江苏省苏州市第五中学高考数学总复习 第3讲 平面向量的数量积课件.ppt

第3讲平面向量的数量积 知识梳理1 平面向量的数量积已知两个非零向量a和b 它们的夹角为 我们把数量 a b cos 叫做向量a和b的数量积 或内积 记作 规定 零向量与任一向量的数量积为 2 平面向量数量积的几何意义数量积a b等于a的长度 a 与b在a的方向上的投影的乘积 a b a b cos 0 b cos a cos a b 0 a 2 4 平面向量数量积满足的运算律 1 a b 交换律 2 a b 为实数 3 a b c b a a b a b a c b c x1x2 y1y2 x2 y2 x1x2 y1y2 0 2 对平面向量的数量积的性质 运算律的理解 4 a b 0 则a 0或b 0 5 a b c a b c 6 a b a c a 0 则b c 感悟 提升 三个防范一是两个向量的数量积是一个数量 而不是向量 如 1 二是在向量数量积的几何意义中 投影是一个数量 不是向量 设向量a b的夹角为 当 为锐角时 投影为正值 当 为钝角时 投影为负值 当 为直角时 投影为0 当 0 时 b在a的方向上投影为 b 当 180 时 b在a方向上投影为 b 如 2 当 0 时 a b 0 180 a b 0 即a b 0是两个向量a b夹角为锐角的必要而不充分条件 如 3 三是a b 0不能推出a 0或b 0 因为a b 0时 有可能a b 如 4 考点一平面向量数量积的运算 例1 1 2013 茂名二模 若向量a b c满足a b 且b c 0 则 2a b c 2 2014 威海期末考试 已知a 1 2 2a b 3 1 则a b 解析 1 a b b a 又b c 0 a c 0 2a b c 2a c b c 0 2 a 1 2 2a b 3 1 b 2a 3 1 2 1 2 3 1 1 3 a b 1 2 1 3 1 2 3 5 答案 1 0 2 5 规律方法求两个向量的数量积有三种方法 利用定义 利用向量的坐标运算 利用数量积的几何意义 具体应用时可根据已知条件的特征来选择 同时要注意数量积运算律的应用 答案 1 4 2 6 考点二向量的夹角与向量的模 例2 1 2013 安徽卷 若非零向量a b满足 a 3 b a 2b 则a与b夹角的余弦值为 2 已知向量a b满足a b 0 a 1 b 2 则 2a b 考点三平面向量的垂直问题 例3 已知a cos sin b cos sin 0 1 求证 a b与a b互相垂直 2 若ka b与a kb的模相等 求 其中k为非零实数 审题路线证明两向量互相垂直 转化为计算这两个向量的数量积问题 数量积为零即得证 由模相等 列等式 化简求 规律方法 1 当向量a与b是坐标形式给出时 若证明a b 则只需证明a b 0 x1x2 y1y2 0 2 当向量a b是非坐标形式时 要把a b用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角 从而进行运算证明a b 0 3 数量积的运算a b 0 a b中 是对非零向量而言的 若a 0 虽然有a b 0 但不能说a b 1 计算数量积的三种方法 定义 坐标运算 数量积的几何意义 要灵活选用 和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用 2 求向量模的常用方法 利用公式 a 2 a2 将模的运算转化为向量的数量积的运算 3 利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧 审题 一审 抓住题眼 矩形abcd 二审 合理建立平面直角坐标系 转化为代