（基础数学专业论文）an型李代数亚正则幂零表示的小verma模的连接图谱.pdf

d i s s e r t a t i o nf o r m a s t e rd e g r e e ，2 0 1 0 桶 c o l l e g ec o d e ：1 0 2 6 9 r e g i s t e rn u m b e r 5 1 0 7 0 6 0 1 0 4 6 e a s tc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y a l i n k a g ea t l a so nb a b yv e r m a r m e p 。r d e u s l e e n s t a 。t f i o s n u s b r o e f g l u i l e a r a n l g i l e p b 。r t a e s n t o f t y p ea 死 d e p a r t m e n t ： m a t h e m a t i c s m a j o r ： s u b j e c t ： p u r em a t h e m a t i c s l i ea l g e b r a sa n dr e p r e s e n t a t i o nt h e o r y s u p e r v i s o r ： b i ns h u n a m e ： g a n gy e a p r i l ，2 0 1 0 s h a n g h a i 华东师范大学学位论文著作权使用声明 瓜塑杆够亚圳辉廛耜；i 、确小协吣幔i 屯射羁请系本人在华东师范大学攻读 学位期问在导师指导下完成的预孟博士( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果归华东 师范大学所有。本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管 部门和相关机构如国家图书馆、中信所和“知网”送交学位论文的印刷版和电子版；允 许学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将学位论文加入 全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版， 采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于( 请勾选) () 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密”学位论文幸， 于 年月同解密，解密后适用上述授权。 ( 2 导师签 本人签名竺士幽 跏d 年6 月1 日 “涉密”学位论文应是已经华东师范人学学何评定委员会办公室或保密委员会审定过的学位 论文( 需附获批的华尔师范人学研究生中请学位论文“涉密”审批表方为有效) ，未经上 述部i 、j 审定的学何论文均为公开学 7 ：论文。此卢明栏不填写的，默认为公开学位论文，均适川 上述授权) 。 叶刚硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 王建磐髫挺 华芬师范久喾 主席 蔼和兵 数搜 鲆春忏蓖夫宝 尊确差 剐搬放耸夺师屯犬学 摘要 在本文中，我们主要研究素特征域上a n 型李代数的亚正则幂零表示的小 v e r m a 模及其h o r n 空间这是李代数的表示理论中极其重要的研究对象j a n t z e n 对于该表示范畴做过细致的研究他通过引进畋( g ) 模的概念并结合p r e m e t 的 出色方法对于基本室上的小v e r m a 模的合成因子作出了精细的分析和构造，并最终 得到了不可约模的完整刻划( c f 【j 2 】) 在j a n t z e n 工作的基础上，本文证明了：在 亚正则幂零p 特征标x 所对应的表示范畴中，同一个块( b l o c k ) 中的任意两个小 v e r m a 模( b a b yv e r m am o d u l e ) 之间的h o r n 空间非零从而揭示了亚正则幂零表 示的小v e r m a 模之间连接关系的完整图谱这是简约李代数模表示理论的新结果 本文的研究成果主要有以下几个方面： 1 在j a n t z e n 工作( c f 【j 2 ，2 1 2 1 4 ) 的基础上，对任意正整数k ，对a n 型李代数 的亚正则幂零表示的小v e r m a 模z x ( k ) ，细致地列出了它的合成列，并确定了它的 合成因子 2 么( 沁) 作为氓( g ) 一模，在么( a 七) ，k = 0 ，l ，扎序列中，考虑相邻的小v e r m a 模作为巩( g ) 一而模之间的h o r n 空间，我们给出了这些h o r n 空间什么时候非零的 充分条件 3 对氓( g ) 模级( a 七) ，对任意i ，j o ，1 ，n ) ，考虑么( 九) 与么( ) 作 为畋( g ) 模的h o r n 空间我们先将问题转化为考虑戤( 知) 与么( 九) 作为 巩( g ) 模的h o m 空间，再对落在基本室的闭包c 中的任意位置的权知，证明了 h o m u x ( g ) ( 么( 知) ，么( 九) ) 非零，以及h o m u x ( g ) ( 么( 九) ，么( 入o ) ) 非零，从而推导出 h o m u x ( g ) ( 反( 九) ，么( ) ) 非零，并最终揭示了在同一个块中任意两个小v e r m a 模 之间具有“强连接关系” 关键词：亚正则幂零表示，小v e r m a 模的合成因子，小v e r m a 模的h o m 空间 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ef o c u so u rr e s e a r c hi n t e r e s tm a i n l yo nt h eb a b yv e r m am o d - u l e sw i t hxs u b r e g u l a rn i l p o t e n tf o rt h el i ea l g e b r a so ft y p ea 住o v e ra na l g e b r a i c a l l y c l o s e df i e l do fc h a r a c t e r i s t i cp ，a n do nt h eh o ms p a c e sb e t w e e nt h e s eb a b yv e r m a m o d u l e s t h e ya r eo b j e c t so fg r e a ts i g n i f i c a n c ei nt h er e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo fl i e a l g e b r a s j a n t z e nh a sm a d ead e t a i l e di n v e s t i g a t i o no nt h i sc a t e g o r y w i t hh i s i n i t i a - t i v en o t i o nt h e 巩( g ) 一t om o d u l ea n dp r e m e t se x c e l l e n tm e t h o r d ，h eg i v e sad e l i c a t e a n a l y s i sa n dc o n s t r u c t i o no nt h ec o m p o s i t i o nf a c t o r so ft h eb a b yv e r m am o d u l e so n t h ef i r s td o m i n a n ta l c o v e ，a n df i n a l l yo b t a i nac o m p l e t ed e s c r i p t i o no fi r r e d u c i b l e m o d u l e si nt h i sc a t e g o r y ( c f 【j 2 】) b a s e do nj a n t z e n sw o r k ，w ep r o v et h a ti nt h e 氓( g ) m o d u l ec a t e g o r yw i t hxas u b r e g u l a rn i l p o t e n tp - c h a r a c t e r ，t h eh o m s p a c e s b e t w e e na n yt w ob a b yv e r m am o d u l e si nt h es a m eg i v e nb l o c ka r ea l w a y sn o n z e r o ， w h i c hr e v e a l sac o m p l e t el i n k a g ea t l a so nb a b yv e r m am o d u l e so fs u b r e g u l a rn i l p o - t e n tr e p r e s e n t a t i o n so fl i ea l g e b r a so ft y p ea 竹i np r i m ec h a r a c t e r i s t i c s t h i si sa n e wr e s u l ti nt h em o d u l a rr e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo fr e d u c t i v el i ea l g e b r a s t h em a i nr e s u l t si nt h i st h e s i sa r el i s t e da sf o l l o w s ： 1 b a s e do nj a n t z e n sw o r k ( c f 【j 2 1 ，2 1 2 1 4 ) ，w ep r e c i s e l yl i s tt h ec o m p o s i t i o n s e r i e sa n dt h ec o m p o s i t i o nf a c t o r sf o rt h eb a b yv e r m am o d u l e s 么( a k ) w i t ha r b i t r a r y p o s i t i v ei n t e g e rk 2 a s 氓( g ) 一t om o d u l e s ，w et a k ei n t oa c c o u n tt h eh o ms p a c e sb e t w e e n t h ea d j a c e n t b a b yv e r m am o d u l e si nt h es e q u e n c e 么( k ) ，k = 0 ，1 ，n w eg i v es u f f i c i e n t c o n d i t i o n sf o rt h e s eh o ms p a c e sb e i n gn o n z e r o 3 a s 氓( g ) m o d u l e s ，w ec o n s i d e rt h eh o ms p a c e sb e t w e e n 么( a i ) a n d 反( ) f o r a r b i t r a r yi ，歹 o ，1 ，n w ef i r s t l yr e d u c et h i sp r o b l e mt ot h eh o r ns p a c e s b e t w e e n 么( a 0 ) a n d 么( 九) ，t h e np r o v et h a th o m v x ( g ) ( 么( 入o ) ，么( 九) ) a n d h o m u x ( g ) ( 么( 扎) ，么( 知) ) a r en o tz e r o f o rt h ew e i g h t 知w h i c hl i e si na r b i t r a r y 1 l s i t e si nt h ec l o s u r eo ft h ef i r s td o m i n a n ta l c o v e a sac o n s e q u e n c e ，w eo b t a i nt h e r e s u l tt h a th o m u x ( g ) ( 么( 九) ，么( ) ) a r en o tz e r of o ra r b i t r a r y ，j o ，1 ，礼) ， a n du l t i m a t e l yr e v e a l st h es t r o n gl i n k a g er e l a t i o n s h i pb e t w e e na n yt w ob a b yv e r m a m o d u l e si nt h es a m eb l o c k k e yw o r d s ：s u b r e g u l a rn i l p o t e n tr e p r e s e n t a t i o n s ，c o m p o s i t i o nf a c t o r sf o rb a b y v e r m am o d u l e s ，h o r ns p a c e sb e t w e e nb a b yv e r m am o d u l e s 目录 中文摘要 i 英文摘要 i i 引言1 第一章 第二章 第三章 第四章 背景和基本概念3 在酞( g ) - t o 模范畴中，么( 儿) - ( k o ) 的合成因子1 2 在酞( g ) 一死模范畴中，么( 九) 间的h o m 空间1 5 在皈( g ) 模范畴中，任意两个么( 凡) 间的h o m 空间1 8 参考文献2 3 致谢2 5 引言 在复半单李代数的表示理论的大量研究中，v e r m a 于上世纪六十年代首先引入 了后来被称为v e r m a 模的概念并研究了v e r m a 模的性质和v e r m a 模之间的同态空 间( c f 【v d 稍后，b e r n s t e i n ，g e l f a n d 和g e l f a n d 在一系列的文章中将v e r m a 的工 作极大地推向了深入( c f 【b g g i ，【b g g 2 ，【b g g 3 ) 其中著名的b g g 定理给出了 v e r m a 模之间非零同态存在的充分必要条件 当我们考虑特征p 代数闭域上李代数的表示理论时，自然需要研究构成表示理 论最基本对象的小v e r m a 模之间的连接关系是怎么样的问题由于特征p 代数闭域 上李代数的表示理论与特征0 代数闭域上李代数的表示理论相比差异巨大，事情变 得非常复杂困难 在本文中，我们主要研究特征p 代数闭域上a n 型李代数的亚正则幂零表示的 小v e r m a 模及其h o m 空间在这样的情形之下，本文对于以上问题给出了完整的 解答 本文的结构安排如下： 在第一章，我们首先提出了问题研究的背景，并用比较多的篇幅介绍了特征p 代 数闭域上限制李代数的表示理论的基本概念，一些基本的结论，并逐步引出我们在 本文中需要研究的对象 在第二章，我们在j a n t z e n 工作( c f 【j 2 】，2 1 - 2 1 4 ) 的基础上，对任意正整数k ， 对如型李代数的亚正则幂零表示的小v e r m a 模级( k ) ，细致地列出了它的合成 列。并确定了它的合成因子 在第三章，将么( 扎) 作为氓( g ) - t o 模，在么( 儿) ，k = 0 ，1 ，n 序列中，考虑 相邻的小v e r m a 模作为巩( g ) 硒模2 _ n 的h o m 空间，我们给出了这些h o m 空间 什么时候非零的充分条件 在第四章，对酞( g ) 模z x ( k ) ，对任意i ，j o ，1 ，n ，考虑么( 九) 与 么( b ) 作为畋( g ) 模的h o m 空间我们先将问题转化为考虑么( 知) 与么( 九) 作 为氓( g ) 模的h o r n 空间，再对落在基本室的闭包c 中的任意位置的权知，证明 l 了h o m u x ( g ) ( 级( 知) ，么( 九) ) 非零，以及h o m 氓( g ) ( z 爻( 九) ，么( 知) ) 非零，从而推导 出对任意t ，歹 0 ，1 ，佗) ，h o m u x ( g ) ( 么( 九) ，么( ) ) 0 换言之我们得到，在 氓( g ) 模范畴的任意给定的一个块( b l o c k ) 中，任意两个小v e r m a 模之间具有“强连 接关系”因此我们能够推出定理2 1 ： 定理设a ，p x ( 丁) ，则h o m 氓( o ) ( 么( 天) ，么( 豇) ) 0 当且仅当p 入这里 a 天是x ( t 1 到限制权集a o 的典范满射 2 定理1 b c c 定理似 b g g l , 胆g g 2 , b e e s ) 设权入，p b 。， 俐若pgw x ，w 为w e y l 群，则 h o m u ( g ) ( z ( p ) c ，z ( x ) e ) = 0 俐若p = s 岛s 屏一l s 卢。入，其中卢l ，庇，屏r + ，r + 为正根系，则 h o m u ( g ) ( z ( p ) c ，z ( x ) e ) 0 当且仅当对任意的1 i r ，s 风一l s 尻一2 s 0 1 入一s o t s & 一l s 0 1 a 是成的正整数 倍此时 h o m u ( g ) ( z ( p ) c ，z ( a ) c ) 竺c 1 2 当我们开始研究特征p 代数闭域上的李代数的表示理论的时候很自然的要问， 定理1 在特征p 代数闭域上是否有相应的版本 从现在开始，我们转到特征p 代数闭域k 上，设9 是k 上限制李代数，即存 在p 次幂映射嘲：gog ，z 时z 纠，满足：( 1 ) 元素毒( z ) = 妒一z 嘲落入g 的普遍包 络代数u ( g ) 的中心z ( g ) 内，( 2 ) 专( z + y ) = f 0 ) + 毒( 秒) 且( 口z ) = 口p ( ( z ) ) ，对所有 的z ，耖g 和a k 3 特征p 代数闭域上李代数的表示理论和特征0 代数闭域上李代数的表示理论相 比，差别非常巨大作为首要的结论，我们列出 定理2 似j s , a g 的任意不可约表示都是有限维的维数至多是p d i m g 用m 记不可约u ( o ) 模，s c h u r 引理表明z ( g ) 作用在m 上是纯量特别 ( z ) = 扩一z m ，z g 作用在m 上是纯量，设为x u ( z ) p x m 是m 的p - 特征标 对x g + ，设 c ，k ( g ) = u ( o ) 畋( g ) 称为g 的约化( r e d u c e d ) 包络代数，维数是p d l mg 特别地，u o ( o ) 称为g 的限 制( r e s t r i c t e d ) 包络代数 如果，y 是g 的自同构，满足7 ( z n ) = ( 7 0 ) ) 纠，则7 诱导k 代数同构： 氓( g ) - x ( g ) 特别地，当g = l i e g 时，对任何g g ，a d ( g ) 是g 的一个自同构， 保持g 的p 结构每个g g 铪出同构u x ( g ) 与x ( g ) ，其中g x 是指g 在g + 上的余伴随作用 1 3 从现在起我们设g 是k 上的简约代数群，g = l i e g ，g 有单连通的导出群，p 对于g 是好的( c f 【j 3 】，b 6 ) ，并且g 上存在一个g 不变的非退化对称双线性型 此时g 有很好的性质 设t 是g 的某个极大环面子群，b 是相应的b o r e l 子群，u 为b 所含的幺 幂根设g 关于t 的根系为r 并设b = l i e c t ) ，b + = l i e ( b ) ，r u i - = l i e ( u ) 则 g = n 一+ b + n + ，b + = b + n + ，g = b + + n 一且满足1 1 + = 9 n 以及n 一=g 口 a e r + 卢e - r + 对a r ，选取非零的z n g 口则z 掣= 0 ，因为z 掣g = 0 b 有基h z ，h n ，满足 5 p j = h i 对所有的i 设y g 通过g 上的g 不变的非退化对称双线性型对应到x g 则 a d ( g ) ( y ) b + ，对某个g g 这样( g x ) ( n + ) = 0 下面不妨假设x ( n + ) = 0 4 形成么( 入) 的一组基，其中a 1 ，q 是全部正根，0 m ( i ) 注意到对每个o z r + ，z 口都幂零地作用于m ，这表明只要m 是非零的，我们就能 得到m n + 是非零的 现在b 稳定m n - ，而1 ) 交换，作用于m n + 可以得到一个权p b 和一个公共 特征向量，我们记为，使得 = p ( ) 对所有h b ，x v * = 0 对所有z n + 则我们可以作 牵：kl _ m 1 p 。口p 其中玩按上面所述的方式作成酞( b + ) 模，即只要要求p a x 容易验证 是畋( b + ) 模同态那么我们找到了非零同态h o m 巩( b + ) ( 缉，m ) 由著名的 f r o b e n i u s 互反律， h o m u x ( g ) ( 级( p ) ，m ) 竺h o m 巩( b + ) ( ，m ) 5 我们得到h o m 氓( g ) ( z 爻( p ) ，m ) 0 而m 是单模，自然成为么( p ) 的同态象。 口 1 4 等同g 和g + ，则x g 有j o r d a n - c h e v a l l e y 分解x = + 令【= g ( ) 为在g 中的中心化子，则存在g 的l e v i 子群厶使得【= l i e ( l ) 设p 是以l 为l e v i 子群的一个抛物子群，则p 是其幺幂根睇和l 的半直积设 p = l i e ( p ) ，n = l i e ( u p ) ，则p = 【o n ，x ( n ) = 0 于是氓( i ) 模可以提升成酞( p ) 模， 只需令n 的作用平凡我们有 定理4 ( 对 v k | t h m2 ；l f p i | ，t h i n3 2a n dt h m8 5 ) 函子 y u x ( g ) o u x ( p ) v 和m _ 建立了范畴 氓( 【) 模 和 氓( g ) 模 之间的等价 这个定理使我们可以将研究单g 模的问题归结为研究满足g = g ( 始) 的单 畋( g ) 模g = c g ( x 8 ) 意味着( 【g ，g 】) = 0 g 【g ，g 】仍然是一个限制李代数设e 为单( g 【g ，g 】) 模，其中，y ( y + 【g ，g 】) = ( y ) 对所有y g 因为e 是代数闭 域上交换代数o g ，9 】的单模，所以是1 维的并且当把e 看作g 模时，e 可认 为是氓。( g ) 模现在y v e 和y 7 卜v 7oe 给出了范畴 酞。( g ) 模) 和 巩( g ) 模) 之间的范畴等价因此我们只要在巩。( g ) 模范畴中来考虑即可 1 5 以下我们可以限制在x 是幂零的情形，即存在某个g g ，使得( 9 x ) ( b + ) = 0 考虑到畋( g ) 与x ( g ) ，对任何g g 从现在开始我们不妨假设x ( b + ) = 0 此时a x = a o 被称为限制权集，p 卜乒是t 的特征标群x ( t ) 到限制权集 a 0 的典范满射我们有 h o = 卢ip x ( t ) ) 并且天= 乒当且仅当入三# ( m o d p x ( t ) ) ，换言之a 0 = x ( t ) p x ( t ) ，( c f 【j 3 ，c 1 ) 既然在本文以下部分我们限制于考虑x ( b + ) = 0 的情形，为了方便起见，我们经常 6 把么( 犀) 简写为么( p ) ，我们只需要记住作为畋( g ) 模么( p ) = 么( # 4 - p v ) ，对任何 p ，矿x ( t ) 当x 是所谓的标准l e v i 型时，前人在对酞( g ) 模的研究中取得了比较多的结 果当x ( b + ) = 0 时，我们称x 具有标准l e v i 型( s t a n d a r d l e v if o r m ) ，如果存在一 个单根集的子集j ，使得x ( x 一口) 0 对所有q i 而x ( z 一声) = 0 对所有卢r + ， ( c f 【f p 2 ，3 1 ) 现在我们设x 是标准l e v i 型注意到x ( 【n 一，1 2 - - 】) = 0 ，我们可以得到一个一维 畋( n 一) 模k ，而因为n 一是幂零的，它事实上成为氓( n 一) 的唯一的不可约表示( c f 【j l 】，3 1 3 4 ) 现在，k 是一维的单畋( 1 2 一) 模，那么左正则氓( 1 2 一) 模畋( n 一) 是不 可分解模，且是畋( n 一) 模k 的投射覆盖氓( n 一) r a d u x ( n 一) = k 而氓( n 一) 是 对称代数( c f 【f p l ，1 2 ) ，酞( n 一) 具有基座( s o c l e ) k 现在对于满足x ( b + ) = 0 的 标准l e v i 型x ，映射仳h 乱 1 建立了取( n 一) 和么( a ) 的作为氓( n 一) 模的同 构于是畋( n 一) 的结构表明 定理5 似删舅圳如果x 具有标准l e v i 型，那么作为氓( g ) 模，么( a ) 具有 单头m e n 训和单基座 当x 具有标准l e v i 型时，我们把z 立( a ) 的唯一单同态象记为l x ( 入) 则根据 引理3 ，我们得到 定理6 如果x 具有标准l e v i 型，单氓( g ) 模必同构于某个l x ( a ) 幂零轨道的理论为特征p 代数闭域上的限制李代数的表示的研究提供了强有力 的方法，在这里几何进入了我们的视野 我们可以利用g 和g 之间的g - 等变同构来分离出g 作用于不同的x 得到的 共轭类，其中g x 正是我们前面所说的g 在g + 上的余伴随作用，这样我们就能列 出g 作用在g 上的幂零轨道由于氓( g ) ；x ( g ) ，对任何g g ，故我们只需 要在每个幂零轨道中选取合适的代表元来研究限制李代数的表示理论 7 我们知道在简约群的情况下幂零轨道的个数是有限的，并且每个幂零轨道的维 数都是偶数( c f 【j 4 ，2 8 ) 我们又知道，不同的幂零轨道可以按照一个轨道落在另一 个轨道的z a r i s k i 闭包里面来赋予一个偏序关系( c 【j 4 ，6 3 ) 这个偏序关系自然的 和幂零轨道的维数的大小关系相一致 由g 中所有的幂零元所形成的幂零锥可以是有限个幂零轨道的z a r i s k i 闭包的 并集( c 【j 4 】，6 ) ，而幂零锥是不可约代数簇，故这些幂零轨道中必有一个的闭包充满 整个幂零锥，它的维数正是幂零锥的维数其他轨道的维数严格小于这个最大的轨道 的维数( c f 【j 4 1 ，6 3 ) 我们称这个最大的轨道为正则幂零轨道比正则幂零轨道的维 数小2 的是亚正则幂零轨道，它在全部幂零轨道中具有次最大的维数最小的轨道 当然是零轨道，它由x = 0 这个特殊的p 特征标引起，所对应的( g ) 的表示正是 我们的限制表示( 限制包络代数的表示) ，其表示理论的最本质部分由简约代数群的 有理表示理论所给出( c f 【j 5 1 ) 该表示范畴中不可约模的特征标公式以及小v e r m a 模之间的h o m 空间何时非退化的问题，由于异常困难，尚未完全解决 注意到 d i m g x = d i m g d i m c g ( x ) 其中( ) ( ) 表示x 在g 中的中心化子 最简单的情形出现在x 是正则幂零的时候我们称x 是i f _ 贝u 幂零( r e g u l a r n i l p o t e n t ) 的，如果x ( z 一口) 0 ，对所有的单根a 此时x 在g 中的中心化子具有 最小的维数r a n k g ，g x 正是我们的正则幂零轨道我们有 定理7 f ，西，f p u 彳乒彳毋删，2 盟2 设x 是正则幂零的，那么每个z 爻( a ) 是单氓( g ) 模，并且每个单酞( g ) 模同构于么( a ) ，对某个入b 下面一个最简单的情形似乎是x 是亚正则幂零的时候我们称x 是亚正则幂零 ( s u b r e g u l a rn i l p o t e n t ) 的，如果x 在g 中的中心化子具有次最小的维数r a n k g + 2 此时，g x 正是我们的亚正则幂零轨道 j a n t z e n 在他的工作( c j 2 】) 中借助p r e m e t 的出色方法( c f 【p r 】) ，对a n 和 晶型李代数的亚正则幂零表示的不可约模给出了清晰完整的刻划 8 我们选取单根向量o q = 龟一e i + l ，1 i n 基本权记为i x 7 1 ，砚，砜 令t o = nk e r ( a i ) ，t o 成为r 的闭子群，它在氓( g ) 上有作用t o 氓( g ) _ + 畋( g ) ，( t ，t t ) 卜a d ( ) ( “) 我们可以定义呶( g ) 一模：这是k 上的一个向量空间 y ，既有畋( g ) 模结构，又有模结构，并且以下相容性条件成立： ( 1 ) t ( x v ) = a d ( x ) ( t v ) ，对所有t t o ，z g ，u v ( 2 ) g 在y 上的作用限制到l i e t o 上时等于而在v 上的作用的微分 对酞( g ) 一模y 和权p x ( t o ) ，我们可以定义一个新的巩( g ) 一t o 模vo p p 如下：我们取原来的巩( g ) 一而模y ，并对任意t t o ，令( t ，t | ) 一p , ( t ) t v 我们用x 。( t ) 记与特征标群x ( t ) 相对偶的单参数子群 由于t o = nk e r ( n d ，于是 i = 1 x 。( t o ) = 咖墨( t ) i ( q l ，庐) = 0 ，1 t n 一1 】 可以计算得墨( t o ) = z 砂，其中 n 妒= i q ：， i = 1 于是( 口i ，妒) = 0 ，对1 i 佗一1 ，( q n ，妒) = n + 1 本文中我们等同么( p ) o p v 和z x 似) o p ( ，妒) 仿射w e y l 群是由仿射反射s 卢卿( 入) = 入一( ( 入，卢v ) 一n p ) 9 ，卢r ，佗z ， 生成的群可以认为是w e y l 群和由平移生成的群p z r 的半直积 我们有基本室的闭包( t h ec l o s u r eo ft h ef i r s td o m i n a n ta l c o v e ) c = ( a x ( t ) 10 ( a + p ，o l v ) p ，对所有o l 兄+ ) 9 它是仿射w e y l 群作用在x ( t ) 上的基本区域( c f 【j s ，p a r t1 ，6 1 ) 粗略来讲，在点作用意义下，c 是x ( t ) 的最简代表元区域，即，对x ( t ) 中任意给定的元素入，总存在芦c 使得入= w p ，这里w w p 并且，在氓( g ) 表示范畴中，同一个块中的小v e r m a 模共享c 中的同一个代表元，即，若么( 入) 与 么( a ) 落在同一个块中，则必有p c ，使得p = w - 1 a = 入7 ，w ，w 7 ( c f 【j l 】，1 0 2 ，1 1 1 1 ) 用8 i 记8 n l ，关于单根啦的单反射i = n 1 ，n 2 ，q n 一1 令晰为g 的 w e y l 群的子群，由s 1 ，s 2 ，8 n - - 1 生成由于9 = 5 k + l ( k ) ，w 可以等同于 n + 1 次对称群岛+ 1 ，则晰可等同于在文字集合 1 ，2 ，佗) 上的置换群，即 听= s t a b w ( n + 1 ) 令仃= 8 1 8 2 s n ，则盯( i ) = l + 1 ，1 i n ，盯+ 1 ) = 1 ，即盯可等同于岛+ 1 中 的( 1 2 n + 1 ) 1 7 块( b l o c k ) 与小v e r m a 模问的同态空间 相应于本文开篇的b g g 定理，我们提出以下问题： 问题8 设a ，p x ( t ) ，在什么条件下， h o m u x ( g ) ( 么( a ) ，么( 皿) ) 07 其中a 一天是t 的特征标群x ( t ) 到限制权集h o 的典范满射何j 5 小节，j 已有的结果为： 定理9 何j 3 , 命题d 彳，a s ) 设a ，p x ( t ) 满足h o m v x ( g ) ( 么( 天) ，z x ( 皿) ) 0 ， 则必有a p ，即么( a ) 与么( p ) 落在畋( g ) 模范畴的同一个块中 这样，要完整回答问题8 ，我们只需在同一个块中考虑小v e r m a 模之间的连接 关系即可，即，只需考虑权之间有连接关系的小v e r m a 模之间的h o m 空间 1 0 本文的主要研究目标，也就是考虑在同一个块中小v e r m a 模的h o m 空间为 此，先介绍我们研究的出发点，j a n t z e n 的论文( c f 【j 2 ) 的主要结果之一： 固定一个权a o c ，令入o + p = r i i ：z t i ，r o = p 一( r l + r 2 + + ) 知c 表明r i 0 ，0 i n 令九= o - i a o j a n t z e n 在【j 2 】中的主要结果是： 定理1 0 何j 2 , 2 纠俐9 = 毒k + l ( k ) ，x 是亚正则幂零的，当0 i r t 且r n - i o 时，每个l x ( 九) 作为z x ( 知) 的合成因子的重数是1 ，既作为氓( g ) 模，又作为 畋( g ) 死模并且d i m l x ( a i ) = 一r n i 俐酞( g ) 模么( 入o ) 是单链的如果所有乃 0 ，则么( 入o ) 的合成因子从头到尾依 次是 l x ( 入o ) ，l x ( a 1 ) ，l x ( 入n ) 如果r n i = 0 ，我们去掉涉及的项 因玩型情况的讨论要远为复杂，因时间所限，在本文范围内我们没能给出相应 结果这将是我们进一步研究的课题 1 1 第二章在氓( g ) 一t o 模范畴中，邑( 入七) ( k o ) 的合成因子 保持前面的记号和假设，我们知道x 一n 。) = 0 考虑抛物子代数 p a 。= b + og 一口。 对任意权入x ( t ) ，我们可以构作氓( g ) - t o 模 么( a ，a n ) = 畋( g ) 氓( ) ( 畋( p 。) ( b + ) 虬) 如果设整数m ，0 m 0 ，口口n 其中m ( a ) 从0 跑到p 一1 ，i 从0 跑到m 一1 当入位于基本室的内部时，j a n t z e n 在证明定理1 0 的过程中构造了如下的合成 列 么( 入o ) = y o2 y 22 2k2 + 1 = 0 其中k 竺么( 九，q n ) ( c f 【j 2 ，2 1 3 ) 并且他证明了( c f 【j 2 】，2 7 - 2 1 4 ) 他所构造的合 成列的合成因子从头到尾依次是 l x ( 入o ) ，l x ( 入1 ) ，l x ( 入n ) 如果7 n i = 0 ，我们去掉涉及九的项 在j a n t z e n 以上工作的基础上，我们可以进一步给出如下结果 定理1 1 给定正整数k 0 ，么( k ) 有一个作为畋( o ) - t o 模的合成列 z 爻( a 七) = w o2 肌2w 2 2w 么2w 么+ l = 0 使得合成因子从头到尾依次是 l x ( a 七) ，l x ( 入七+ 1 ) ，l x ( 入n ) ，l x ( 知) o ( - p ( n + 1 ) ) ，l x ( 入七一1 ) p ( - p ( n + 1 ) ) 其中如果r n j = 0 ，我们去掉涉及的项 1 2 证明? 注意到 七一1 a 知+ j d = 一七+ 1 + j 叻一( r l + r 2 + + r n ) 刃七+ j = t 我们有沁+ p 刃七c 成列 j = k + t 吩一k w t j 设0 0 = 九+ 肛七，巩= 0 - i o o 从定理1 0 和上面的论述( c f 【j 2 1 ) ，我们有一个合 么( 0 0 ) = w 嵋2 昭2 嵋2k + 1 = 0 使得合成因子从头到尾依次是 l x ( ) ，l x ( 口1 ) ，l x ( ) 注意到么( 入南) = 么( o o 一肛七) ，取瞰= w p ( - p k ) ，我们得到么( k ) 的合成列 z 支( a 詹) = w o2 肌2w 22 2w 么2w 名+ 1 = 0 合成因子依次是 l x ( 0 0 p 留詹) ，l x ( 0 1 一p 钌知) ，l x ( p n p t 刀k ) 注意到当 = 0 ，1 ，佗一k 一1 时，( 面知) = 刃七和一叻， 以及 仇+ p = 矿。( 6 1 0 + p ) = 口4 ( a 七+ p + p w k ) = a k + i + p + p ( 刃七+ t 一砚) ， 吼一p w k = a k + i + p ( w k + i 一砚一w k ) ， ( q ，砂) = j ，歹= 0 ，1 ，佗，于是， l x ( 吼一p 刃七) = l x ( 入南+ l + p ( w k + i 一砚一钌蠡) ) = l x ( a 七十i ) 当i = ，l k 时， 于是， 6 k 一蠡+ p = a t l + p + p ( w n 一仍h 一七) = 盯n ( a o + p ) + p ( w n 一留t i 一膏) 一k + l + p = x o + p + p ( 一一k + 1 ) 1 3 注意到妒= l q y ，( 砜一七十1 + 钌七，妒) = 佗+ 1 ，我们有 l x ( o n k + l 一9 反7 k ) = l x ( a o p ( 仍n k + l + 仍七) ) = l x ( a o ) 圆( - p ( n + 1 ) ) 依此类推得到如一k + j = 一1 一p ( 四n k + j 一巧一1 ) ，歹= 1 ，2 ，k l x ( o n k + j 一印七) = l x ( 一1 一p ( 曰n k + j w 一1 + 四七) = l ( 一1 ) o ( 一p ( n + 1 ) ) 所以我们得到级( a 七) 的合成列为 邑( 入七) = w o2 肌2w 22 w 么2w 么+ l = 0 ， 合成因子从头到尾依次是 l x ( 入七) ，l x ( a 七+ 1 ) ，l x ( a n ) ，l x ( 入o ) 固( 一p c n + 1 ) ) ，l x ( 入七一1 ) o ( 一p c n + 1 ) ) ， 其中如果一j = 0 ，我们去掉涉及如的项 1 4 口 ，：么( a 一缸) _ 么( a ) 坝一出hx d - a 坝 可以验证，是酞( g ) 模同态现在x ( x 一口) 0 ，那么 t 氓= x ( x 一口) 一p z ! q t 氓= x ( x a ) 一p l d ! | d 厂( a d 乜) 即坝i r e s 因此，是满同态再比较两边维数知，是一一的，因此，是巩( 9 ) 模 同构我们还需要验证，与模结构相容回忆蜀在z x ( k ) 上的作用方式，事实 上 f ( t ( 1o 可a 一妇) ) = f ( a d ( t ) ( 1 ) o ( t v a d 口) ) = ( 入一d a ) ( t ) f ( v x 一如)