金融市场收益率离散数学模型及其定性分析.pdf

学校代号 学号 密级 1 0 5 3 2 b 0 0 0 6 0 1 湖南大学博士学位论文 y 8 9 322 5 金融市场收益率离散数学模型 及其定性分析 一 金融市场收益率离教数学模型及其定性分析 摘要 本文主要应用差分方程的基本理论 包括时滞差分方程理论与脉 申差分方程 理论 与基本方法研究了金融市场收益率的稳定性及其变化规律 针对各种不同 的金融背景 建立了一系列金融网络中揭示收益率稳定性及其变化规律的差分方 程模型 应用现代差分方程理论对这些数学模型解的渐近性态与周期振荡进行了 详细的讨论研究 这些研究结果在一定程度上阐明了金融领域收益率变化的若干 内在规律 并对金融市场的稳定性做出了解释和预测 对金融理论的研究和发展 有重要的意义 也可为金融领域宏观决策提供一种新的依据 具有重要的应用价 值 第二章主要是在各种不同的金融背景下 建立了一系列相应的离散牧益率一 流通量模型 具体说来 在相对封闭的金融网络中 我们建立了反映金融网络中各 节点即时收益率变化的基本方程 考虑到任何一个金融网络都具有开放性 我们 对开放的金融网络建立了相应的数学模型 由于从投资到获利需要一定的时间 针对这种现象 我们对收益率一流通量方程进行了改进 建立了离散的具有时滞 的收益率一流通量方程 前面给出的三个方程都是在常规情形下建立的 但是 许多突发现象能够引起市场的波动 为此我们又建立了有突发事件发生时的收益 率一流通量方程 第三章至第六章 我们对第二章建立的各类方程分别进行详细的讨论 应用 现代差分方程定性理论与稳定性理论等知识 研究了这些方程平衡解的稳定性 周期解与边值问题解的存在性以及多解性等问题 本文第三章证明了各结点收益 率加权和为常数即金融市场收益率均衡原理 得到各结点收益率极限为整个网络 平均收益率的条件 第四章研究了开放金融网络中离散的收益率一流通量方程模 型 用差分方程稳定性理论得到模型平衡解稳定的条件 第五章主要研究具有时 滞的金融网络收益率 流通量方程 并给出了具有时滞金融网络的收益率流通量 方程平衡解稳定以及具有周期解的条件 本文第六章研究了出现突发事件时的收 益率一流通量方程 证明了不同时间段的网络平均牧益率也不相同 并且随脉冲 条件的变化而变化 同时给出了相邻两个时间段网络平均收益率之间的关系 以上这些研究结果分别对应各种不同背景下金融网络收益率变化的客观规 律 从而对若干金融现象作出了有价值的解释和预测 关键词 金融市场 收益率 流通量 差分方程 稳定性 周期振荡 i i 博士学位论文 a b s t r a c t t h i st h e s i sm a i n l yc o n c e r n st h es t a b i l i t yo ft h er a t eo fr e t u r ni nt h ef i n a n c i a l m a r k e tb ya p p l y i n gt h eb a s i ct h e o r i e sa n dm e t h o d so fd i f f e r e n c ee q u a t i o n s i n c l u d i n gt h et h e o r yo fd e l a yd i f f e r e n c ee q u a t i o n sa n dt h et h e o r yo fi m p u l s i v ed i f f e r e n c e e q u a t i o n s c o r r e s p o n d i n gt ov a r i o u sd i f f e r e n tf i n a n c i a lb a c k g r o u n d s as e r i e so f d i f f e r e n c ee q u a t i o nm o d e l sa r eb u i l tu pt or e v e a lt h es t a b i l i t ya n dl a w so ft h er a t e o fr e t u r ni nt h ef i n a n c i a ln e t w o r k t h ea s y m p t o t i c a lb e h a v i o r sa n dp e r i o d i co s c i l 1 a t i o n sh a v e b e e ns t u d i e db ya p p l y i n gt h em o d e r nt h e o r i e so fd i f f e r e n c ee q u a t i o n s t h e s er e s u l t sc l a r i f ys o m ee s s e n t i a lr e g u l a t i o n so ft h er a t eo fr e t u r ni nt h ef i n a n c i a l f i e l d sa n dc a nb eu s e dt oe s t i m a t ea n dp r e d i c tt h es t a b i l i t yo ft h ef i n a n c i a lm a r k e t a l s o t h e s er e s e a r c h e sa r eo fi m p o r t a n c et ot h ed e v e l o p m e n ta n dc o m p l e t e n e s so f t h ef i n a n c i a lt h e o r ya n dc a np r o v i d eak i n do fn e wb a s i sf o rt h em a c r ov i e wd e c i s i o n i nf l n a n c i a lf i e l d i nc h a p t e r2 as e r i e so fd i s c r e t er a t eo fr e t u r n a m o u n to fc i r c u l a t i n gf u n d m o d e l sf d i s c r e t er r a c fm o d e l la r eb u i l tu pu n d e rv a r i o u sd i f f e r e n tf i n a n c i a lb a c k g r o u n d s m o r es p e c i f i c a l l y c o n c e r n i n gt h er e l a t i v e l yc l o s e df i n a n c i a ln e t w o r k w e b u i l du pab a s i cd i s c r e t er r a c fm o d e lr e f l e c t i n gt h el a wo fi n s t a n tr a t e so fr e t u r n o fe a c hn o d ei nt h ef i n a n c i a ln e t w o r k s i n c ee v e r yf i n a n c i a ln e t w o r ki so p e n w e b u i l du pam o d e lc o r r e s p o n d i n gt ot h eo p e nf i n a n c i a ln e t w o r k u s u a l l y g e t t i n gt h e p r o f i tn e e ds o m et i m ea f t e ri n v e s t i n g s ow ei m p r o v et h er a t eo fr e t u r n a m o u n to f c i r c u l a t i n gf u n de q u a t i o na n db u i l du pan e wd i s c r e t ee q u a t i o nw i t hd e l a y a l lo f t h et h r e ee q u a t i o n sa r ee s t a b l i s h e di nt h ec a s eo ft h en o r m a ls i t u a t i o n h o w e v e r m a n ya b r u p tp h e n o m e n ac a nc a u s et h ew a v eo faf i n a n c i a lm a r k e t d u ot ot h i s w eb u i l du pa n o t h e re q u a t i o nc o n c e r n i n gt h er a t eo fr e t u r n sa n dt h ea m o u n to f c i r c u l a t i n gf u n dw i t hi m p u l s i v et e r m s c h a p t e r3 一c h a p t e r6m a i n l yd e a l sw i t ht h ed e t a i l e dd i s c u s s i o no nt h ee q u a t i o n se s t a b l i s h e di nc h a p t e r2 b ya p p l y i n gt h em o d e r nq u a l i t a t i v et h e o r ya n d s t a b i l i t yt h e o r yo fd i f f e r e n c ee q u a t i o n s w es t u d yt h es t a b i l i t yo ft h ee q u i l i b r i u m t h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fp e r i o d i cs o l u t i o n sa n ds o l u t i o n so fb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m se t c i nc h a p t e r3 w eo b t a i nt h ee q u i l i b r i u mp r i n c i p l eo ft h er a t er e t u r n i nf i n a n c i a lm a r k e t t h a ti s t h ew e i g h t e ds u mo fi n s t a n tr a t eo fr e t u r no fn o d e s i nt h en e t w o r ki sac o n s t a n t f o re a c hn o d e i t si n s t a n tr a t eo fr e t u r nt e n d st ot h e a v e r a g er a t eo fr e t u r no fw h o l en e t w o r k c h a p t e r4d e a l sw i t ht h ed i s c r e t er a t eo f i i i 金融市场收益率离散数学模型及其定性分析 r e t u r n a m o u n to fc i r c u l a t i n gf u n dm o d e li na no p e nf i n a n c i a ln e t w o r k an e c e s s a r y a n ds n f f i c i e n tc o n d i t i o ni so b t a i n e df o rt h es t a b i l i t yo fe q u i l i b r i u ms o l u t i o nb yu s i n gt h es t a b i l i t yt h e o r yo fd i f f e r e n c ee q u a t i o n s i nc h a p t e r5 w es t u d yt h ed i s c r e t e r r a c fm o d e lw i t hd e l a y s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa x eo b t a i n e df o rt h es t a b i l i t y o ft h ee q u i l i b r i u ms o l u t i o na n dt h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n st ot h ed i s c r e t e d e l a yr r a c fe q u a t i o n t h el a s tc h a p t e rm a i n l yd e a l sw i t ht h er r a c fm o d e l w i t hi m p u l s i v et e r m s i ti ss h o w nt h a tt h ea v e r a g er a t eo fr e t u r no ft h en e t w o r k v a r i e sw i t ht h ed i f f e r e n tp e r i o da n dc h a n g e sw i t ht h ei m p u l s i v ec o n d i t i o n s t h e r e l a t i o n s h i po ft h ea v e r a g er a t e so fr e t u r no fn e t w o r k b e t w e e nt w on e i g h b o rp e r i o d s i sa l s og i v e n t h er e s e a r c hr e s u l t so ft h i st h e s i si l l u s t r a t et h ee s s e n t i a ll a w so ft h er a t eo f r e t u r ni nd i f f e r e n tf i n a n c i a lb a c k g r o u n d sa n dg i v es o m ev a l u a b l ee x p l a n a t i o n sa n d p r e d i c t i o n so ns o m ef i n a n e i a lp h e n o m e n o n k e yw o r d s t h ef i n a n c i a lm a r k e t t h er a t eo fr e t u r n a m o u n to fc i r c u l a t i n g f u n d d i f f e r e n c ee q u a t i o n s t a b i l i t y t h ep e r i o d i co s c i l l a t i o n i v 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明 所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果 除了文中特别加以标注引用的内容外 本论文不包含 任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品 对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体 均已在文中以明确方式标明 本人完全意识到本 声明的法律后果由本人承担 作者签名 红 日期磁厂月刁日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留 使用学位论文的规定 同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版 允许论 文被查阅和借阅 本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索 可以采用影印 缩印或扫描等复制手段保 存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 保密口 在年解密后适用本授权书 2 不保密口 请在以上相应方框内打 4 作者签名 导师签名 曰期 力磷 日期 彩形年 日日 弩了 月月 r f 博士学位论文 1 1引言 第1 章综述 在现代金融理论中 市场的稳定性与风险管理已经成为其主要的研究内容之 一 甚至可以说整个金融理论体系都是围绕着金融系统的稳定性与风险管理的框 架进行研究和发展的 为保持金融市场的稳定性 避免金融危机的爆发 国内外许 多专家学者致力于这方面的研究工作 近二十年来发展起来的现代金融风险管理 学是一门崭新的学科 其赖以产生和发展的理论基础则正是五十年代发端的蕴含 着丰富的风险分析和风险定价思想的一系列金融数学模型 如 m a r k o w i t z 的资 产组合管理模型 57 r o s s 和s h a r p 创立的资本资产定价模型 6 2 6 3 6 4 以及 b l a c k 和s c h o l e s 创立的期权定价模型f 3 锄 等等 金融理论的数学模型研究最早可以追溯到l o u i sb a c h e l i e r 的投机理论 1 9 0 0 年 法国学者l o u i sb a c h e l i e r 发表了他的博士论文 投机理论 t h e o r i ed el a s p e c u l a t i o n 2 这一理论的出现意味着数学金融学的诞生 在此论文中 他第一 次给予了布朗 b r o w n 运动以严格的数学描述 然而 在长达五十年的时间里 b a c h e l i e r 的工作没有引起金融学界的足够重视 1 9 9 5 年 诺贝尔经济学奖得主 m e r t o n 指出 5 8 在2 0 世纪的上半叶 金融学基本上是描述性的 主要焦点在 于市场的简单规范化一类的活动中 尽管m a c a u l a y 于1 9 3 8 年建立了债券交易 市场上发行者和投机商非常有用的债券价格对收益率的敏感性的数学模型 参见 6 4 6 5 但在这以后的整整二十年中 都没有它在实际中被应用的证据 2 0 世纪五十年代初 s a m u e l s o n 1 9 7 0 年诺贝尔经济学奖得主 从统计学家 s a v a g e 的工作中再次发现了b a c h e l i e r 的出色工作 这奠定了现代金融学的坚实 基础 1 9 5 2 年 m a r k o w i t z 1 9 9 0 年诺贝尔经济学奖得主 的博士论文的部分工作 建立了 资产组合选择的均值方差理论 他提出的期望方差模型是这一时期最有 代表性及影响力的工作 5 7 理论界称之为二十世纪的第一次金融革命 其最大 贡献在于它将原来人们期望寻找 最好 股票的想法引导到对风险和收益的量化 和平衡的概念上来 给定风险水平极大化期望收益 或者给定收益水平极小化风 险 这就是m a r k o w i t z 的 均值方差理论 的主要思想 从数学上来看 其本质就 是一个带约束的最优化问题 这一模型的提出吸引了一大批数学家和经济学家开展这一领域的研究 从而使 得这一模型得到了不断的完善 出现了一些新的证券组合选择模型 5 5 5 5 6 6 i 6 1 其中 s h a r p 1 9 6 4 1 9 9 0 年诺贝尔经济学奖得主 6 4 1 和l i n t n e r 1 9 6 5 5 5 的工作 尤其值得关注 他们推广了m a r k o w i t z 的理论 提出了一资本资产定价模型一 金融市场收益率离散数学模型及其定性分析 这一模型的关键是确定每一个股票和整个市场的相关性 于是对上述的最优化问 题 每个股票的持有量可以由该股票的平均回报率和该股票与市场的相关性系数 来确定 二十世纪六十年代中期 s a m u e l s o n 和f a m a 提出了 市场有效性假设 其 实际是对市场完备性的某种描述 他们证明 在一个动作正常的市场中 将来的收 益状况实际上是不可预测的 这项研究工作实际上引发了第二次金融学的革命 金融学的第二次革命发生在1 9 7 3 年 其标志性成果是b l a c k 和s c h o l e s 1 9 9 7 年诺 贝尔经济学奖得主 提出的基于无红利支付股票的任何衍生证券的价格必须满足 一组微分方程f 3 j 即著名的b l a c k s c 5 0 l e s 公式 它给出了欧式期权定价的显式 表达式 之后 金融衍生工具的定价理论不断出现新的成果 参见 6 1 0 5 9 等 并在九十年代形成了一门崭新的金融学科一金融工程 6 7 关于现代金融理论与 数学金融学的基本理论 基本方法以及进一步的发展状况还可参阅 1 l 7 4 7 6 1 等 张陶伟等学者认为 所谓金融市场稳定性是指市场交易者能够放心在市场上 进行交易 交易价格反映基本经济因素变化 两当这些因索没有明显变化时 交易 价格不应出现剧烈的短期波动f 8 3 1 据作者所掌握的文献 目前大量关于金融市场稳定性与风险分析的研究都集 中在金融产品交易策略与对策方面 如m a r k o w i t z 的资产组合理论 b l a c k s c h o l e s 的期权定价理论及在此基础上发展起来的数以万计的对该模型的改进与实证的论 文 其理论基础乃是把金融资产价格变化看成如同分子布朗运动一样的无规律的 随机现象 并依赖于所谓的 有效市场 假说和 随机游走 假说 但大量的实证 研究则不断得出否定这两大基本假说的结论 5 1 7 8 但是现代金融理论毫无疑问正向着科学与确定性研究方向发展 因此 就不 仅要研究金融产品交易的策略与对策 还要研究宏观的与微观的金融市场的客观 规律 统计理论及其实证研究是在对历史数据进行统计分析后 在 历史总会重演 假设前提下 对现时与未来进行分析与预测的 因而其方法本身就具有一定的不 确定性 风险性 因此 我们认为 要科学地研究经济现象 把握市场规律 特别 是对于金融市场风险研究 除了运用统计理论与方法外 应尽可能的象应用物理 与应用力学那样 运用确定性的数学原理与方法 对其进行严格论证和精确计算 自1 9 9 6 年以来 云天铨教授通过应用微分差分方程的理论和方法推出了股市 计算的基本原理和基本方程模型 在国内首次从市场运行规律以及金融工具交易 原理与实践相结合的角度 提出了如最近时原理 从势原理及供求差分原理等定 量计算股市的数学方程与公式 7 7 8 0 云天铨教授的研究思想和方法引发了国 内外许多学者的浓厚兴趣 如庾建设 郭志明 雷光龙等在其工作基础上 建立了 更为精确 适用范围更广的金融网络收益率一流通量数学模型 参见 9 5 4 7 5 等 一2 一 博士学位论文 文 7 7 的研究结果表明 金融市场的稳定性与收益率稳定性有关 而收益率 稳定性又与资金流通量密切相关 其中收益率集中体现了材料 设备 工资 销 售 管理效益 物价或通涨等因素 而资金流通量则反映了投资的社会趋向 作者假设有一个网络 它有m 个节点 分别用阿拉伯数字1 2 m 来表 示 在将整个经济看成是一个网络时 称经济网络 i 1 2 m 分别代表各 经济部门或行业 如股票证券业 银行金融业 房地产业 在股市内部看成 是一个网络 称股市网络 时 i 分别代表各个个股以及与其有资金往来的部门或 行业 由于各节点之间收益率随时间而改变 而投资者的目的在于获取最大的利 润 因而各节点之间将会产生资金流动 为考虑节点收益率与资金流通量随时间t 的变化规律 记r 为实数全体 r t r i t o r i t 为节点i 在时刻t 的收益率 a l t 为节点i 在时刻 t 的资金总量 a 为节点i 的初始资金 或称启动资金 a i j t 为单位时间内 在时刻t 节点i 与节点j 之间的资金流通量 a 玎 0 时 表示在时刻t 由节 点i 流向节点j 的单位时间资金流通量 a i j t 0 则有如下的方程式 丘 t 一r j t k j i a j i t 1 1 3 一3 一 金融市场收益率离散数学模型及其定性分析 由于作者主要考虑证券市场 即股市网络 各节点的基本收益率可视为基本 相同 故不妨假设对任意的t j 1 2 m r r j 此时方程 1 1 3 变为 n t 一勺 t b 鸟 t 1 1 4 另一方面 对某个节点i 资金总量增加的越快 即时收益率变化也越快 不 妨假设它们之间成正比 假定节点i 为代表某经济实体 如企业 的个股 考虑到 任意经济实体的规模 人员 技术等是有限的 所以其总利润是有限的 其它节点 j j i 向节点i 投入的资金越多 即时收益率如 将越低 因此又得到如下方 程 吒0 一c i a t 1 1 5 其中c 4 0 为比例系数 由 1 1 1 m a f 如 t 1 1 6 荔 将 1 1 4 代入 1 1 6 再代入 1 1 5 就得到股市网络即时收益率变化的 方程组 称其为证券市场收益率一流通量方程 吹 卜q 萋杪如 n 瑚 1 1t7 1 j 上述数学模型首次用微分方程理论研究金融市场的波动性 用确定性数学模 型 而非统计模型 研究了金融网络节点间收益率差与节点收益率升降变化的关 系 为金融市场风险测最提供了新的理论工具和计算模型 但遗憾的是此模型只 是在齐次的 封闭的和没有政策调整因素的情况下所建立的微分方程模型 而且 对解的性质并未作深入研究 对这些问题的深入研究是十分有意义的 它可以使 这类模型更贴近实际 使收益率波动理论更加科学和完善 因此我们在已有模型 的基础上 研究了非齐次模型 开放系统模型 时滞系统模型 有限次政策调整模 型和无限次政策调整模型 并分别研究了其解的定性性质 改进后的模型更接近 金融市场实际 便于量化分析 因此 本文研究具有重要理论意义与现实意义 1 2 本文的主要工作 本文主要应用差分方程的基本理论 包括时滞差分方程理论与脉冲差分方程 理论 与基本方法研究了金融市场收益率的稳定性及其变化规律 在各种不同的金 博士学位论文 融背景下 建立了一系列金融网络中揭示收益率稳定性及其变化规律的差分方程 模型 应用现代差分方程理论 包括时滞差分方程理论 脉冲差分方程理论 对这 些数学模型解的渐近性态与周期振荡进行了详细的讨论研究 这些研究结果在一 定程度上阐明了金融领域收益率变化的若干内在规律 并对金融市场的稳定性做 出了解释和预测 对金融理论的研究和发展有重要的意义 也可为金融领域宏观 决策提供一种新的依据 具有重要的应用价值 第二章主要是在各种不同的金融背景下 建立了一系列相应的离散收益率一 流通量模型 具体说来 在相对封闭的金融网络中 我们建立了反映金融网络中各 节点即时收益率变化的基本方程 三1 n n 1 一r i n c q n 一r 判一 r i n 一r 爿 i 1 2 m 1 2 1 三q 4 j i 其中 n 佗 表示在一个含有m 个节点的金融网络中 第i 个节点在时刻佗的即 时收益率 哼表示节点i 的基本收益率 q i j 均为正常数 其经济意 义将在第二章中给出 方程 1 2 1 并没有考虑网络自身资金的注入和逃逸 也没有考虑网络外部资 金的追加和抽出 因此 该方程被称为封闭网络的离散收益率一流通量方程 一般 说来 该模型只有在相对封闭的市场或者短期内是有效的 但是 任何一个金融网 络都具有开放性 不同的只是开放的程度有大有小 出于以上考虑 我们对开放的 金融网络建立了相应的数学模型 即下面的方程 q 萎去 c q c 礼 一巧 一c nc 竹 r 一去p i c几 一r 方程 1 2 1 与 1 2 2 给出的模型都是建立在金融网络各节点的收益率变化 率只与当时的金融状况及环境有关的基础上 而忽视了历史对现在的影响 从而导 出的收益率一流通量方程都是常差分方程 组 但是 从投资到获利需要一定的 时间 一般说来 并不是当时投资 立即就可获利 而是有一个时间滞后的现象 这一现象反映到数学模型中就是时滞差分方程 针对这种现象 我们对收益率一 流通量方程进行了改进 建立了离散的具有时滞的收益率一流通量方程 q 萎去c c q c 礼一正 一 哼 一c nc n 一疋 一r 一壶 n n 一疋 一r 一5 一 金融市场收益率离散数学模型及其定性分析 d i a 一正 i l 2 一 m 1 2 3 前面给出的三个方程都是在常规情形下建立的 但是 许多突发现象能够引 起市场的波动 甚至可以说 正是这些现象本身的复杂性使得金融市场变化规律 捉摸不定 这些突发现象体现在数学模型中 即是对收益率一流通量方程加上脉 冲扰动 此时我们有如下的数学模型 fq n a r i n j 一n n c l 去 q n 一吩 一 n 竹 一哼 礼 n j j 1 2 k 露 如 r 嘶 i 1 2 m j l 2 k 1 2 4 第三章至第六章 我们对方程 1 2 1 一 1 2 4 分别进行详细的讨论 应用现代 差分方程定性理论与稳定性理论等知识 研究了这些方程平衡解的稳定性 周期 解与边值问题解的存在性以及多解性等问题 这些研究结果分别对应各种不同背 景下金融网络收益率变化的客观规律 从而对若干金融现象作出了有价值的解释 和预测 以离散的时滞收益率一流通量方程方程为例 我们对研究结果作一简单 介绍 在一个金融网络中 如果假设网络各节点的收益率变化率只与当时的金融状 况及环境有关 在一定的条件下 参见第三章定理3 1 2 与第四章定理4 1 2 各 节点即时收益率最终稳定 单调递增或递减 于某一常数值 但如果考虑到从投资 到获利需要经过一段时间 则应当采用方程 1 2 3 研究表明此时更多地出现周 期振荡现象 以银行和股市组成的金融网络为例 设银行为节点1 股市为节点 2 若银行和股市的相对收益率不相等 将会引起节点之间的资金流动 甚至节点 外的追加资金 但是无论是银行还是股市 从投资储蓄或购买股票到获利都有一 段时间 不妨假定银行结息与股市分红以工为周期 当银行与股市相对收益率之 差冗 n 一如 n 0 以u 为中心 r 为半径的开球 b 珏 r 定义为 b 牡 r r i i 一札i 0 并且 y 札 三y u 一v u 0 1 3 2 如果 1 3 2 的不等号对牡 u 是严格的 则v 称为是严格豹l i a p u n o v 函数 定理1 3 1假设v 是 的不动点 在 的某一开球上连续 如果关于 在u 点存在l i a p u n o v 函数y 则口是稳定的 如果关于 在v 点存在严格 l i a p u n o v 函数y 则u 是渐近稳定的 推论1 3 1假设存在定义在b 上关于 在 点的严格l i a p u n o v 函数y 在b 上连续 则方程 1 3 1 的任一解u n 满足 i m u n 2 u 下面介绍线性差分方程组 u n 1 a u n n o 1 2 1 3 3 的稳定性 其中钍 r a 为m m 矩阵 一7 一 金融市场收益率离散数学模型及其定性分析 设a 是m 阶方阵且的k 重特征值 则a 的对应于特征值a 的广义特征向量 口是下面代数方程组的非零解 a a v 0 显然a 的任一特征向量也是其广义特征向量 对应于a 的特征值a 的所有广义特 征向量连同零向量一起构成且的对应于特征值a 的广义特征空间 其维数为k 假设a l a 2 是矩阵a 的所有互不相同的特征值 重数分别为七l k 2 h k 1 k 2 k f m a 的对应于特征值a j j 1 2 f 的广义特征空间为 西 则r 可以表示为e 1 易 蜀的直接和 即 0 易 上 j 定理1 3 2 稳定子空间定理 假设a 1 a 2 k 是矩阵a 的所有特征值 不必互不相同 并且对j 1 2 k h i 1 j k 1 k 2 m i i 再设s 是由对应于a a 2 h 的广义特征向量生成的r 的 维子 空间 如果 是方程组 1 3 3 满足让 o s 的解 则 l i m 乱 竹 0 推论1 3 2假设a i a 2 k 是矩阵a 的所有特征值 并且对j 1 2 m l i 0 并且 博士学位论文 f 2 y 乃 吩 如 y z 码 礼 嘞 其中g r r 奶 r r 单调 巨辫舻锄 s 脚 v z 扎2 1 v x 2 x n 2 如 y z n 2 也 y 仃 7 礼2 1 对 应用数学归纳法可得 对任意的n z o o o y 扛 n s n 定理 1 3 3 证毕 一9 一 金融市场收益率离散数学模型及其定性分析 利用定理1 3 3 易得如下结论 定理1 3 4 假定存在l i a p u n o v 函数v 甜叶r 满足v o 0 x 0 时 y x 0 并且 f 1 y 扣m 1 i 1 34 9 y 忙 n n n j f 2 矿 扫 码 奶 y 扛 唧 札 n j 其中g r 4r 奶 r r 单调 非减 f 3 b t x l v x sa i x l 其中a b c r 十 r a o b o 0 且a b 都是严格单调递增的 则 1 3 5 的平凡解的稳定性 渐近稳定性 蕴含了 1 3 4 的平凡解的稳定性 渐 近稳定性 关于脉冲差分方程的理论与应用的详细讨论参见文献 6 8 7 3 8 1 8 2 等 一1 0 博士学位论文 第2 章离散收益率一流通量基本模型的建 上 业 本章的主要目的是建立一系列离散收益率一流通量方程 其中包括封闭网络 收益率一流通量方程 即基本方程 开放网络收益率一流通量方程 具有滞后效 应的收益率一流通量方程以及有突发事件发生的金融网络的收益率一流通量方程 等 这些不同的方程将分别适用于不同的金融背景 对这些方程解的性态的详细 讨论以及对应的经济意义将在后面各章加以研究 2 1 模型i 基本方程的建立 本节将对离散收益率一流通量方程进行详细推导与论证 假设有一个网络 它有m 个节点 分别用阿拉伯数字1 2 m 来表示 将 整个经济体系看成是一个网络 称经济网络 时 i 1 2 m 分别代表各经济 部门或行业 如股票证券业 银行金融业 保险业 房地产业等 若将股市内部看 成是一个网络 称股市网络 时 i 分别代表各个股以及与其有资金往来的部门或 行业 由于各节点之间收益率随时间而改变 而投资者的目的在于获取最大的利 润 因而各节点之间将会产生资金流动 由于在实际操作中 总是将连续变量时间离散化 为考虑节点收益率与资金 流通量随时间的变化规律 记n 为全体自然数的集合 假定n n 记r i n 为 节点i 在时刻礼的即时收益率 a 札 为节点t 在时刻n 的资金总量 a 为节 点i 的初始资金 或称启动资金 a i j n 为时刻n 节点i 与节点j 之间的资金流 通量 a i j n 0 表示在时刻n 资金由节点i 流向节点j a i i n 0 我们称其为节点i 与j 之间的资金转移率 则有如下的方程式 鼠 礼 一马 扎 马 山 n 2 1 3 另一方面 对某个节点i 资金总量增加的越快 即时收益率变化也越快 不 妨假设它们之间成正比 假定节点 为代表某经济实体 如企业 的个股 考虑到 任意经济实体的规模 人员 技术等是有限的 所以其总利润是有限的 其它节点 j j i 向节点i 投入的资金越多 即时收益率n n 将越低 因此我们又得到如 下方程 a r i n 一q a 礼一1 2 1 4 其中c i 0 为比例系数 反映了节点i 的即时收益率对资金流动的敏感程度 简 称为节点i 的敏感系数 为向前差分笄子 即a r n r n 1 一r n 由 2 1 1 a a i n 1 如 啦 2 1 5 拱 将 2 1 3 代入 2 1 5 再代入 2 1 4 就得到金融网络即时收益率变化的 方程组 我们称其为离散的收益率一流通量方程 r 1 一冠 n 2q 去 岛 礼 一昆 礼 j l j 2 l6 j i 或将其改写为 nn 1 r 如 5 c i 萋去讹 旷哼 酬卅 2 1 7 j 在有些金融网络中 各节点基本收益率大致相等 这时可假设r 为一常数 不随节点t 变化 例如在股市网络中 各支个股的基本收益率可视为基本相同 这 一1 2 博士学位论文 时方程 2 1 7 变为 以佗 l h 如h 姜如 叫州 2 1 8 方程 2 1 8 称为离散的齐次收益率一流通量方程 相应地 方程 2 1 7 称为 离散的非齐次收益率一流通量方程 2 2 模型i i 开放网络收益率一流通量方程的建立 前面讨论的金融网络 并没有考虑网络自身资金的注入和逃逸 也没有考虑 网络外部资金的追加和抽出 因此 我们将方程 2 1 6 2 1 8 统称为封闭网络的 收益率一流通量方程 一般说来 这些模型只有在相对封闭的市场或者短期内是 有效的 但是 任何一个金融网络都具有开放性 不同的只是开放的程度有大有 小 出于以上考虑 本节考虑开放的金融网络 仍记n n 为节点i 在时刻n 的即时收益率 a t 竹 表示节点i 到时刻礼为 止 其它节点j j i 以及网络外部向节点i 注入的资金总量 n 表示到时刻 礼为止节点 向自身追加或撤出资金到网络外部挪作它用的资金总量 髯表示网 络外部对节点i 投入的初始资金 宵表示节点f 的内部初始资金 这两部分的和 a 岔也可称为节点i 的启动资金 这里网络外部资金指这一金融网络以外的经 济实体为获取利润向网络内注入资金 例如 可理解为引进外资或股份制经济实体 的融资 n 0 表示节点i 向自身追加资金 也可理解为经济实体为增加利 润而追加的进行技术改造 提高工作效率等的资金 n 0 时 表示在时刻n 由节点i 向节点j 的单位时间资金流动量 a j n 0 表示网络外部资金投入 到节点i 反之表示从网络抽出资金 a n 表示单位时间内在时刻n 节点i 向 自身追加或撒出的资金量 显然对任意的n n i j 1 2 m n 1 a n 鬈 知 女 2 2 1 k l j t n i n 矗 矗 2 2 2 t l 一1 3 金融市场收益率离散数学模型及其定性分析 令兄 n 表示节点i 在时刻仃的即时收益率与基本收益率之差 即r r d n 一嵋 根据以上分析 当i j 时 不妨假设r n 一局 礼 的大小与节点j 向节点i 的单位时间资金流动量鸟i 他 成正比 比例系数记为b 0 则对于 i j 有如下的方程式 r n 一兄 札 k j i a j i n 2 2 3 另一方面 对某个节点i 外部资金之所以投入是因为它有基本收益率r 0 当r i n r 即r n 0 时 外部资金的投入将会增加 反之将会减少 所以可 以假定有 皿n k i i a i n 2 2 4 其中 0 为比例系数 再1 反映了节点i 对外部资金的吸引力或融资能力 由于 f n 表示到时刻礼为止节点i 向自身追加或撤出资金到网络外部挪作 它用的资金总量 若 n 0 则表示在时刻札追加资金 而追加资金的目的 是提高收益率 因此在时刻n 一1 的资金追回量 一1 越大 则在时刻扎的 收益率增加量a r t n 将越大 类似于前面的推导 可得如下方程 a r i 佗 c i a a i n 一1 d t a f n 一1 2 2 5 其中c i 0 d t 0 为比例系数 又由 2 2 1 2 2 3 以及 2 2 4 有 m 11 a a t 一1 去阮 n 一吩 n 去皿 札 2 2 6 lo v 裁 将 2 2 2 与 2 2 6 代入 2 2 5 并将r n r i n 一r i 代入 整理就得到开放 网络收益率一流通量方程 a r d n 幺 蓑去t c c 珏 一弓 一e c 馆 一喀 一去h e 扎 一 也 竹 i 1 2 r n 2 2 7 若对于任意的i 鑫 扎 0 即各节点没有向自身追加或撤出资金 我们得 到如下的方程 n c t 白 0 表示节点i 向自身追加资金 也 可理解为经济实体为增加利润而追加的进行技术改造 提高工作效率等的资金 礼 0 时 表示在时刻n 由节点t 向节点j 的单位时间 资金流动量 a i j n 0 表示网络外部资金投入到节点i 反之表示从网络抽出资金 a n 表 示单位时间内在时刻n 节点i 向自身追加或撤出的资金量 令r 呐表示节点 i 在时刻n 的节点i 的相对收益率 即r 扎 n n 一r 由于资金总量的变化对即时收益率的影响应该考虑时间滞后因素 对每一节 点i i 1 2 m 投入一定量的资金后 通常需要经过一段时间后才能对该 节点的收益率变化产生影响 不妨假设这段时间为互 正为一正整数 互也反 一1 5 金融市场收益率离散数学模型及其定性分析 映了对节点i 从投入资金到获取利润所需要的时间 因此 其它节点j j i 及 网络外部向节点i 在时刻扎投入的资金越多 即时收益率n 在时n 丑的增量 n m 正 将越小 而节点i 在时刻礼向自身追回的资金越多 即时收益率n 在 时礼 正的增量a r i n 正 将越大 得到如下方程 a r t n 正 一c i a a d n 一1 d a f i n 1 2 3 1 其中q 0 d i 0 为比例系数 考虑到 2 2 1 与 2 2 2 可得 m a r 礼 五 一c 4 n 反 n 2 3 2 j l 另一方面 各节点之间的即时相对收益率差r 扎 一马 礼 可以立即引起资金 的流动 因此 2 2 3 与 2 2 4 仍成立 将 2 2 3 与 2 2 4 代入 2 3 2 可得 n c 佗 正 q 萎去c 弓c 礼 一r 一去总c n 吨 t c 礼 i z m 将兄 n r d n 一r 代入上式并整理得 n c 扎 q 萎去t c q c n t 一哼 一c n c 礼一t 一r 一去t n c 礼一t 一哼 i r i n 岛 薹去t t 巧c n t 一 一c n c 礼一丁 一r 1 6 j 哼 4 一 躺 j l 瓦 曩 h m 一 一 吩 幺 功 江 劭 土 卜 缮似 卜l喀 q 一 博士学位论文 一瓦1m n t 叫 江l 2 m 6 特别地 在封闭的金融网络中 离散时滞收益率一流通量方程有如下形式 2 4 模型i v 离散的脉冲收益率一流通量方程的建立 前三节给出的若干方程都是在常规情形下建立的 但是 许多突发现象能够 引起市场的波动 甚至可以说 正是这些现象本身的复杂性使得金融市场变化规 律捉摸不定 例如 对一个经济网络而言 战争 瘟疫或自然灾害等灾难性突发事 件的爆发 可使整个网络中各节点的即时收益率出现跳跃性锐减 另一方面 为了 稳定金融市场 保证金融市场的持续发展 决策机构对金融政策有时也需要进行 调整 这些措施势必引