（基础数学专业论文）banach空间的一致凸集.pdf

厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的 研究成果本人在论文写作中参考的其它个人或集体的研 究成果，均在文中以明确方式标明本人依法享有和承担 由此论文而产生的权利和责任 声明人( 签名) ：王；皮 明年r 月峰日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规 定厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送 交论文的纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目 的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将 学位论文的内容编入有关数据库进行检索，有权将学位论 文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用 本规定。 本学位论文属于 1 、保密( ) ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密( ) ( 请在以上相应括号内打“ ) 作者签名： 导师签名： 王亏皮日期：弘唧年f 月争日 峨q 年册如 b a n a c h 空间的一致凸集 摘要 一致凸b a n a c h 空间在b a n a c h 空间几何学及非线性分析的许多方 面都有起到很重要的作用但是，在一些重要的应用中，比如不动 点理论，我们只需考虑目标集合的性质，而不需要整个空间都有此 性质因此人们将一致凸集概念从不同角度推广到b a n a c h 空间凸集 上本文利用 1 】中的最新结果，证明了各种一致凸集都是相对超弱 紧集对一致凸集的度量投影，r a d o i i - r i e s z 性质及b a n a c h - s a k s 性质 等都进行了讨论，得到：b a n a c h 空间到其任何一致凸集的度量投影 总是连续的，一致凸集具有b a n a c h - s a k s 性质等 关键词：一致凸集，一致凸函数，度量投影，a a d o i l - p u i e s z 性质， b a n a c h - s a k s 性质 b a n a e h 空间的一致凸集 a bs t r a c t 2 t h ec l a s so fu n i f o r m l yc o n v e xb a n a c hs p a c e sh a sp l a y e da l li m p o r t a n tp a r t i nb o t hg e o m e t r yo fb a n a c hs p a c e sa n dr e l a t i v et o p i c so fn o n l i n e a rf u n c t i o n a l a n a l y s i s h o w e v e r ，i nm a n yi m p o r t a n ta p p l i c a t i o n s ，i ti sn o tn e c e s s a r i l yt oa s - s u m et h eu n i f o r mc o n v e x i t yo ft h ew h o l e s p a c eb u ts o m es u b s e t s f o re x a m p l e ， b yb r o u d e rt h e o r e m ，w e a kc o m p a c t n e s sa n dt h en o r m a ls t r u c t u r eo fab o u n d e d c l o s e dc o n v e xs e tcc a na l w a y sg u a r a n t e ee v e r yn o n - e x p a n s i v em a p p i n gf r o m ct oi t s e l fh a saf i x e dp o i n t s op e o p l ei n t r o d u c e ds e v e r a ln o t i o n so fu n i f o r m l y c o n v e xs u b s e t s t h i sp a p e r ，u s i n gan e wr e s u l to f 1 】 s h o w st h a te v e r yk i n do fu n i f o r m l y c o n v e xs u b s e ti ss u p e rw e a k l yc o m p a c ts u b s e t t h i sp a p e ra l s o p r o v e st h a t e v e r ym e t r i cp r o j e c t i o nf r o mab a n a c hs p a c et oac l o s e du n i f o r m l yc o n v e x s u b s e ti sc o n t i n u o u s ，a n de v e r yu m f o r m l yc o n v e xs e ta d m i t st h er a d o n - r i e s z p r o p e r t ya n dt h eb a n a c h - s a k sp r o p e r t y k e y w o r d s ：u n i f o r m l yc o n v e xs e t ，u n i f o r m l yc o n v e xf u n c t i o n ，m e t r i c p r o j e c t i o n ，r a d o n r i e s zp r o p e r t y , b a n a c h - s a k sp r o p e r t y b a n a c h 空间的一致凸集 第一章引言 3 1 国际上b a n a c h 空间理论研究的状况 自1 9 3 2 年，波兰著名数学家s b a n a c h 的名著。t h e o r i 4d e so p e r a t i o n l i n e a i r e s ”问世以来，b a n a e h 空间即受到广泛的重视与研究，所形成的理论 被称之为b a n a c h 空间理论，是现代泛函分析最基础和最重要的组成部分如 今它已被广泛的应用于数学的许多分支以及近代物理，优化理论等学科中 1 9 3 6 年，j a c l a r k o n 首先引入一致凸b a n a c h 空间概念，他指出象h i l b e r t 空间一样，取值于一致凸b a n a c h 空间的向量测度的r a d o n - n i k o d y m 定理仍 然成立c l a r k o n 开创了从b a n a c h 空间单位球的几何结构出发研究b a n a c h 空间性质的方法在随后的岁月里，除a g r o t h e n d i e c k 对b a n a c h 空间的算 子理论和逼近性质作了卓有成效的工作外，b a n a c h 空间理论的研究进展缓 慢，以至长期以来人们只知道有h i l b e r t 空间理论而不知道有b a n a c h 空间理 论 2 0 世纪6 0 年代以来，b a n a c h 空间理论( 包括其几何理论) 取得了迅速的 发展，许多著名的古典问题得到解决 1 9 7 3 年，瑞典的p e n f l o 教授因完满解决了有关b a n a c h 空间的“可分 性”与“可数基”存在之间的关系，从而结束了困惑人们几十年的此一著名的 泛函分析难题p e n i l o 教授也因此( 以及他在有关。不变子空间”的存在问 题的工作) 而获得菲尔兹奖的提名遗憾的是，最终他与此数学界最高荣誉擦 肩而过上世纪8 0 年代末9 0 年代初，b o u r g a i n 为求解非线性偏微分方程 ( s c h r o d i n g e r 方程) 而构造的一类b a n a c h 空间( 因此获得1 9 9 4 年f i e l d s 奖， 4 - 1 4 】) 和g o w e r s 等为解决”无条件基”等重要问题而构造的一类空 间( 因此获得1 9 9 8 年f i e l d s 奖，文献5 - 2 7 ) 1 9 9 3 年，英国的w t g o w e r s 与b m a u r y 合作，j a m s 发表了无条件基序列问题一文他们成功的构 造了第一例遗传不能分解的b a n a c h 空间，否定解决了无条件基序列问题，由 此导致了b a n a c h 空间理论中系列问题的解决( 2 8 ) 1 9 9 8 年，g o w e r s 主要因 这些结果( 另有组合理论的其他结果) 在第2 3 届( 柏林) i c m 上获得了f i e l d s 奖由此可见b a n a c h 空间理论在数学领域中的地位及其所取得的辉煌成就 b a u a c h 空间的一致凸集 4 其他一些数学家也证明了b a n a c h 空间的一些重要定理例如，a c j a m e s 花费了2 0 年时间，于1 9 7 2 年以较为简单的方法证明了自反b a n a c h 空间的 特征化定理，即b a n a c h 空间自反的充要条件为每个连续线性泛函在单位球 面上达到其范数还有从支撑点和端点的思想出发来刻划泛函性态的b i s h o p - p h e l p s 定理，k r e i n - m i l m a n 定理以及c h o q u e t 定理等此外人们根据其他 数学分支的需要，从各个不同的角度出发对b a n a c h 空间进行深入研究，促使 b a n a c h 空间理论( 包括起几何理论) 及其应用的面貌日新月异例如， b a n a c h 空间的各种凸性和光滑性以至范数的可微性的研究，在最佳逼近， 不动点原理上有重要应用1 9 6 7 年，j j s c h a f f e r 考虑b a n a c h 空间单位球的 内度量性质，引入了单位球的g i r t h 曲线，研究b a n a c h 空间之间接近等距性 质，讨论了平坦空间；1 9 6 8 年，e a s p l u n d 从凸函数的可微角度引入强( 和 弱) 可微空间，后来被称之为a s p l u n d ( 和w a s p l u n d ) 空间特别是1 9 6 7 年， m a r i e f f e l 将向量测度r a d o n - n i k o d y m 定理与b a n a c h 空间中有界集的。可 凹性”联系起来，使人们能进一步研究这种称之为r n p 的空间，将b a n a e h 空 间理论( 特别是几何理论) 的研究推向一个新的高潮j d i e s t e l 和j j u h l j r 等数学家进一步用向量测度方法证明了许多b a n a c h 空间空间定理并与1 9 7 7 年总结这方面结果写了“v e c t o rm e a s u r e ”一书1 9 5 3 年，e m o u r i e r 发表 第一篇b a n a c h 空间中的随机变量的第一强大数定律仍然成立的文章从此人 们开始了b a n a c h 空间中概率论的研究现在，取值于b a n a c h 空间的鞅已经 成为研究b a a n a c h 空间的重要工具之一由于无限维规划论的需要，到目前 人们已得到许多与凸分析有关的h a h n - b a n a c h 定理的等价形式这些都很大 程度上推动了b a n a c h 空间理论，特别是凸集理论的发展 2 相关内容的历史背景 i ) 度量投影 b a n a c h 空间的度量投影是个经久不衰的研究课题，在最优化，计算数学， 方程论，控制论中均有重要的应用度量投影的连续性和收敛性则是人们长期 研究的重点1 9 7 9 年，f s u l l i v a n 在文【2 9 1 得到了b a n a c h 空间度量投影连 续性的结果，即若b 是l 2 一u r 空间，m 是b 的c h e b y s h e v 子空间，则 f k 连续此后，俞鑫泰，那启元，王建华，南朝勋等在文 3 0 ，3 1 ，3 2 ，3 3 】中陆 续将该结论做了进一步的推广同时随着凸性条件的减弱，出现了范一范( 范 b a n a c h 空间的一致凸集 5 弱) 上半连续这些结论大大完善了度量投影连续性问题的研究 度量投影的收敛性问题首先由b r o s o w s k i ，d e u t s h ，n f i r n b e r g e r 在文 3 4 】中 提出，该文讨论了线性赋范空间b 中关于一族子集 ( a ) 】脚( x 被参数化) 的t _ r 。( z ) 的收敛性问题1 9 8 4 年，t s u k a d a 在文 3 5 】中讨论了序 列 r 。( z ) ) 的收敛性问题，得到在自反且严格凸的b a n a c h 空间中，序列 n 。( z ) 】范数收敛1 9 8 7 年，p a p a g e o r g i o i l 和k a n d i l a k i s 在文 3 6 】总引入 了e 一逼近，将t s u k a d a 的结果推广随后，刘培德，候友良，王建华，南朝 勋分别在文 3 7 3 8 】中得到自反的空间中度量投影的一些收敛结果 i i ) b a n a c h - s a k s 性质 1 9 3 0 年b a n a c h 和s a k s ( 3 9 ) 首先证明了厶 o ，1 】( 1 0 ， 使得，当z ，y d ，0 z 一可i l s ， ，( z ) + m ) 一2 ，( 半) 五 定义2 1 2 c x 是一致凸集仁今v x o x ，r r ，有s b ( 孤，) nc 是一 致凸的即比n ，g 当 | i z n z o0 = r ，i i 蜘一z o i j = r ，i i z n z o + 鲰一z o | i _ 2 r ， 有i i z n 一l l _ o 定义2 1 3 【1 】设 x ，】；no 是x 中的n + 1 个向量 i ) ( 兢) 翟。被称为是仿射无关的如果 x i z o 銎。是线性无关的； i i ) c o a 被称为是x 中的一个顶点在x i = 0 ，1 ，2 n ) 的几一单行，如果 x 】；no 是仿射无关的 定义2 1 4 1 1 】设ucx 和vcy 是两个仿射子空间，且设acx 及 bcy 是两个子集 i ) 映射t ：u 呻y 被称为是仿射，如果 t ( o e u + z v ) = a t u + p n 对所有的u ，口以q + p = 1 i i ) 一般的，一个映射t ：a 斗b 被称为是仿射，如果丁是一从a f f a 到 a f f b 仿射的限制； i i i ) 仿射映射t ：a 哼b 被称为是对某个 0 的从a 到b 的( 1 - fe ) 一 b a n a c h 空间的一致凸集 仿射嵌入，如果 ( 1 6 ) 1 1 z 一秒i j i i t x t y l j ( 1 + e ) l i z y i i ，vz ，y a 8 如果那样的t 存在的话，那么我们也称a 能够( 1 + g ) 一仿射嵌入进b 特别的，如果a = x ，b = v 则定义在x 到y 的一线性映射t 称为是 从x 到y 的( 1 + e ) 一线性嵌入，如果对所有的z ，y x ，t 满足上面的不等 式此时x 被称为是( 1 + e ) 一线性嵌入进y 定义2 1 5 【1 】设acx ，bcy 是两个非空子集我们称a 可在b 中有 限表示，如果对每个e 0 及每个具有顶点在集合a 的n 一单行s ( a ) ，都存 在顶点在j e 7 的n 一单行s ( b ) 使得s ( a ) 是( 1 + s ) 一仿射嵌入进s ( b ) 定义2 1 6 【1 lb a n a c h 空间的一有界弱闭集称为是超弱紧的，如果在c 有 限表示的每个有界弱闭集d 均是弱紧的 定理2 1 7 ( r c j a m e s ) 2 】若c x 是非空闭凸，有界集，若c 不是弱 紧的，则j0 p m 厶( z n ) = 77 【0 ，佗 侃 定理2 1 8 【1 lb a n c h 空间x 中，有界闭凸集c 为非超弱紧的乍令j0 口 p 2 2 弱紧性和超弱紧性 性质2 2 1 若在有界闭凸集c 上存在连续的一致凸函数，则c 是弱紧的 证明设g 在c 上一致凸的，不妨设g 在c 上有下界的，0 c 若c 不是弱紧的，由定理2 1 7 ，j0 口 1 ， z 膏) c ， ) x ，i l 0 = b a n a c h 空间的一致凸集 1 ，使得 故 厶( z n ) = 佗m ， 佗 m d i s t ( c o ( x l ，x k ) ，c o ( x k + 1 ，z n ) ) 口， 特别地0 2 1 一x 2 1 i p 因g 是在c 上一致凸的，故 又因 故 进而 又因 故 因此 矛盾 g ( x 1 ) - t - g ( z 2 ) 一2 9 ( 半) 9 ( 半) 6 ( 口) ， g ( x 1 ) + g ( x 2 )6 ( p ) 22 z 1 + z 2z 3 + x 4 22 夕( 半) + g ( 半 夕( 型等 垫) 0 口， ) 咄( 坐鼍产坐) a ( o ) 夕( 宁) + 夕( 三垆) 6 ( 口) 2 2 窒垒! ! 呈f 丝2 一业4 - g ( x 3 ) - t - g ( x 4 ) 一鱼盟 22 22 2 a ( o ) 2 g ( x 1 ) + g ( x 2 ) + g ( x 3 ) + g ( x 4 )2 a ( o )：= = 42 型坐一堕生杀竺竺112n p 2 n 一 g ( 尘铲) 剑半幽一半 i n f 9 夕( 型) v _ s u p g - 鱼掣一一。( n 一) c 二 9 p 0 ，i_-(1_【 b a n a c h 空间的一致凸集 1 0 利用上面的方法，就可以得到下面性质 性质2 2 2 上述凸集是超弱紧的 证明设g 在c 上是一致凸的，且g 在c 上是有下界的 若c 不是超弱紧的，由定理2 1 8j0 0 及i l 0 一r 0 ，( n _ 。) 又由f 的连续性可设0 z n 0 = i i 鼽0 = r ，使得 2 r 2 一翱z f l + 0 2 _ 0 进而 i i z n + i i 一2 r ，z n ，鲰如( o ，r ) nc 由c 的定义有i l z n 一0 0 ，矛盾) 妇x ，j 蜘) ，使得忙一0 一! n c f1 1 = 一z l l = d ，因c 是弱紧的，故 j ) 的子列，不妨设仍是 ) ，其弱收敛到y o c ，则 d i i z y o l i l i m i n fi i z 一i i d 即尼( z ) 存在且非空 其次，p c ( z ) 是唯一的 若不然，| y 耽，使得，0 z o y l0 = 0 知一耽02 1 酷0 z o z l l = d 易知 f 可1 + ( 1 一) 可2 p c ( z o ) ，亭 0 ，1 】 则 怖一堕娑i i ：d ，y 1 ，y 2 ( md ) nc 由c 定义i l 可l 一珑i i = 0 ，矛盾 再证，尼( z ) 是连续的 只须证尼( z ) 在x c 上连续首先证明p c ( z ) 在x o x c 范一弱连续， 即证i | z n z o f l _ o ，户c ( z n ) = u n u n 与u o p c ( z ) ， u n c 有界若t n 不弱收敛到u o ，则存在 仳n ) 的 子列仍记为 乱n ，使得 u n ) 没有子列弱收敛到缸o 由 让n ) 的弱紧性知，存在子列让n 。弱收敛到v 0 u 0 则 l i z o u 0 0 = d i s t ( x o ，c ) = 1 i md i s t ( x n k ，c ) b a n a c h 空间的一致凸集 1 3 = 。l i ml i z n k u n 。0 i i x 0 一伽i l 詹- - o o 则v 0 p c ( z ) 矛盾 下证尼( z ) 在x 0 点处连续 因u n z o 弱收敛到珏。一x 0 ，且i i 让n z o l i i l 一x o l l ， 若i l 乱n x 0 一( u o z o ) 0 不收敛到0 ，取r o ，使得 + 2 蒜南伯酣，。2 厩了丽伯u ， 时2 莳南伯cu o 。2 丽j 丽伯u ( 0 c ，c 是凸的，取r o i n f ( 1 l u n z o l l 即可) 则i j 一岫0 不收敛到0 ，由 w n ) s s ( o ，r o ) nc 及c 的定义可知， l l + w 0 0 不收敛到2 t o ，又i i 。+ 蛐0 2 r o 则存在子列 。) + ) 及正数e o ，使得一致有 i w n 。+ + w 0 + 0 ( 2 一o ) r o ，( k = 1 ，2 ，) 又因k + w 0 弱收敛到2 w o + 故 i 2 w o | l l i m i n f1 w n k + w o + 0 ( 2 一e o ) 珊 所以i i 岫+ 0 ( 1 一 c o ) r o w 喜妄) 所以 产 一2 1 n f 5 0 ( c ；叩) ；r o ) 南( c ，参，云) ( 奉) ( 2 ) 下证 z n 】cc ，z n 二z o c ，l | z n l i i z o | i ，贝4l i z n x 0 l i _ 0 若不然，j z n 的子列仍记为( ，及印 0 ，l l z n x 0 | i o ，对v n ，令 a n = m a x j l x n i x o l l ，d = d i a m ( c ) ，得到 ( z n ，x o ) n ( c ，o ；口n ，e o ) ， v 几n 由( 1 ) 中( 木) 知， 1 一如笔导怆6 ( c ，o ；。) q n ” z ” 。 列印；i c o ，嚣) = q o b a n a c h 空间的一致凸集 又由h a h n - b a n a e h 定理知，3 f x ，使得i i l l i = 1 ，f ( x o ) = l i z o l l 从而 1 1 一a 如半| l 妾，( 半) “( n _ o o ) 矛盾 3 4b a n a c h - s a k s 性质 1 5 在一致凸b a n a c h 空间凸集具有b p ；f - 面将证明，在定义2 1 2 意义 下，其也具有b s p 性质3 4 1 设c 满足定义2 1 2 ，则c 具有b a n a c h - s a k s 性质 证明设0 c ，d i a m ( c ) = d ， 下证j0 罢三| i z 2 一z n 0 寻 ( 否则，v n 2 ，ix 2 一z n 0 丁m ，取厂b ( x + ) ， i ，( z 2 ) l ： 1 i m f ( x 2 - - z , , ) 1 l i m s u ph x 2 - - x n i i 百m 则i i z 20 百m ) 令m 2 为第一个n 2 的数，使得i i 。一z m 。0 虿m ， 则 x r n l + 2x m 2 1 - 万( go 等) 】r ( 1 6 ( c ，o ；百m ，面m 2 ) ) m 1 6 ( 其中，r = m a x ( i i z m 。i z m ：i i ) ，后个不等式用到 1 】中个结果i i l f 6 ( e ，0 ；ne ) ；r o ) 芝6 ( go ；，翕) d = d i a m ( c ) ) 取o o = m a l ) ( i ，( 1 一万( eo ；了m ，百m 2 ) ) 即可 令m 3 = m 2 + l ，m 4 从m 3 中得到，则上述子列 z ) 可以找到 令( z n 1 ) ，其中z n 1 ) = g m 2 n - - t 1 。- x m 2 n ，则z n ( 1 ) j0 ，i i x n ( 1 ) 1 1 m 6 1 0 ， 令仇1 ( 1 ) = m 2 ，则0 z m ，( 1 ) 1 1 学或j j z ( m ，( 1 ) j j 学 当i i x ( 1 ) m l ( 1 ) j j 垃2 ，了m 2 ( 1 ) ，使得 当 i x ( 1 ) m l ( 1 ) i 垃2 ，jm 2 ( 1 ) ，使得 则 取 下3 m e o m 6 i d 4 一” 缈删一z ( 删0 t m e o i j 些挚i i 1 _ 配吣，警渺 钟叫刚；丁m e o ，譬 m 0 0 0 1 ) i e o 广= m a x i x ( 1 ) m , ( 1 ) z ( m 2 ( 1 ) i i 及 叫1 叫印；t m o o ，警k 3 ) 则继续下去可找到( z ( ( 1 ) 如此下去可知，z n 是从z n 。一1 ) 中子列 z ( p 一1 1 m 。( p 一1 ) ) 得到的 z n ( p ) ) 满足 1 2 = 丝生等竽墨业 恢惬m 吼 i = 0 b a n a c h 空间的一致凸集 m n 以m 2 兀o , 2 口 6 l l = m a x 1 6 ( c ，o ；早，_ ) ；三】 z 7 l ( p ) 二0 ，n _ o o 易知上述以 o 】6 ( c ，o ；，翕) d = d i a m ( c ) ) 故 m 1 - 10 im 2 兀鳄 靠= 1 6 ( c ，o ；早，昔) b a n a c h 空间的一致凸集 则 1 叫印；百m 2 ( 1 2 ，髻) 0 i n 一一。一 = 0 与假设矛盾 _ 0 n _ 下面再做一些简单计算： 注意到 一= 堕等 z1(2)=x(1)ml(1)r-x(1)m2(1) 竺竺! 竺11 1 1 二! 竺三! 竺l 娅 2+ z m 2 m 2 ( i ) - 1 2 4 z m 2 m 2 ( 一1 ) 2 z m 2 ”l ( 1 ) 一1 + z r n 2 ”1 ( 1 ) + x m 2 ”2 ( 1 ) 一1 + z m 2 ”1 ( 2 ) ：= = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 一 2 2 m 2 m l ( 1 ) 一1 m 2 m 1 ( 1 ) m 2 m 2 ( 1 ) 一1 m 2 m 1 ( 2 ) 当继续列出z 1 ，我们将找出递增数列f t ) ，2 z ) ，珏( p ) 使得 而 x l ( p ) = 2 - p ( x l l ( p ) + + x 1 2 p ( p ) ) 1 1 1 ( 1 ) 1 2 ( 1 ) 1 1 ( 2 ) 1 2 ( 2 ) 1 3 ( 2 ) 1 4 ( 2 ) 1 1 ( 3 ) 且若q p 和1 i 丙2 p ，则 x l f t 一1 ) 2 口+ 1p ) + + x l 删( p ) 2 口 是 ( q ) 的一元素且它模不超过m 卉0 i 令几1 = 1 ，n 2 = f 1 ( 1 ) ，t , 3 = i = 0 1 2 ( 1 ) ，n 4 = 1 1 ( 2 ) ， 1 8 锄 巩 以 兀譬兀铷 以 以 所 所 b a n a c h 空间的一致凸集 令k n 且设r 2 q k ( r + 1 ) 2 q 则 因此 z n l + + z n k0 i i x n 。+ + x n ：。0 + 0 z n ，钾+ + z n - + 恢) 凹+ + z 嘲一。o j = 2 q m ( 2 q 一1 ) + m 2 口+ ( 7 一1 ) m 2 口i i 仇 m p 8 u ( 氅i f 掣, + 竿i v , + 七，g q ( r 一1 ) 2 q m 兀仇 ) = 0 1 9 b a n a c h 空间的一致凸集 参考文献 1 】l i x i nc h e n g ，q i n g j i nc h e n ga n dw e nz h a n g ，o ns u p e r - w e a k l yc o m p a c t s u b s e t so fb a n a c hs p a c e s ，t oa p p e a r 2 】d i e s t e l ，j g e o m e t r yo fb a n a c hs p a c e s - s e l e c t e dt o p i c s l e c t u r en o t e si n m a t h e m a t i c s ，s p r i n g e r - v e r l a g ，b e r l i n - n e wy o r k ，1 9 7 5 3 】俞鑫泰，b a n a c h 空间几何理论，华东师范出版社 4 】b o u r g a mj ，a no r d i n a l 2 - i n d e xf o rb a n a c hs p a c e s ，w i t ha p p h c a t i o nt o c o m p l e m e n t e ds u b s p a c e so f 2 ，a n n m a t h 11 4 ( 1 9 8 1 ) ，1 9 3 - 2 2 8 5 】b o u r g a i nj ，n e wb a n a c hs p a c ep r o p e r t i e so ft h ed i s ca l g e b r aa n dh , a c t a m a t h 1 5 2 ( 1 9 8 4 ) 1 4 8 6 】b o u r g a i nj ，c o m p l e m e n t so fs u b s p a c e sl pw h i c ha r eu n i q u e l yd e t e r m i n e d ，s p - r i n g e rl e c t u r en o t e si nm a t h 1 2 6 7 ( 1 9 8 7 ) ，3 0 - 5 0 7 】b o u r g a i nj ，a p p r o x i m a t i o no f z o n o i d sb yz o n o t y p e s ，a c t am a t h 1 6 2 ( 1 9 8 9 ) ，1 7 6 - 1 8 5 8 】b o u r g a i nj ，b e r n s t e i nw i d t h so fs o b o l e vs p a c e s ，s p r i n g e rl e c t u r en o t e s i nm a t h 1 3 7 6 ( 1 9 8 9 ) ，1 7 6 - 1 8 5 9 】b o u r g a mj ，o nt h er a d i a lv a r i a t i o no fb o u n d e da n a l y t i cf u n c t i o n so nt h e d i s c ，d u k em a t h j6 9 ( 1 9 9 3 ) ，6 7 1 6 8 2 1 0 】b o u r g a i nj ，r e s t r i c t i o np h e n o m e n af o rl a t t i c es u b s e t sa n da p p l i c a t i o n t on o n - l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n ，is c h r o d i n g e re q u a t i o n s ，g e o m e t i ca n d f u n c t i o n a la n a l y s i s ( 1 9 9 3 ) ，1 0 7 - 1 5 6 11 】b o u r g a i nj ，r e s t r i c t i o np h e n o m e n af o rl a t t i c es u b s e t sa n da p p l i c a t i o nt o n o n - l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n ，i it h ek d v - e q u a t i o n ，g e o m e t i ca n df u n c - t i o n a la n a l y s i s ( 1 9 9 3 ) ，2 0 9 - 2 6 2 b a n a c h 空间的一致凸集 2 1 【1 2 】b o u r g a i nj ，e x p o n e n t i a ls 皿l sa n d n o n - l i n e a rs c h r o d i n g e re q u a t i o n s ，g e - o m e t i ca n df u n c t i o n a la n a l y s i s3 ( 1 9 9 3 ) ，1 5 7 - 1 7 8 【1 3 】b o u r g a i nj , o nt h ec a n c h yp r o b l e mf o rt h ek a d o m t s e v - p e t v i a s h v i l l i i e q u a t i o n ，g e o m e t i ca n df u n c t i o n a la n a l y s i s3 ( 1 9 9 3 ) ，3 1 5 - 3 4 1 【1 4 】b o u r g a i nj ，o nt h ec a u c h yi n v a r i a n tm e a s u r ep r o b l e m sf o rt h ep e r i o d i c z a l d a a r o vs y s t e m ，d u k em a t h j 7 6 ( 1 9 9 4 ) ，1 7 5 - 2 0 2 1 5 】c o w e r s ，w t ，l o w e rb o u n d so ft o w e rt y p ef o rs z e m e r6d i su n i f o r m i t y l e m m a ，g e o m f u n c t a n a l 7 ( 1 9 9 7 ) ，n o 2 ，3 2 2 3 3 7 1 6 】g o w e m ，w t an e wd i c h o t o m yf o rb a n a c hs p a c e s g e o m f u n c t a n a l 6 ( 1 9 9 6 ) ，n o 6 ，1 0 8 3 - 1 0 9 3 1 7 c o w e r s ，w t a na l m o s tm - w i s ei n d e p e n d e n tr a n d o mp e r m u t a t i o no f t h ec u b e c o m b i n p r o b a b c o m p u t 5 ( 1 9 9 6 ) ，n o 2 ，11 9 - 1 3 0 1 8 】c o w e r s ，w t as o l u t i o nt o t h es c h r o e d e r - b e r n s t e i np r o b l e mf o rb a n a c h s p a c e s b u l l l o n d o nm a t h s o c 2 8 ( 1 9 9 6 ) ，n o 3 ，2 9 7 - 3 0 4 1 9 】g o w e r s ，w t r e c e n tr e s u l t si nt h et h e o r yo fi n f i n i t e - d i m e n s i o n a lb a n a c h s p a c e s p r o c e e d i n g so ft h e i n t e r n a t i o n a lc o n g r e s so fm a t h e m a t i c i a n s ，v 0 1 1 ，2 ( z i i r i c h ，1 9 9 4 ) 9 3 3 - 9 4 2 ，b i r k h ? u s e r ，b a s e l ，1 9 9 5 2 0 c o w e r s ，w t ah e r e d i t a r i l yi n d e c o m p o s a b l es p a c ew i t h a na s y m p - t o t i cu n c o n d i t i o n a lb a s i s g e o m e t r i ca s p e c t so ff u n c t i o n a la n a l y s i s ( i s r a e l ， 1 9 9 2 1 9 9 4 ) ，11 2 12 0 ，o p e r t h e o r ya d v a p p l ，7 7 ，b i r k h ? u s e r ，b a