西南交通大学自动控制原理期末复习题.Text.Marked.pdf

自动控制原理自动控制原理自动控制原理自动控制原理 期末复习期末复习期末复习期末复习 1 1 1 1 考试范围考试范围 铺盖全书内容 以时域分析 复域分析 频域分析 系统设计和非线性系统稳定性为主 要考试内容 1 系统建模 时域分析在半期考试已经考察 本次不作为重点内容单独考察 2 复域分析 根轨迹的绘制和分析 3 频域分析 bode 图的绘制和绘制 4 频域稳定性 nyquist 稳定性判据 5 控制系统的串联校正设计 超前校正 滞后校正 bode 根轨迹 6 非线性控制系统稳定性和自持振荡 2 2 2 2 系统建模和转换系统建模和转换 1 控制系统的组成 g g g g s s s s g cg cg cg c s s s s h h h h s s s s r r r r s s s s y y y y s s s s 传函传函 有向信号线有向信号线 分支点分支点 比较点比较点 2 基本控制方式 开环控制 闭环控制 复合控制 3 数学模型 应用 laplace 变换求解微分方程 传递函数的求解和化简 模型之间的熟练转换 主要难点是传递函数和状态空间方程 微 分 方 程微 分 方 程 g g g g s s s s g g g g j wj wj wj w l l l l l l l l 1 1 1 1f f f f f f f f 1 1 1 1 s s s s j wj wj wj w www zhinanche cc 状态方程 传递函数 dudududucxcxcxcxy y y y bubububuaxaxaxax x x x x du s du s du s du s cx s cx s cx s cx s y s y s y s y s bu s bu s bu s bu s ax s ax s ax s ax s sx s sx s sx s sx s du s du s du s du s cx s cx s cx s cx s y s y s y s y s bu s bu s bu s bu s a a a a si si si six s x s x s x s 1 1 1 1 u s u s u s u s d d d db b b ba a a a c sic sic sic siy s y s y s y s 1 1 1 1 传递函数 状态方程 常数分子项传递函数 状态方程 多项式分子传递函数 输出方程 0 1 1 1 asasa n n n n 0 1 1 bsbsb m m m m 3 3 3 3 控制系统时域分析控制系统时域分析 21 10 q n m pspspss zszszsk sg 1 控制系统的零点和极点 输入信号的极点决定了强迫响应类型 传递函数的极点决定了自然响应类型 零点影响了各种运动模态在响应这的比重 极点越远离虚轴 衰减越快 高阶系统的主要响应由主导极点决定 2 时域响应 一 二阶系统 动态特性 以二阶欠阻尼系统的振荡响应为例 2 2 2 2 nn n sssr sy 10 arccos 1 sin 1 1 2 tety n t n g g g g s s s s 1 1 1 1 r r r r s s s s y y y y s s s s e e e e s s s s www zhinanche cc 1 2 2 1 nn s arccos 100 4 2 1 e t n s 稳态特性 系统类型 0 1 2 误差系数 p ss s p k esgimlk 1 1 0 v ss s v k essgimlk 1 0 a ss s a k esgsimlk 1 2 0 稳定性 代数稳定判据 劳斯判据 2 1 n j n n www zhinanche cc 4 4 4 4 控制系统的复域分析控制系统的复域分析 1 根轨迹的定义 基本条件 0 1 shskgsq 角条件和模条件 180 12 180 1 kshsg shskg 当控制系统开环增益k 0 发生变化时 系统的闭环极点也随之发生改变 通 过选择合适的k值获得系统闭环根的分布 从而得到满意 预期 指定的系统特性 2 根轨迹的绘制 基本绘制规则和步骤 写出特征方程 求解开环零极点 在复平面标注出开环零极点 确定实轴上的根轨迹 确定根轨迹的分支数 根轨迹关于实轴对称 如果有 根轨迹的渐近线 如果有 应用劳斯判据求解根轨迹与虚轴的交点和临界开环增益kcr 如果有 确定实轴上的分离点 如果有 求解开环交点的出射角和开环零点的入射角 确定满足相角条件的根轨迹上的点 超调量 确定闭合根对应的参数值k 3 根轨迹的分析和计算 根据阻尼比求解对应增益 k g g g g s s s s r r r r s s s s k k k k y y y y s s s s h h h h s s s s www zhinanche cc arccos 100 4 2 1 e t n s 根据给定增益 k 值确定闭环系统特征根 采用主导极点近似方法 计算系统的动态 性能指标 在给定 k 值情况下系统闭环稳定性分析 根轨迹与虚轴的交点 该点对应的临界增益值 在给定 k 值情况下稳态性的分析 系统类型 误差系数 例例 4 14 1 p p7 37 3 已知根轨迹如下 14 12 10 8 6 4 2024 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 root locus real axis imaginary axis 求 1 写出系统的开环传递函数 2 实轴上的分离点以及该点对应的增益 k 3 当有两个 闭环特征根位于虚轴时 系统的增益和特征根 4 k 6 时的闭环特征根 www zhinanche cc 解 解 解 解 1 写出系统的开环传递函数 5 2 sss k sg 2 实轴上的分离点以及该点对应的增益 k 令0 ds dk ds sdg 得 01073 2 ss 解得 78 3 88 0 6 7614 2 1 s 舍去 根据幅度条件1 5 2 88 0 s sss k 得 06 4 k 3 当有两个闭环特征根位于虚轴时 系统的增益和特征根 如图根据根轨迹与虚轴的交点有 0 5 2 107 1 23 sss ksss sgsp 令 js 带入得0107 33 kjj 07 010 2 3 k 得 70 10 k 10 2 1 s 4 k 6 时的闭环特征根 当 k 6 时 特征方程 06107 23 sss 显然 k 6 时 系统存在一个位于 4 之间得实根和一对共扼复根 试根法 ps ssssp 6107 23 s 5p 6 s 6p 18 s 5 5p 3 62 s 5 3p 0 7530 s 5 34p 0 0641 12 1 66 1 34 5 6107 223 ssssss 解得 s1 5 3369 s2 3 0 8315 0 6579i www zhinanche cc 根轨迹主要特征点如图 root locus real axis imaginary axis 14 12 10 8 6 4 2024 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 0 160 30 460 60 72 0 84 0 92 0 98 0 160 30 460 60 72 0 84 0 92 0 98 2468101214 system sys gain 4 06 pole 0 88 damping 1 overshoot 0 frequency rad sec 0 88 system sys gain 69 3 pole 0 00261 3 15i damping 0 000831 overshoot 99 7 frequency rad sec 3 15 system sys gain 6 pole 0 824 0 657i damping 0 782 overshoot 1 95 frequency rad sec 1 05 5 5 5 5 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 1 频域特性函数 定义 js sgjg 相频响应函数 幅频响应函数 arctan jg jgg gjg 几何表示方法 极坐标图 nyquist 图 稳定性判据和稳定裕量的定义 对数频率图 bode 图 系统的分析和校正 对数幅相图 nichols 图 了解 2 基本环节的几何图形 比例环节 常数增益 kkjgksg 积分 微分环节 原点处极点 零点 j jg s sg 1 1 一阶惯性 微分环节 实轴上的极 零点 1 1 1 1 tj jg ts sg www zhinanche cc 二阶振荡 微分环节 共轭复极点 复零点 1 2 1 12 1 222 tjtj jg tsst sg 3 复杂系统 bode 图的绘制 a 将开环传函分解为基本环节之积 b 确定开环增益 比例环节 和转折频率 一 二阶环节 c 画出各单元渐近线 d 从左向右 每遇到一个转折频率将各曲线斜率相加 e 将各相频曲线相加 关键点进行精确计算确定 例例 5 15 1 注 低频段斜率有误 应该是 20db dec 36 1 1 8 1 1 2 1 sbsss assk sg 解 如图 在低频段903 0 20 1log8 log 20lg20 k 8 k 转折频率 36 24 8 4 2 54321 对比可得 24 1 4 1 ba 36 1 24 1 8 1 4 1 2 1 8 ssss ss sg www zhinanche cc 例例 5 25 2 已知系统传递函数为已知系统传递函数为 120 8 12 15 0 4 2 ssss s sg 绘制图形并分析性能 a 绘制 bode 图 120 8 12 15 0 4 2 jjjj j jg 幅频特性 幅频特性 1 分解为基本环节 确定各转折频率 2 确定低频段与纵轴的截距 然后在各转折频率点出斜率相加 相频特征 相频特征 1 选取 80 8 2 5 0 05 0 点计算 arctan jg 的值 标注在 图上 根据对幅频图形的判断 添加幅值增益为 0 时对应的频率为 w1 初的相位 2 用光滑曲线连接 bode diagram frequency rad sec 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 270 225 180 135 90 phase deg system sys frequency rad sec 7 69 phase deg 180 100 50 0 50 100 magnitude db system sys frequency rad sec 1 46 magnitude db 1 07 b 计算幅值增益为 0 时对应的频率为 w1 和相位为 180 时对应的频率 w2 根据绘制的 bode 图进行读取 c 增益裕量 log20 2 jggm 相位裕量 arg 180 1 jg m www zhinanche cc 6 6 6 6 频域稳定性频域稳定性 1 极坐标图 定义 以 位参变量 当 从 0 发生变化时 g j 在复平面形成的曲线 g jxrjg 对物理可实现系统 n i i i m j j j r k kkk m m m n q i i ja jb jjjj jk jg 0 0 1 2 1 1 2 1 1 1 在低频段 n j k g 0 高频段 mn n m ja b g 1 0 0 型 系 统型 系 统 i i 型 系 统型 系 统 i i i i 型 系 统型 系 统 n n m m 1 1 n n m m 2 2 n n m m 3 3 n n m m 4 4 2 nyqiust 判据 基于复变函数的科西映射定理 g g g g s s s s h h h h s s s s r r r r s s s s y y y y s s s s e e e e s s s s 当 sd sn sh sd sn sg h h g g 时有 1 sdsd snsnsdsd shsgsf hg hghg 通过 d 型围线的选取 考察0 1 shsgsp的根的分布情况 www zhinanche cc a d 型围线 b 广义 d 型围线 nyqiust 判据 考察映射后形成的像围线绕 1 0 点的圈数 顺时针为正 pnz 其中 p 不稳定开环极点个数 由给定的开环传递函数确定 n 像围线绕 1 0 点的圈数 从 nyquist 图中读取 z 不稳定闭环极点的个数 计算并判断 例例 6 1 6 1 已知系统开环传递函数为已知系统开环传递函数为4 4 2 k sss k sgh 利用 利用 nyquistnyquist 图形图形 判断判断系统稳定性 求与实轴的交点 并指出稳定范围 系统稳定性 求与实轴的交点 并指出稳定范围 18090 0 4 90 4 0 4 90290180290 90 90180290 90 0020 0 二相限 三相限 je k eee k cec eee k beb eee k aea jjjj j jjj j jjj j 1 4 1 2 1 0 8 0 6 0 4 0 20 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 nyquist diagram real axis imaginary axis www zhinanche cc 如图 当 k 发生变化时 曲线与实轴的交点发生变化 4 2 re 20 4 im 4 4 4 2 222 2 2 k jgh kjgh jjk jj k jgh 所以 当40 k时 曲线与实轴交点在 1 0 的右侧 z 0 p 0 n 0 系统稳定 7 7 7 7 控制系统设计控制系统设计 1 串联校正方式和校正网络 g g g g s s s s h h h h s s s s r r r r s s s s y y y y s s s s e e e e s s s s g cg cg cg c s s s s n j j m i i c ps zs ksg 1 1 a 超前校正网络 t s t s ts ts scr rr r scr rr r sgc 1 1 1 1 1 1 11 21 2 11 21 2 其中1 21 2 r rr c 滞后 超前校正网络 2 校正方法 a 频域校正 性能指标 误差系数 增益裕量 相位裕量dbgsk mmv 10 50 20 1 校正原则 低频段 系统稳态误差 增益足够大 保证误差系数 中频段 系统动态响应 充足的稳定裕度 良好的动态特征 高频段 系统抗干扰能力 尽可能快的下降 衰减高频干扰噪声 校正步骤 串联超前校正 1 根据误差系数确定开环增益 k 绘制未校正系统的 bode 图 计算系统 的相角裕度 2 根据给定的相位裕量 确定所需要的最大超前相角 m 3 根据超前校正网络特性 计算系数 4 计算新的幅穿频率点 c m 5 计算极点和零点 6 绘制校正后的系统 bode 图 验证相位裕度是否满足了设计要求 串联滞后校正 1 根据稳态指标 确定系统开环增益 k 绘制对应 bode 图 2 计算为校正系统的幅穿频率和相位裕量 3 计算能满足相角裕度设计要求的交点频率 附加滞后相角 4 配置滞后网络的零点 通常取零点频率比预期交点频率小 10 倍频程 5 根据交点频率和为校正系统的幅值增益曲线 确定校正网络需提供的增 益衰减 2olog 从而确定 6 计算校正网络的极点频率 完成设计 www zhinanche cc 7 绘制校正后的系统 bode 图 验证相位裕度是否满足了设计要求 b 根轨迹校正 性能指标 误差系数 调整时间 超调量 17 2 5 1 stsk sv 校正原则 系统通常近似为二阶主导极点系统进行分析设计 最后进行主导性验证 校正步骤 串联超前校正 1 根据系统性能指标 求出主导极点的预期位置 2 绘制未校正系统的根轨迹 验证系统是否具有预期主导极点 3 当主导极点位于根轨迹左侧 校正网络需增加超前相角 采用超前校正 网络形式 4 求出需增加超前相角 采用平方角度法来确定控制器零极点 30210180180 10 sg c 92824 75sin 45sin sin sin 4645 sin sin 45180 2 1 z p nc n c c c 5 根据根轨迹幅值条件 确定校正后的 k 值 6 验证闭环极点的主导性和性能指标 sv tk n s nn t e j p 4 3 cos 100 1 2 1 2 21 www zhinanche cc 串联滞后校正 1 根据系统性能指标 求出主导极点的预期位置 2 绘制未校正系统的根轨迹 验证系统是否具有预期主导极点 3 当主导极点位于根轨迹上 采用滞后校正网络形式 4 确定未校正系统在主导极点位置的增益取值 计算此时的误差系数 5 根据校正前后的误差系数 计算 p z k k v v 校正前 校正后 6 选取零点 z 为原系统参数最大时间常数为 1 秒的十倍 原系统考原点最 近稳定实根的 1 10 求得零极点 7 根据幅值条件 确定校正后总的开环增益 k 8 验证闭环极点的主导性和性能指标 sv tk 例例 7 7 1 1 对照校正步骤 复习讲义中的例子 认真理解每一步 对照校正步骤 复习讲义中的例子 认真理解每一步 例例 7 7 2 2 已知单位负反馈系统的开环传函为已知单位负反馈系统的开环传函为 1 01 20 ss sg 串联校正装置传函为 串联校正装置传函为 110 1 s s sg 1 1 绘制校正前后的绘制校正前后的 bodebodebodebode 图 幅频和相频 图 幅频和相频 2 2 2 2 计算校正前后的截至频率 幅值增益为 计算校正前后的截至频率 幅值增益为 0 0 0 0 时对应的频率 及相位裕量 时对应的频率 及相位裕量 3 3 3 3 判断系统采用何种校正方式 判断系统采用何种校正方式 解 1 bode 图 www zhinanche cc 100 50 0 50 100 150 magnitude db 10 3 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 180 135 90 45 0 phase deg bode diagram frequency rad sec 2 校正前 146 10log log40 cc 2 37 14 180 jg m 校正后 26 1log log20 cc 5 54 14 180 jg m 3 校正前后 幅频左移 截至频率降低 稳定裕量增大 校正网络为滞后相角 故采用滞后校正方式 bode diagram frequency rad sec 100 50 0 50 100 150 system sys frequenc