（基础数学专业论文）一类迭代泛函微分方程的解析解.pdf

山东大学硕士学位论文 中文摘要 一类迭代泛函微分方程的解析解 基础数学专业 研究生张劲指导教师司建国 非线性科学已成为当今基础科学研究的一个热点，其中迭代动力 系统扮演着十分重要的角色。对迭代动力系统的研究必然涉及迭代泛 函微分方程问题迭代泛函微分方程是一种具有复杂偏差变元的泛函 方程，其时滞不仅依赖于时间而且依赖于状态或者依赖于状态的导数 甚至状态的高阶导数这类方程是于已经形成了系统理论 1 】的传统的 泛函微分方程( 滞后型，中立型与超前型) 不同的新型方程 动力系统就是要研究一个决定性系统的状态变量随时间变化的规 律根据系统变化的规律可分为由微分方程描述的连续动力系统和由 映射迭代揭示的离散动力系统许多物理、力学、生物学以及天文学问 题的数学模型都是有连续的和离散的迭代过程描述的动力系统的许 多问题都可以化为迭代函数方程或迭代泛函微分方程例如，描述经 典电动力学的二体问题、一些人口模型、日用品价格模型以及血细胞 生产模型都涉及到迭代泛函微分方程本文将研究一种类型的迭代泛 函微分方程的解析解的存在性和解的显式结构 本文的第一章介绍迭代与动力系统，迭代泛函微分方程的有关概 念和发展情况，以及为第二章的证明提供必要的理论基础 迭代泛函微分方程与常微分方程有很大的不同由于未知函微迭 代的出现，常微分方程中经典的存在性定理不能使用迭代微分方程 是否有类似与常微分方程的存在性与连续依赖性定理是一个需要回答 的问题本文的第二章对一类二阶迭代微分方程解析解的存在性和解 的结构进行了研究它是首先利用s c h r o d e r 变换把迭代泛函微分方程 化为不含未知函微迭代的非线性泛函微分方程，再利用优级数方法得 山东大学硕士学位论文 到解析解的存在性，进而还利用s c h r 6 d e r 变换、幂级数理论研究这类具 有相当广泛性的非线性迭代函数方程解析解的存在性问题在方法上 要求其解在不动点处的特征值不在单位圆周上或在单位圆周上满足 d i o p h a n t i n c 条件 本章要解决的解析解问题也涉及在不动点处的特征值的分布当特 征值处于单位圆周上时收敛性是很复杂的，我们不仅在d i o p h a n t i n e 条 件下( 特征值远离单位根) 证明形式解的存在性，而且在非d i o p h a n t i n e 条件下( 收敛性等同于著名的“小数问题 ) 也取得了一些进展在本章 我们突破了d i o p h a n t i n e 条件的限制，在五是单位根的情形，给出了解析 解结果 在这一章，我们借鉴前辈的经验，同样利用b a n a c h 不动点定理和优 级数法讨论了一类迭代微分方程解析解的存在性及其显式解虽然， 我们与前人的方法相同，但我们的创新点是尽一步弱化了条件，在比 d i o p h a n t i n e 条件更弱的b r j u n o 条件下进行了研究，并得到了较为完整 的结果 关键词：迭代，迭代泛函微分方程，解析解，d i o p h a n t i n e 条件， b r j u n o 条件 2 山东大学硕士学位论文 a b s t r a o t a n aiy tics oiu tio nso fo n e kin d ltera tiv ef u n c tio n aie qu a tio ns m a j o r ：b a s i cm a t h e m a t i c s g r a d u a t es t u d e n t ：z h a n gj i n s u p e r v i s o r ：s ij i a n g u o n o n l i n e a rs c i e n c ei so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tt o p i c si n t o d a y ss c i e n c e t h et h e o r yo fi t e r a t i v ed y n a m i c a ls y s t e m s i n v 0 1 v e si t e r a t i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a p t i o n s t h e ya r e d i f f e r e n t i a le q u a p t i o n sw i t hd e v i a t i n ga r g u m e n to ft h eu n k o w n f u n c t i o n ，a n dt h ed e l a yf u n c t i o nd e p e n d sn o to n l yo nt h ea r g u m e n t o ft h eu n k o w nf u n c t i o n ，b u ta l s os t a t eo rs t a t ed e r i v a t i v e ，e v e n h i g h e ro r d e rd e r i v a t i y e s s u c he q u a p t i o n sa r ek i n d so fn e wf u n c t i o n sq u i t ed i f f e r e n tf r o mt h eu s u a ld i f f e r e n t i a le q u a p t i o n s ( r e t a r e df d e 、n e u t r a lf d e 、a d v a n c e df d e ) w h i c hf o r m e das y s t e m i c t h e o r y t h ep u r p o s eo fd y n a m i c a ls y s t e mt h e o r yi st os t u d yr u l e s o fc h a n g ei ns t a t ew h i c hd e p e n so nt i m e u s u a l l yt h e r ea r et w o b a s i cf o r m so fd y n a m i c a ls y s t e m ：c o n t i n u o u sd y n a m i c a ls y s t e m sd e s c r i b e db yd i f f e r e n t i a le q u a p t i o n sa n dd i s c r e t ed y n a m i c a ls y s t e m sd e s c r i b e db yi t e r a t i o no fm a p p i n g s m a n ym a t h e m a t i c a lm o d e l s i np h y s i c s ，m e c h a n i c s ，b i o l o g ya n da s t r o n o m ya r eg i v e ni ns u c hf o r m s m a n yp r o b l e m so fd y n a m i c a ls y s t e m sc a nb er e d u c e dt o a n i t e r a t i v ef u n c t i o n a le q u a p t i o no ra ni t e r a t i r ef u n c t i o n a ld i f f - e r e n t i a le q u a p t i o n f o re x a m p l e ，t h et w o b o d yp r o b l e mi nac l a s s i c e l e c t r o d y n a m i cs o m ep o p u l a t i o nm o d e ls ，s o m em o d e l so fc o m m o d i t y p r i c ef l u c t u a t i o n sa n dm o d e l so fb l o o dc e l lp r o d u c t i o n sa r eg i y e n i nt h ef o r mo fi t e r a t i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a p t i o n s i n t h isp a p e rr es t u d ys e v e r a lf o r m so fit e r a ti r ef u n c t i o n a ld if f e r - 山东大学硕士学位论文 e n t a i le q u a p t i o n s t h ee x i s t e n c e ，t h es t a b i l i t yo ft h ea n a l y t i c o n e sa r ed is c u s s e d i nc h a p t e r1 ，c o n c e p t so fu t e r a t i o n ，d y n a m i c a ls y s t e m ，it e r a t i r ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a p t i o n sa r ei n t r o d u c e d a sw e l l a sf o rs e c o n d ，t h r e ec h a p t e ro f p r o o f sp r o v i d e st h ee s s e n t i a l t h e o r yk n o w l e d g e i t e r a t i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a p t i o n sa r eq u i t e d i f f e r e n tf r o mo r d i n a r yd if f e r e n t i a le q u a p ti o n sf o rt h ea p p e a r a - n c eo fi t e r a t e so ft h eu n k n o w nf u n c t i o n s ot h ec l a s s i ce x i s t e n c e t h e o r e mf o rt h eo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a p t i o n si sn o ta p p l i c a 。- b l ei nc h a p t e r2 ，w eu s et h es c h r o d e rt r a n s f o r m a t i o nt oc h a n g e t h ei t e r a t i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a p t i o nt oa n o t h e rw i t h o u tit e r a t e so ft h eu n k n o w nf u n c tio n f u r t h e r ，w eo b t a int h e e x i s t e n c eo fa n a l y t i cs o l u t i o n a so fs u c ha ne q u a p t i o nb ym e a n s o fm a j o r a n ts e r i e s w ea l s ou s et h es c h r o d e rt r a n s f o r m a t i o n ，p o - w e rs e r i e st h e o r yt od i s c u s st h ed i s c u s so ft h ee x is t e n c ea n a l y t i cs 0 1 u t i o n sf o ra ne x i s t e n s i v ec l a s so fn o n l i n e a ri t e r a t i v e e q u a p tio n s i nt h i sc h a p t e r ，t h ee x is t e n c ea n a l y t i cs 0 1 u t i o n si sc i o s e l yr e l a t e dt ot h ed i s t r i b u t i o no fe i g e n v a l u e so fl i n e a r i z e d s o l u t i o n sa tt h ef i x e dp o i n t t h ec o n v e r g e n c eo ff o r m a ls o l u t i o n s i sv e r yc o m p l i c a r e dw h e nt h ee i g e n v a l u e sl i eo nt h eu n i tc i r c l e w en o to n l yp r o v et h ec o n v e r g e n c eo ft h ef o r m a ls 0 1 u tio nu n d e r t h ed i o p h a n t i n ec o n d i t i o n ( i e e i g e n v a l u e si s “f a rf r o m u n i t r o o t s ) ，b u ta ls om a k ep r o g r e s s e sw i t h o u tt h ed i o p h a n ti n ec o n d - iti o n ( i e t h ec o n v e r g e n c eise q u iv a le n tt ot h e w e ll k n o w n “s m a l1 d i v i s o rp r o b l e m s ) k e yw o r d s ：i t e r a t i o n ，i t e r a t i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa n a l y t i cs o l u t i o n s ，d i o p h a n t i n ec o n d i t i o n ，b r j u n o c o n d i t i o n 4 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：丕艺弛 e l 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：鲥导师签名：氧母4 l e t 山东大学硕士学位论文 第一章引言 我们常常把一些相互联系并不断变化发展的事物成作一个系统 这些事物，既可以是自然科学中的某些物质，也可以是社会客体和组 织等抽象的事物一个系统如果其历史和未来完全由某一时刻的状态 所确定，或者说只要知道它在某一时刻的状态，就能准确的预测它的 未来的命运并能回溯它历史发展过程，则称之为决定性系统动力系统 就是要研究一个决定性系统的状态变量随时问变化的规律根据系统 变化的规律可分为由微分方程描述的连续动力系统和由映射迭代揭示 的离散动力系统连续动力系统以经典力学为背景，其历史可追溯1 9 世纪末p o in c a r 6 9 1 立的微分方程几何理论，而对以迭代为背景的离散 动力系统的研究则始于一百多年以前，由数学家e s c h r s d e r 、 n h a b e l 、b 、b a b b a g e 等人创立的迭代论在近代自然科学如物理学、 化学、天文学、力学等学科的关注和推动下，动力系统理论，尤其是关 于迭代动力系统的理论发展十分迅速，取得了一些重大发现如关于周 期性的s h a r k o v s k y 序、关于分岔的f e i g e n b a u m 现象、关于运动复杂 性的s m a le 马蹄等，所有这些都极大的促进了动力系统的发展 大量的物理、力学、生物学以及天文学问题的数学模型都是有连。 续的和离散的迭代过程描述的因此，研究由由微分方程描述的连续 运动和映射迭代描述的离散运动都是现代动力系统的重要课题许多 惊人的发现都是通过对映射迭代的研究而产生的例如，作为2 0 世纪最 重要的成就之一的k a m 理论，其主要方法就是映射的迭代迭代函数方 与迭代泛函微分方程都是映射迭代的等量形式在自然界中，许多复 杂的现象都是由迭代函数方程与迭代泛函微分方程描述的微分方程 中的不变流形，h a m i1 t o n 系统中的不变环面和不变曲线，都可归结为对 迭代函数方程的研究再例如，在研究描述经典电动力学中的二体问题， 研究与遗传现象密切相关的生物学问题都涉及到迭代泛函微分方程 鉴于迭代函数方程与迭代泛函微分方程在理论上和应用上的重要性， 本文作者的研究主要在迭代泛函微分方程的定性理论方面展开工作 5 山东大学硕士学位论文 1 1迭代与动力系统 设x 是一个集合，厂和g 是定义在x 上的自映射厂。g 表示映射和 g 的复合，即 ( f o g ) ( x ) = 厂( g ( x ) ) ， x x 由此便可得到迭代的定义 定义1 1 1设厂：xhx 是集合x 到自身的一个映射，记 厂”( x ) = f 。厂”1 ( x ) ，f o ( x ) = x 其中1 1 为正整数，称”( z ) 为f ( x ) 的n 次迭代，并称n 为”的迭代指数 从定义可见： f o = i d ，f ”o f ”= f 斛” 其中耐表示恒同映射，映射的迭代构成了一个半群，如果厂是拓扑 空间x 上的连续映射，其迭代被认为是构成了一个离散半动力系统 厂“：胛z + ) ，如果在x 上是一个同胚，其迭代构成了一个离散半动 力系统 f ”：刀z 定义1 1 2 一个映射矽( f ，x ) ：rx xhx 称为集合x 上的一个流，如果 对v ，l ，t 2 r ，x x ( i ) 矽( o ，x ) = x ， ( ii ) ( f l + t 2 ，x ) = ( f 1 矽0 2 ，x ) ) 如果上述，仅在r + 上有定义，则称( ，x ) 为一个半流 定义中的集合x 如果是拓扑空间，而矽( r ，x ) 连续，这时我们称矽 为x 上的一个连续( 半) 动力系统如果x 上有c 7 微分结构，且o ，x ) 也是，阶连续可微，则称为c 流，对连续流进行离散采样，即若上 述定义中的f z ( z + ) ，f ( x ) = ( 1 ，x ) ，其中( 1 ，x ) 称为流痧的时间1 一映射， 则称 f k z ( z + ) ) 为x 上的一个离散( 半) 动力系统反之，映射 f ：ih i 如果有驴o ，x ) ，使得f ( x ) = ( 1 ，工) ，则称f 可嵌入流( 半流) 迭代作为决定性过程的数学模型，有着鲜明的实际背景，事实上人 6 山东大学硕士学位论文 们在生活中常常遇到这样的系统，系统在时刻t 的状态置由其在初始时 刻岛和初始状态民及差f 一，o 决定 置= f ( t t ok ) 如果我们每隔一个时间单位作一次观测，则第，+ 1 次观测到的状 态k 。= f ( f 州一乙，) 由于乙+ l 一乙= l ，记f ( x ) = f ( 1 ，x ) ，则我们有 = f 肿1 ( 五) ，即化为迭代因此，通过对f 的迭代的研究，可以预测系 统在未来的状态和发展趋势我们还可以对微分方程的解曲线通过时 间1 一映射化为迭代来进行研究，事实上微分方程的许多定性问题都可 以化为拓扑空间上的连续映射迭代来处理 设为拓扑空间x 上的一个同胚，厂为厂的七次迭代，称集 合 q 0 ( x ) = 厂( x ) 陋z ， q 够( x ) = 厂( x ) k z + ， d ，巧( x ) 二 厂。( x ) k z + ) 为离散动力系统厂过点z x 的轨道、正半轨、负半轨显然我 们有： 0 ，6 ；( x ) ud ；( x ) 如果存在自然数p ，使得厂，( z ) = x ，则称x 为厂的周期点，满足这 一关系的最小自然数p 称为x 的周期，并直接称x 为p 一周期点 当p = l 时x 称为不动点分别用p e r ( f ) 和f i x ( f ) 表示厂在x 上的 所有周期点和不动点的集合，显然有础cp e r ( f ) ，过周期点的 轨道称为周期轨道，反之亦然 定义1 1 3 如果存在序列吩一佃( 哪) ，i 专佃，使得 1 i m f 吩( x ) = x o i + + 则点叫做厂的缈( 五) 极限点 q t ( x ) 的彩( 五) 极限点的全体称为勿( 名) 极限集分别记为 国( x ) ( 五o ) ) ，并称( x ) = 缈( z ) u 见( x ) 为o ，b f ( x ) 的极限集 7 山东大学硕士学位论文 1 2迭代泛函微分方程及发展状况 函数方程理论是一个历史悠久、内容丰富、应用极其广泛的数学 分支广义地说，函数方程是含有未知函数的等式也就是说，这种 方程中未知的是函数然而，现今很少以这种方式来定义函数方程 因为按这种定义，函数方程的范围过于庞大显然，作为数学的独立 分支的微分方程和积分方程不应该包括在我们所说的函数方程之中 至于带时滞变元的微分方程或算子方程是否算作函数方程，数学家们 的意见也不一致，但许多这样的方程被认为是函数方程不管怎样，一 种由j a c z di 2 ， 3 等给出的所谓函数方程的现代定义已经得到普遍 的认可这种定义规定，函数方程两端的表示式是由有限个( 已知的和 未知的) 函数与变数的有限次迭加所构成在这种意义下，函数方程不 包括那些对未知函数施行无穷小运算的方程不言而喻，微分方程、积 分方程和泛函微分方程等都不是现代意义下的函数方程 我们所说的迭代函数方程是指含有未知函数迭代的函数方程而 泛函微分方程是含有时滞的迭代函数方程传统的泛函微分方程( 滞后 型、中立型与超前型) 理论已得到了广泛而深入的研究并形成了系统的 理论 4 迭代泛函微分方程是上述三种类型以外的一种具有复杂偏 差变元的新型方程这种方程的时滞不仅依赖于时间而且依赖于状态 甚至状态的导数对此类方程的研究虽然早已引起数学家们的重视，但 由于研究工作具有较大难度而进展不大进入8 0 年代以来，人们越来越 多的发现了这种方程的多方面的应用例如，在物理学、控制论、博弈 论和生物学等一系列问题中都提出这种类型的方程，显示出了它们的 强烈的研究兴趣据我所知，近二十年来诸研究者研究的主要问题是各 种具有不同初值的c a u c h y 问题用细致的分析技巧或借助于不动点定 理证明各种解的存在性与唯一性总之，迭代泛函微分方程的研究工 作只是刚刚开始，离建立系统完整的基本理论还相差很远进一步寻求 这种类型的方程数学特征，对其解的特定性态进行深入细致的分析和 研究，无论在理论还是应用上都有着重要迭代泛函微分 方程有很强的实际背景例如，古典的e uier 几何问题可导出方程 8 山东大学硕士学位论文 x ( t ) x ( f ) = x ( c + x ( x ) ) p o is s o n 的几何问题可导出方程 x 2 ( f ) + x 2 0 ) x 2 ( ，) 一x 2 0 + x ( t ) x ( f ) ) = 1 19 6 5 年，k lc o o k e 5 提出了生物学中极为重要的方程 x o ) - i - n x ( f h ( t ，x ( f ) ) ) = f ( f ) ( 1 2 1 ) 这个方程与遗传现象有关j k h ale 6 。r d d riv e r 7 研究了 上述方程当h ( t ，x ( ，) ) ) = ，一l 比k ( t x p ) ) 的情形b h s t e p h a n 8 对 ，= l ，k ( t ) = s i n 2 n t ，f ( t ) = s i n2 m 的情形讨论了周期解的存在性迭代微分 方程在经典的电动力学 7 ， 9 一 1 2 ，人口模型 13 ，日用品价格波 动模型 14 ， 15 以及血细胞生产模型 16 中都有重要的应用探索特 别需要指出的是，19 8 4 年，e d e “l7 对方程 x ( f ) = x ( x ( ，) ) ( 1 2 2 ) 作了详尽的研究，提出了区间上饱和解的概念，并用压缩映像原理 讨论了解析解的存在性19 8 8 年，王克 18 推广了e d e r 的结果到方程 x 7 ( f ) = 厂( x ( x ( f ) ) ) 19 9 0 年，吴汉忠 19 在e d er 和王克工作的基础上进一步改 进问题的讨论方法减弱了相应的条件19 6 5 年，p e t a h o v 2 0 讨 论了二阶方程 x 。( ，) = 饿( x ( 功 的一类边问题，得到了解的存在唯一性定理近期有李文荣 21 的 工作19 7 4 年，s a r k o v s k ii 2 2 研究了方程 尸( x ( f ) ，x ( ( x ( ，) ) ) ，x ( 厂( x ( ，) ) ) ) + q ( x o ) ) ) ) = o 的解的形态min s k er 在 2 3 和 2 4 中讨论了方程 口( 口( x ) ) = 口兹 解的形态，并提出了一些公开问题在光滑解和解析解的研究方 面，导师司建国与其合作者们 2 5 卜 3 7 有一系列工作我在导师司建 国研究的基础上，在本文的第二章致力于一类二阶迭代微分方程解 析解的研究 9 山东大学硕士学位论文 1 3预备知识和条件 在这一部分，我们给出一个重要引理和五应满足的三个条件，这些 都将在第二章中用到本文我们将对下列三种不同情形的五加以研究 ( h 1 ) 0 川 o 使l 刀一1 | 孝一1 刀一j 对 所有的刀1 都成立，此时见s 1 远离所有的单位根，已经在文献 3 0 卜 3 4 和 3 8 中考虑过了。尔后，我们一直致力于当五接近于单位根( 五 既不是单位根，也不满足dio p h a n tir e 条件时) 方程解析解的研究， b rju n o 条件给我们提供了一个机会。此外，我们也讨论所谓共振情况， 即( h 3 ) 被满足的情况在本文中，我们讨论一类方程在条件( h 1 ) 或( h 2 ) 或( h 3 ) 局部可逆的解析解的存在性为解决这类方程在b rju r l o 条件下 解析解的存在性，我们简单回顾b rju n o 数的定义和一些基本定理正如 在 4 0 中指出的，对一个实数0 ，我们用 目 表示它的整数部分，用 0 = 0 一 0 表示它的小数部分。对任意一个无理数0 ，则有唯一的 g a u s s 连分数展开式 肚a o + o o 2 a o + 赢毛 记0 = 【g o ，口l ，口。】，其中口，和秒，计算如下：( a ) a o = 【刎，o o = 回，且 ( b ) 1 0 山东大学硕十学位论文 行l ，以= 【古n - i 】，或= 士f ；j n - i 】定义( 以) 和( 吼) ，玎： q 一2 = l ，q i = 0 ，q n = a q 。一l + q n 一2 ， 皿2 = 1 ，n l = 0 ，以= a n p n 1 + 以一2 ， 容易证明p q 一= 【口o ，啦这样对每一个秒，记删= 。卸百1 0 9 1 ， 若召( 秒) 0 是一个常数，则0 = 【a o ，q ，口。】是一个b r ju n o 数，但不是一个 dio p h a n tin e 数所以，( h 2 ) 中的允既包含了dio p h a n tin e 条件，也包含 了一部分共振点附近的五令0 r q 且( 以) 艇为0 的g a u s s 连分数中的 部分因式，如同 4 0 ，令 4 = 伽。卜秒i i 去 ，巨= m a x 瓴，勺，仇= 瓦q k ， 令4 为，0 的整数集，使得j 4 或对 ，j 2 4 ，j 2 一 b ，有 五 0 山东大学硕士学位论文 ( 4 ) h k ( n + q t ) 玩0 ) + l 对所有的自然数刀 我们设g k ( 甩) ：= m a x ( h k ( n ) ，【旦】) ，则它有下列性质： 吼 ( 1 ) g k ( o ) = 0 ( 2 )( 刀) 堡业对任意的自然数疗 ( 3 ) g k ( n 1 + ( 刀2 ) ) g k ( 确+ n 2 ) 对任意的自然数n , a n d 刀2 ( 4 ) 如果b a k 和， 0 则g k ( ，z ) g k ( 刀- 1 ) + l 则它有下列结论： 引理1 3 1 ( 引理 4 1 ) k ( 刀) = 刀l 0 9 2 + ：譬( 疗) l o g ( 2 9 m ) 1 2 则( a ) 存在一个不依赖刀和目的常数， 0 ，使得 m 胁( 孝卅， ( b ) k ( n 1 ) + k ( n 2 ) k ( n l + 刀2 ) 对任意的自然数和刀2 ( c ) 一l 。g p 一1 l k ( 玎) 一k 一1 ) 山东大学硕士学位论文 第二章迭代泛函微分方程l ( z ) + x ( z ) = ，( z ) 的解析解 本节我们主要来讨论二阶微分方程： x ( z ) + x ( z ) = x m ( z ) 的解析解的存在性 2 1方程( 2 0 1 ) 的辅助方程的解析解 考虑辅助方程： 刀y ( 2 z ) y 7 ( z ) 一砂7 ( 2 z ) y ( z ) + 砂( 允) 【y ( z ) 】2 = y ( z ) 】3y ( 2 z ) ( 2 1 1 ) 满足初值条件： y ( o ) = 7 ，y ( o ) = 刁0 ( 2 1 2 ) 的解，其中7 ，7 是复常数，且五满足条件( h 1 ) ，( h 2 ) ( h 3 ) 条件之一 定理2 1 1 假设( h 1 ) 成立则对于初值条件( 2 1 2 ) 方程( 2 1 1 ) 在原点的领域内存在形如 y ( z ) = 7 + r z + 吒少 ( 2 1 3 ) 解析解 证明：重写( 2 1 1 ) 为下列形式 a 2 y ( a z ) y ( z 万) - 矗2 y - _ ( a z ) 一y ( z ) ：y ，( z ) y ( z ) 一砂，( 允) l v ( z ) 】2 。、7。、7。、7 或 五( 铬卜删2 z 叫c 脚 由 ( 0 ) = r l 0 ，可得 y ( 允) = y ( z ) 1 + 去fb ( s ) y ( 刀s ) 一砂( 知) k 定义b o = y 和岛= r ，然后代( 2 1 3 ) 到( 2 1 4 ) ，通过比较系数，可知， 山东大学硕士学位论文 数列溉艇：可由 “一五b + 2 h + ：= 砉萎堡生鲁华k + l b j + l 屯一。一 + l h + l 巩一川刀- + 1 n = o ，1 ，2 ， ( 2 1 5 ) k = o 唯一确定这意味着辅助方程( 2 1 1 ) 有形式解( 2 1 3 ) 1 4 我们需要证明幂级数( 2 1 3 ) 在原点的领域内收敛首先，注意 到个正数m ，有 和 m m 因此定义数列 或浇。，8 0 - i r l ，旦= r i 且 聆= 0 , 1 ，2 ， 鉴于( 2 1 5 ) 则有 m 0 ，使得g t ”，刀= 0 , 1 2 ， 现在通过数学归纳法，来证明：阮i c 。e k ( 肛，刀1 ，其中k ：n r ( 见引理1 3 1 ) 事实上，l b o i = m = c o ，l b l l = m = c 。，下面归纳证明 i b k l c p k ，k m 由( 2 1 5 ) 和引理1 3 1 ，得： k + l l 网m ( 掰训伸i i 一- - i + 酏m - i 川k t i ) 因为： k ) + k ( ，) + k ( 聊一1 一歹一七) k ( m 一2 ) k 如一1 ) l o gz 一1 | + k ) 和 k g ) + k 如一1 一七) k ( m 一1 ) k ( m 一1 ) _ 0 ，使 k g ) 忍佃p ) + ) 于是 m r ”p ( 川x 占咖丁”p 批h 即： l i m s u p o b 。胪_ l i m s u p ( t e 忙协旬声死酬班 这表明( 2 1 3 ) 的收敛半径不小于( t e 曰( 一h ) 在条件( h 3 ) 情况下， 常数五在复单位圆上，但不是一个单位根在这种条件情况下，它即不 满足dio p h a n tin o 条件也不满足b rju n o 条件，定义数列溉) ：。，其中： do=川di=m ，nn - kn、 见+ ：= f m i 4 + 。d 川或士+ d 川见4 i 万= 0 1 ，2 ，( 2 1 13 ) 其中r = m a ) 【每，1 名一l 卜f = l ，2 ，卯一1 j 定理2 1 3 假设( h 2 ) 成立，p 已定义，定义数列概。o oo ，其中b o = 7 和 6 1 = 7 7 和+ 2 一五勋+ 2 h + ：= 秒g ，兄) n = o ，1 ，2 ，( 2 1 14 ) 令po，力)=套；l；5111二125；私+。6，+。6j一。一，一砉(忌+th+。6；一。+。歹r一+l 如果目( 甲一1 ，五) = 0 ， 1 ，= l 2 ，则方程( 2 1 1 ) 在原点的领域 内存在一个解析解y ( z l 且满足y ( o ) = j ，y 7 ( 0 ) = 刁，和 y ( , , p - - 1 ) ( o ) = b 一1 ，刁矿。， 这里r , p i j 是任意的常数，它满足不等式l 叩节一lj j d 驴l ，数列 d n ：o 。由 ( 2 1 13 ) 确定，否则，如果乡b 一1 ，五) 0 ，= 1 ，2 ，则方程( 2 1 1 ) 在原点的领域内没有解析解y ( z ) 证明：如在定理( 2 1 1 ) 中证明那样，我们可寻找形如( 2 1 3 ) 的解 析解其中( 2 1 5 ) 仍然成立。如果存在某个自然数1 ，使 1 7 山东大学硕+ 学位论文 口o p l ，五) 0 因y , s 舻= o ，所以对于刀= 甲一1 时等式( 2 1 5 ) 不成立因此方程 ( 2 1 1 ) 没有形式解如果p b 一1 ，彳) = 0 ，对每一个1 ，n ，在复域中对 6 驴l ，n 在( 2 1 5 ) 有无数多的选择，即形式幂级数解( 2 1 3 ) 定 义具有无穷多个参数的解簇任取b p 一。= 一。且满足 l r p - i i d 驴l v = l 2 ， ( 2 1 15 ) 其中d v _ l 在( 2 1 13 ) 中已定义，下面我们来证明幂级数解( 2 1 3 ) 在原点的一个领域内收敛对于刀v p 一1 ， ，= 1 2 ，因为 i 刀“一1 | - 1 1 1 ，又由( 2 1 5 ) 得到 l 吒+ ：l r m i d k + 。d 川见小+ zo 见m 。l ( 2 1 16 ) k = 0 1 = 0 k = 0， 定义： w ( z ，y ，r l ，) = z d z ” ( 2 1 17 ) 由满足辅助方程 r ( z ，缈，y ，7 7 ，肼) = 0 ( 2 1 1 8 ) 其中r 在定理( 2 1 1 ) 中定义类似证明定理( 2 1 1 ) ，可以证得 ( 2 1 17 ) 原点的一个邻域内有唯一的解析解娟，y ，r ，r m ) 使得 伊( 0 ，7 ，r ，f m ) = l r i 和 纪。( 0 ，y ，r ，“m ) = i r 1 于是，我们有 w ( z ，y ，r l ，r u ) - - 簟o ( z ，y ，r ，f m ) 所以函数( 2 1 16 ) 在原点的个领域内收敛再者，通过归纳法可以容 易证明 阮i 见 力= 1 2 ， 所以，级数( 2 1 3 ) 在原点的一个领域内收敛 证毕 2 2方程( 2 0 1 ) 的解析解 定理2 2 1 假设定理( 2 1 1 ) 或定理( 2 1 2 ) 或定理( 2 1 3 ) 成立则 方程( 2 0 1 ) 在原点的一个领域内存在解析解七) = j ，协一1 g ) ) ，其 1 8 山东大学硕七学位论文 中j ，( z ) 是( 2 1 1 ) 的解析解 证明：根据定理( 2 1 1 ) 、定理( 2 1 2 ) 、定理( 2 1 3 ) ，形如( 2 1 5 ) 的函数y g ) 是辅助方程( 2 1 1 ) 在原点的领域的解析解由于 y ( o ) = 7 0 ，y 7 ( o ) = 刁0 ，函数y - 1 ( z ) 在点y ( o ) = 厂的领域的解析，现 定义： x ( z ) = y 协一1 ( z ) ) 那么可得： x ”( z ) = x g ) = x ”g ) + z g ) = ：笙! ：垃：! 鱼! 复：q ：! 垒塑二! ! 垃：! g ! 坦：q ：鱼塑型! 垃：! 鱼! 眇一( z ) 为3 = y g ”= x m ( z ) 证毕 2 3方程( 2 0 1 ) 的显式解 + 在前面，我们已经证明了在定理( 2 1 1 ) 、定理( 2 1 2 ) 、定理 ( 2 1 3 ) 的条件下，方程( 2 0 1 ) 在原点的一个领域内有唯一解析解 x g ) = y 协_ 1 ( z ”，其中少g ) 是( 2 1 1 ) 的解析解由于如( 2 1 3 ) 的y ( z ) 以通 过( 2 1 4 ) 计算，至少理论上写出x ( z ) 的显式是可能的，下面我们利用 x ( z ) 来构造方程( 2 0 1 ) 在( o ，7 ) 的显式解 假设 、x g ) ：x g ) + x ，g ) o s ) + 兰掣g s ) ：+ 我们需要确定各阶导数 x ”g ) ， 疗= 1 , 2 ， 由x g ) = y 一1 ( z ) ) 可分别推知xg ) = y 协一1 g ”= y q o ) = 少( 0 ) = j 1 9 x g ) = 山东大学硕十学位论文 = 错= 名y 7 ( o ) x g ) + x g ) = x 朋g ) = j x 。g ) = s 一名 x 胛g ) = 一s + t 为了方便，记 ( z ) = x ( i ) g ，( z ) ) 用归纳法我们可以证明 g 册g 诊= 己 g 。( z ) ，x 。，肘一。( z ) ；也。( z ) ；也。肼一。( z ) ) 其中巴j 是据非负系数的多元多项式，其次，对( 2 0 1 ) 两边求 导得： 于是 x ( 2 棚g ) + x o g ) = g “( z 矿 = 己一g 。g l ，x 。朋一。( z ) ；x n 。( z ) ；, x n ，。一。( z ” x ( 2 棚g ) + x g ) = 己一g 。g ) ，x 。，肿一。g ) ；x 。g ) ；，脚一，g ” = 匕一g g ) ，x g ) ；x d g ) ；x ( h g ) ) = 巴一o ，名；x ( h 0 ) ；x ( 月g ) ) 2 ：， 因此，我们可以写出x ( z ) 的显式： 刀= 1 , 2 ， 刀= 1 , 2 ， x ( z ) 名g j ) + 可s - 2 2 + 冬竽(