巧用圆锥曲线的定义解决立体几何中的轨迹问题.doc

巧用圆锥曲线的定义解决立体几何中的轨迹问题第2卷2006年3月第3期中国基础敲1.研究ResearchMageOfQBasicEducation,7-0l2No.32O06巧用圆锥曲线的定义解决立体几何中的轨迹问题刘艾清湖南省邵阳市第二中学邵阳422000随着数学课程的改革,高考大纲里提出了注重数学知识的整体性和综合性的要求.因此,重视知识的交叉渗透,在知识网络的交汇点上设计试题,将成为高考命题中新的风景线,本文主要例举解析几何与立体几何在轨迹交汇点上的一些具体问题.1.轨迹为圆型.例1如图1,A,B为直二面角atB棱上的两点,C为a内一点,且AABC为正三角形,今以C为圆心,AB长为半径在B内从A到B画弧线,则曲线AB为()圈1A抛物线的一部分B双曲线的一支C椭圆的一部分C圆的一部分解:取AB之中点M,P点为曲线AB上的点,则CM:AB为定长(M为定点),且CM-l_B,于是CM2-l_,在Rt<CIVIP中,MP=4CP2-CM2=仰.一仰=仰=定长于是,曲线AB即点P的轨迹是以定点M为圆心,iAB为半径的半圆,所以答案选D2点评:本题主要利用线面垂直的知识,将空间向量问题转化为平面上的问题,从2.轨迹为椭圆型.例2如图2,在正方体ABCD-ABC.D.中的侧面AB-内有一动点M到直线BC的距离是点M到直线A-B距离的,则动点M的轨迹为()3I-口.A圆弧B椭圆的一部分C双曲线的一部分D抛物线的一部分解:易知点M到直线BC的距离即为她,于是问题等价于求动点M的轨迹使M到定点B的距离与M到直线AlB.的距离之比为,由椭圆的第二定义知,点M3的轨迹是以B为焦点,直线AB为准线的椭圆在侧面AB.内的部分,从而选答案B.点评:本题利用线面垂直的性质,抓住了椭圆的第二定义易求解.3.轨迹为抛物线型.例3(2004年北京高考题)如图3,在正方体ABCD-A-B.C-D.中P是侧面BB-C-C内一动点,若P到直线BC与直线lC.D.的距离相等,则动点P的轨迹所在曲线是()A直线B圆C双曲线D抛物线解:点P到直线Bc与直线c.D.的距离相等,就是点P到定点C-与定直线BC的距离相等.由抛物线定义知点P的轨迹是以C-为焦点,BC为准线的抛物线在面Bc.内的部分,从而选答案D.点评:本题以立体几何知识为载体,考查抛物线的定义,将立体几何问题转化为平面解析几何中的轨迹问题.4.轨迹为双曲线型.例4已知二面角atB的平面角为0,PA-l_d,PB-l_B,A,B为垂足,且PA=4,PB=5,设A,B到二面角的棱L的距离分别为x,Y,当e变化时,点e(x,y)的轨迹是下列图形中的()./廿,J0解:设平面PAB交棱L于点Q,QPA-l_a,.PA-l_L又QPB上B,.PB上L.-.L上平面PAQB,.L-l_AQ,L-l_BQ.AQ=X,BQ=Y又Q<PAQ与<PBQ均为直角三角形.pA2+AQ2=pQ2=pB+BQ2.42+=5+,即X一12=9又X>O,Y>O,.Q点的轨迹为双曲线X一Y9在第一象限内的部分,故选答案A.点评:本题虽未直接利用双曲线的定义,但利用线面垂直的相关知识,从量的角