a ， 霄2 【吲= 话 酽【学a ( 1 + 刁鼾) + ( 1 + 哥0 二学 t b - ( 1 k + 习l ：) r a h 一2l ，1 , q i 日1 + 1 一0 - - ( k + 1 ) 。h 2 1 ， ，十 = ( g l k i l 旧，l + g l k i 2 【卅，2 + 北弼l 旧 + 9 2 弼2 【日】，2 ) 出， ( 4 2 4 ) j 一 将( 4 1 7 ) ，( 4 1 8 ) ，( 4 2 0 ) ，( 4 2 1 ) ，( 4 2 2 ) ，( 4 2 3 ) 代入( 4 2 4 ) ，即求得“ 类似地，可 求得 ， 经过复杂的计算可得( 4 9 ) 成立 以上证明了蟊，了为逆辛算子 口 铷对于孤子族k 2 蟊警= 嗜c 其中蚓叩n ，础为逆辛鼾 对，有下列结论成立 撇化方程( 立2 露警= 嗜具祧o n 钴机 ( 2 ) 孤子族( 1 1 1 ) 中的任一方程都是l i o u v i l l e 可积的 其中p o i s s o n 括号定义如下 触峙= f _ 7 蓑瑶如 f ( 妒( 姘露= e 砸6 f - 蟊笔出 1 6 ( 3 ) h a m i l t o n 泛函为 ：，1 d p ( 4 2 7 ) j 0 证明( 1 ) 由p o i s s o n 括号的定义知，p o i s s o n 括号具有双线性，且瓦歹为逆辛算子，因 而a 膏+ 卢。7 仍为逆辛算子，即瓦歹为h a m i l t o n 算子对 ( 2 ) 由p o i s s o n 括号的定义知 砜，日m b = 席鲁了譬如 = 虑皿6 u 露! 簪如 = 一麝露誓吐如 = 一 ! 要j 警訾如 = j ! 要警一j i 警缸 = 巩+ 1 ，日。一1 ) 开 巩，目击，7 = 风，月- m l 膏 = 。日。+ 1 ，h m l 7 = 邑k + l ，h m 一2 费 = 巩+ 2 ，h m 一2 7 一= 风，凰) ， 由( 4 2 9 ) 知 若n m 为奇数，最后括号为 h k ，矾) 膏= 0 ， 若n m 为偶数，最后括号为 凰，矾) 7 = 0 ， 即月k ，日仃。是相互对合的进一步地，对孤子族( 1 1 1 ) 中的任一方程，存在 警= 碥b j = = = ，凰圬= 0 ，m ，n = 0 ，1 ，2 ， ( 3 ) 由g a t e a u x 导数定义和g ：的对称性知 磁【嘲= 詹 + 】印 = f j 】和 = 詹 印 = 1 6 = ， 1 7 ( 4 2 8 ) ( 4 2 9 ) 得警= g ( 型) 前两个h a m i l t o n 泛函为 h - 1 = 詹 d p 球( o ) ， = j ：甚( 一u + 口+ 1 ) 如， ( 凰= 詹 和 = 暑 a p = i 1j r 一+ 。o o i t n “+ 伽膏+ 1 o 七+ 1 一 2 + 2 ) 如 命题4 孤子族( 1 1 1 ) 还具有m u l t i h a m i l t o n 结构【3 1 l 鱼。= 罐= 儿等 一= 屁警= 兄”等，( 。s 七佗) 其中三= j - 1 厅 证明 只需证j l 。为逆辛算子事实上，方程( 4 1 ) 为广义h a m i l t o n 方程，故。，为方程( 4 ，1 ) 的n o t h e r 算子，而l ! 乌= 鲁，由泛函导数与守恒协变量的关系知 1 5 3 2 l ，l ：s 。扩， 故驴：s + 一s ，等豇：s + 一只哥j l 为方程( 4 1 ) 的n o t h e r 算子，再由引理1 知， 了砂为方程( 4 1 ) 的逆辛算子，故方程( 4 1 ) 具有m u l t i - h a m i l t o n 结构，即孤子族( 1 1 1 ) 具 有m u l t i - h a m i l t o n 结构 5h o a n i l t o n 泛函与守恒密度之间的关系 守恒密度为 1 8 口 ( 5 1 ) r i c c a t i 方程为 ( ”a b = 鲁( u + 2 n 一；) w a ( v a ) 2 + ( v + 1 + 叻 ( 5 2 ) 下面用依赖于谱参数的一般守恒密度的积分在约束条件下求泛函导数的方法引出孤子方 程的h a m i l t o n 性质 命题5设，( u ，”) 是u ( x ) 与”( z ) 的多项式，而g ( u m ，) 是这些函数及其导数的多项 式，则积分型泛函 h ：b o o ，( 。，。) 如 j 一 在约束条件 下对“的泛函导数为 g ( u ， ，) = 0 5 h 8 | 、一8 9 0 8 9 虿i 2 丽十p 瓦一万p 瓦：， 其中u ，”的关系及乘子p 分别由约束( 5 4 ) 与下式确定 筹+ p 丽o g 一瓦0p 瓦o g = o ，挑”粕8 z r 踟 证明设“，”有变分如： 1 与如：垃，则( 5 3 ) ：( 5 4 ) 分别有变分 5 h = 止+ 。o 。瓦o h w o f h 2 ) d x 幻= 裳塞圯+ 恚札+ 老圯。 以乘子p 乘( 5 7 ) 并在整个数轴上对z 积分后再与( 5 8 ) 相加得 a 日= c 【( 荔+ p 皇m + ( 筹+ p 丽o g 脚十p 瓦o g - 。+ 袅k 】如 再对被积函数的最后两n , g g 行分部积分给出 6 日= e ( 笔+ p 瓦o g 一瓦0 一老m + ( 筹+ 一丽o g 一丽0p 老胁 现在选取乘子p 使( 5 6 ) 成立，于是得泛函导数的表达式( 5 5 ) 1 9 口 ( 5 3 ) ( 5 4 ) ( 5 5 ) ( 5 6 ) ( 5 7 ) ( 5 8 ) ( 5 9 ) ( 5 1 0 ) 计算泛函导数的公式( 5 4 ) ，( 5 5 ) 可以推广到位势笪是向量的情形 推论1设，( u ，”，u ) 是u ( 功，v ( z ) 与u ( x ) 的多项式，而g ( u ，”，u ，v z ，) 是这些函数及 其导数的多项式，则积分型泛函 ，+ o o h ：，( t ，口，u ) 出( 5 1 1 ) j 一 在约束条件 g ( u ，”，u ，t 。，峨) = 0( 5 1 2 ) f 对笪= ( ，口) 1 的泛函导数为 ， 等= 笪+ p 裳一瓦0 一瓦o g o u ， 丽2 一十p 瓦一瓦9 瓦， j h 0 ， oa却q 一6v o v 十p 瓦一瓦p 瓦， 其中“，u 与u 的关系及乘子p 分别由约束( 5 1 1 ) 与下式确定 髦+ p 嘉一未p 蛊= 。 下面用此方法来寻找孤子族( 1 1 1 ) 的h a m i l t o n 泛函与守恒密度之间的关系 令 h ：+ ”。d 。，。：。， ，一 约束条件为( 5 2 ) = ”一) ，记其为9 ( “，口，。，地) ，则 g ( “，u ，此) = 一鲁u + ( “一2 a ) w + a w 2 一( y k + l + n ) = o 下面计算泛函导数如下 等= b = 3 ：5 + 硪一岳p 老 等= c = 筹+ p 器一岳p 老 = - ( k + 1 ) v p + ：( 掣k ， 令 彬= ( 三) ， ( 5 1 3 ) ( 5 1 4 ) ( 5 1 5 ) ( 5 1 6 ) ( 5 1 7 ) ( 5 1 8 ) ( 5 1 9 ) ( 5 2 0 ) 由( 5 1 5 ) 得 几= 1 - 1 - p ( “一2 x 一警+ 2 沁) 命题6 孤子族( 1 1 1 ) 可写为 ( 0 = 弧一u - 其中 钆= ( 芸。) ，r = 矾脚一 命题7b ，c ，r + 由( 5 1 s ) ，( 5 1 9 ) ，( 5 2 3 ) 所定义，则成立如下关系 彤( 小一a ( 三) ， 也即成立 蟊( ，( 三) 下面只需证( 5 2 5 ) 成立即可 膏( ：) = 硒击p p 击a ( ：一刁岛) a b + a ( ；一b ) a 嘉a b + o 击o ( 1 + 箝) e a ( ；一i b ) a 南q + i 订1o u