高中数学 1.6.2.1直线与平面垂直的性质课件 北师大版必修2 .ppt

1 平面内证明线线平行的方法 1 两条直线被第三条直线所截 若同位角相等 或内错角相等或同旁内角互补 则两直线平行 2 三角形中位线 梯形中位线的性质 3 平行四边形对边平行的性质 4 平行线分线段成比例定理 线面垂直性质定理的应用 2 空间中证明线线平行的方法 1 平行于同一条直线的两条直线互相平行 2 线面平行的性质定理 如果一条直线与一个平面平行 那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行 3 面面平行的性质定理 如果两个平行平面同时与第三个平面相交 那么它们的交线平行 4 线面垂直的性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面 那么这两条直线平行 例1 如图所示 abc是正三角形 ae和cd都垂直于平面abc 且ae ab 2a cd a f为be中点 求证 df 平面abc 审题指导 要证df 平面abc 关键是在平面abc内找到一条直线与df平行 结合题目条件 可以利用作辅助线构造平行四边形的方法找这条直线 规范解答 取ab的中点g 连接fg gc f为be的中点 fg ae且而ae 平面abc fg 平面abc 又 cd 平面abc fg cd且fg cd a 四边形cdfg为平行四边形 于是df cg 故df 平面abc 互动探究 在本例中试求证af bd 解题提示 证明af bd可以转化为证af 平面bde 证明 取ab的中点g 连接fg gc ae 平面abc cg 平面abc cg ae 又 abc是正三角形 且g为ab的中点 cg ab 又 ae ab a cg 平面abe 又 af 平面abe af cg 由例题知df cg af df 而ea ab f为be中点 af be 又be df f af 平面bde af bd 空间中证明线线垂直的方法 1 共面直线垂直的证明方法 利用等腰三角形 三线合一 的性质证明 即等腰三角形底边上的中线 或顶角平分线 是底边上的高 利用矩形的四个角是直角证明 利用菱形的对角线互相垂直平分证明 利用直径所对的圆周角是直角证明 利用勾股定理的逆定理证明 由线面垂直证明线线垂直 2 异面直线垂直的证明方法 作异面直线所成的角 并计算其为90 转化为证明线面垂直 也就是说 要证明线线垂直只要证明其中一条直线垂直于经过另外一条直线的平面即可 其证明过程通常如下 在几何体的直观图中 互相垂直的两条直线 看上去可能已经不垂直 因此解题时一方面要注重逻辑推理 另一方面要注重转化思想的应用 例2 2010 湖北高考改编 如图 在四面体aboc中 oc oa oc ob aob 120 且oa ob oc 1 设p为ac的中点 q在ab上且ab 3aq 证明 pq oa 审题指导 要证pq oa可以有两种思路 一是证明pq垂直于过oa的平面 二是证明oa垂直于过pq的平面 本题中两种方法都不容易实现 可以转化为证明其中一条直线和另外一条直线的平行线垂直 规范解答 在平面oab内过o点作on oa交ab于n 连接nc 在等腰 aob中 aob 120 oab oba 30 在rt aon中 oan 30 在 onb中 nob 120 90 30 nbo 又 ab 3aq q为an的中点 在 can中 p q分别为ac an的中点 cn pq 由on oa oc oa知oa 平面onc 又 nc 平面onc oa nc 由cn pq知pq oa 变式训练 2011 惠州模拟 如图 在底面为平行四边形的四棱锥p abcd中 ab ac pa 平面abcd 点e是pd的中点 1 求证 ac pb 2 求证 pb 平面aec 解题提示 1 要证ac pb 只需证ac 平面pab 2 要证pb 平面aec 只要利用平行四边形的性质 连接bd与ac相交 就可以在 pbd中证明线线平行 进而证明线面平行 证明 1 pa 平面abcd ac 平面abcd pa ac 又 ab ac pa ab a pa 平面pab ab 平面pab ac 平面pab ac pb 2 连接bd交ac于点o 并连接eo 四边形abcd为平行四边形 o为bd的中点 又 e为pd的中点 在 pdb中eo为中位线 eo pb pb 平面aec eo 平面aec pb 平面aec 例 如图所示 四边形abcd为正方形 sa 平面abcd 过点a且垂直于sc的平面分别交sb sc sd于点e f g 求证 ae sb 审题指导 证明本题的关键是要分析出由sa 平面abcd及abcd是正方形可证bc 平面sab 规范解答 sa 平面abcd bc 平面abcd sa bc 又 bc ab sa ab a bc 平面sab 又 ae 平面sab bc ae sc 平面aefg ae 平面aefg sc ae 又 bc sc c ae 平面sbc ae sb 变式备选 如图 已知矩形abcd 过点a作sa 平面abc 再过点a作ae sb于点e 过点e作ef sc于点f 1 求证 af sc 2 若平面aef交sd于点g 求证 ag sd 证明 1 sa 平面abc bc 平面abc sa bc 四边形abcd是矩形 ab bc ab sa a bc 平面sab ae 平面sab bc ae sb ae bc sb b ae 平面sbc ae sc ef sc ae ef e sc 平面aef af 平面aef af sc 2 sa 平面abc dc 平面abc sa dc 四边形abcd为矩形 ad dc sa ad a dc 平面sad ag 平面sad dc ag 由 1 可知sc 平面aef ag 平面aef sc ag sc dc c ag 平面sdc sd 平面scd sd ag 1 直线与平面垂直的性质 1 证明线线平行 若l m 则l m 2 证明线线垂直 若l m 则l m 3 证明面面平行 若l l 则 4 证明线面垂直 若l m l 则m 若l 则l 线面垂直性质的综合应用 2 线面垂直与平行的相互转化 1 空间中直线与直线垂直 直线与平面垂直 直线与平面平行 直线与直线平行可以相互转化 每一种垂直与平行的判定都是从某种垂直与平行开始转化为另一种垂直与平行 最终达到目的 2 转化关系 平行关系 与 垂直关系 在特定条件下是可以相互转化的 例3 2010 安徽高考 如图 在多面体abcdef中 四边形abcd是正方形 ab 2ef 2 ef ab ef fb bfc 90 bf fc h为bc的中点 1 求证 fh 平面edb 2 求证 ac 平面edb 审题指导 1 可以根据ef ab作辅助线 在平面edb中作直线与fh平行 2 在 1 的基础上利用ef fb 可以先推出ef 平面bfc 由此进一步思考如何证明ac 平面edb 规范解答 1 连接ac与bd交于点g 则g为ac的中点 连接eg gh 由于h为bc的中点 故ghab 又 efab ghef 四边形efhg为平行四边形 eg fh 而eg 平面edb fh 平面edb fh 平面edb 2 由四边形abcd为正方形知ab bc 又 ef ab ef bc 而ef fb 且bc fb b ef 平面bfc ef fh ab fh bf fc h为bc的中点 fh bc 且bc ab b fh 平面abcd fh ac 又 fh eg ac eg 又 ac bd 且eg bd g ac 平面edb 变式训练 2011 广东高考 如图所示的几何体是将高为2 底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后 将其中一半沿切面向右水平平移后得到的 a a b b 分别为的中点 o1 o1 o2 o2 分别为cd c d de d e 的中点 1 证明 o1 a o2 b四点共面 2 设g为aa 中点 延长a o1 到h 使得o1 h a o1 证明 bo2 平面h b g 证明 1 由已知得 o1 a o2 b o2 b o2b 得o1 a o2b 所以o1 a 与o2b确定一个平面 且o1 a o2 b都在平面 内 即o1 a o2 b四点共面 2 如图 延长ao1到i使ao1 o1i 连接ih 及io1 由已知可得h b 平面a aih 从而h b io1 又在矩形a aih 中o1 g分别为边a h 与aa 的中点 所以io1 h g 所以io1 平面h b g 连接ib 则ibo2 o1 为矩形 所以bo2 io1 所以bo2 平面h b g 典例 12分 图1 在三棱锥p abc中 pa 平面abc ac bc d为侧棱pc上一点 它的主视图和左视图如图2所示 1 证明 ad 平面pbc 2 在 acb的平分线上确定一点q 使得pq 平面abd 并求此时pq的长 审题指导 1 由主视图和左视图可知pa ac 4 d为pc的中点 进一步可得ad pc 另一方面可通过证bc 平面pac 得bc ad 2 将问题转化到直角三角形中 利用勾股定理求解 规范解答 1 因为pa 平面abc 所以pa bc 又 ac bc pa ac a bc 平面pac 2分 bc ad 3分由三视图可得 在 pac中 pa ac 4 d为pc的中点 ad pc bc pc c 4分 ad 平面pbc 5分 2 取ab的中点o 连接co并延长至q 使得cq 2oc 点q即为所求 6分 o为cq的中点 连接pq od pq od pq 平面abd od 平面abd pq 平面abd 8分 连接aq bq 因为四边形acbq的对角线互相平分 四边形acbq为平行四边形 所以aq 4 10分又pa 平面abc aq 平面abc pa aq 在rt paq中 12分 误区警示 对解答本题时易犯的错误具体分析如下 即时训练 四棱锥p abcd的三视图如图 四边形abcd为正方形 e是侧棱pc上的动点 试问不论点e在何位置 是否都有bd ae 证明你的结论 解析 不论点e在何位置 都有bd ae 证明如下 连接ac 四边形abcd是正方形 bd ac pc 底面abcd且bd 平面abcd bd pc 又 ac pc c bd 平面pac 不论点e在何位置 ae平面pac总成立 都有bd ae 1 正方体abcd a1b1c1d1中 e为a1c1的中点 则直线ce垂直于 a ac b bd c a1d1 d a1a 解析 选b 因为bd 平面aa1c1c ce 平面aa1c1c 所以ce bd 2 若a b表示直线 表示平面 下列说法正确的序号是 若a b 则a b 若a a b 则b 若a a b 则b 解析 由线面垂直的性质知 正确 中b可能满足b 故 错误 中b可能与 相交 不垂直 也可能与 平行 故 错误 答案 3 在rt abc中 d是斜边ab的中点 ac 6 bc 8 ec 平面abc 且ec 12 则ed 解析 ec 平面abc ec cd 在rt abc中 ac 6 bc 8 ab 10 又 d是斜边ab的中点 在rt ecd中 答案 13 4 地面上有两根旗杆 底端相距a米 它们的高分别是b米和c米 b c 则它们顶端的距离为 解析 如图 由于两旗杆都与地面垂直 故两旗杆ad与bc平行 且四边形abcd是直角梯形 ad c bc b 过d作de bc于e 则de a ce b c 答案 5 在长方体abcd a1b1c1d1中 e 平面abcd f 平面a1b1c1d1 且ef 平面abcd 求证a1fae 证明 如图所示 由长方体的性质可知 aa1 平面abcd 又 ef 平面abcd ef aa1 故ef与aa1确定一个平面aefa1 平面aefa1 平面a1b1c1d1 a1f 平面aefa1 平面abcd ae 平面abcd 平面a1b1c1d1 a1f ae 四边形aefa1为平行四边形 a1fae 一 选择题 每题4分 共16分 1 已知 是平面 m n是直线 则下列说法中不正确的是 a 若m n m 则n b 若m n 则m n c 若m m 则 d 若m m 则 解析 选b a正确 若m n m 则n与平面 内的任意一条直线垂直 故n b错误 应该是当m n 且m 时 m n c正确 如图所示 过m作平面 和平面 可证 与 的交线都与m垂直 又都在同一平面内 故平行 同理 与 的交线也互相平行 所以 d正确 2 点a b在平面 的同侧 点c是线段ab的中点 过a b c三点分别作aa1 bb1 cc1与平面 垂直 垂足分别为a1 b1 c1 若aa1 3 cc1 5 则bb1 a 1 b 7 c 1或7 d 8 解析 选b aa1 bb1 cc1 aa1 bb1 cc1 又aa1 3 cc1 5 cc1是梯形aa1b1b的中位线 bb1 2cc1 aa1 2 5 3 7 3 如图 abc中 acb 90 直线l过点a且垂直于平面abc 动点p l 当点p逐渐远离点a时 pcb的大小 a 变大 b 变小 c 不变 d 有时变大有时变小 解析 选c l 平面abc bc l acb 90 bc ac 又l ac a bc 平面pac bc pc pcb 90 4 如图 正方体abcd a1b1c1d1的棱长为1 e f分别是bc dd1上的点 如果b1e 平面abf 则e f满足的条件一定是 b ce df 1 c ce d1f 1 d e f在棱bc dd1上的任意位置 解析 选b 在平面bb1c1c内作bf af交cc1于点f b1e 平面abf b1e af b1e bf df cf 在正方形bb1c1c中 由b1e bf 得ce c1f 1 cf ce cf 1 即ce df 1 二 填空题 每题4分 共8分 5 2011 洛阳高一检测 如图 ab是 o的直径 c是圆周上不同于a b的点 pa垂直于 o所在的平面 ae pb于e af pc于f 因此 平面pbc 请填图上的一条直线 解析 pa垂直于 o所在的平面 bc在 o所在的平面内 pa bc c是圆周上不同于a b的点 bc ac 又pa ac a bc 平面pac 又af 平面pac bc af af pc且bc pc c af 平面pbc 答案 af 6 如图 pa 平面abc acb 90 ef pa 则图中直角三角形的个数是 解析 由pa 平面abc 得pa ab pa ac pa bc 又 bc ac ac pa a bc 平面pac bc pc ef pa pa 平面abc ef 平面abc ef be ef ec pab pac abc pbc efc bef均为直角三角形 答案 6 易错提醒 pbc是直角三角形容易漏掉 原因是未分析出bc 平面pac这一条件 三 解答题 每题8分 共16分 7 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 ac 9 bc 12 ab 15 aa1 12 求证 ac b1c 解题提示 要证明ac b1c 根据题目条件只要证明ac 平面bb1c1c 证明 ac 9 bc 12 ab 15 ab2 ac2 bc2 acb 90 ac bc cc1 平面abc ac 平面abc ac cc1 又cc1 bc c a