（基础数学专业论文）超对称方程的构造及其可积性质的研究.pdf

摘要 本文主要利用双线性方法寻找新的超对称可积系统以及研究超对称可积系 统的可积性质。 具体的工作如下： 1 1 9 8 0 年，n a k a m u r a 和h i r o t a 从m o d i f i e dk o r t e w e g - d ev r i e s ( m k d v ) 方程的 双线性b g c k l u n d 变换得到了s e c o n dm k d v 方程。本文中，我们把这种方法推广 到超对称可积系统的情形，从超对称m k d v 方程的双线性b g c l d u n d 变换出发构 造了超对称s e c o n dm k d v 方程。此外，我们还得到了这个方程的多孤子解。 2 我们从双线性形式出发构造了一个新的超对称经典b o u s s i n e s q 方程，这 个方程不同于b r u n e l l i 和d a s 从l a x 表示出发得到的超对称经典b o u s s i n e s q 方 程。此外，我们证明了这个新的方程在p a i n l e v 6 意义下是可积的，并且给出了它 的l 一孤子解和2 一孤子解。 3 利用双线性方法，本文中将两个n = 2 的超对称k o r t e w e g - d ev r i e s ( k d v ) 方程双线性化，得到了它们各自的双线性形式，由此构造了相应方程的解。对于 n = 1 的超对称k d v 方程，我们还考虑了它的b i c k l u n d 变换和l a x 表示。另外， 我们进一步构造了超对称经典b o u s s i n e s q 族t 4 流的双线性形式。 关键词：b g c k l u n d 变换，超对称s e c o n dm k d v 方程，孤子解，双线性形式， 超对称经典b o u s s i n e s q 方程，p a i n l e v 6 分析，n = 2 的超对称k d v 方程，l a x 表 示 c o n s t r u c t i o no ft h en e ws u p e r s y m m e t r i cs y s t e m sa n d i n t e g r a b i l i t yo ft h es u p e r s y m m e t r i ci n t e g r a b l es y s t e m s z h a n gm e n g - x i a d i r e c t e db yp r o f l i nq i n g - p i n ga n dp r o f w uk e i nt h i st h e s i s ，u s i n gh i r o t a sm e t h o d ，w em a i n l yd i s c u s sh o wt os e e kn e ws u p e r - s y m m e t r i ci n t e g r a b l es y s t e m s m o r e o v e r ，w es t u d yt h ei n t e g r a b i l i t yo ft h er e s u l t e d s u p e r s y m m e t r i ci n t e g r a b l es y s t e m s i nd e t a i l s ， 薹。毡l 参8 0 + n a k a m u r aa n dh i r o t af o u n ds oc a l l e dt h es e c o n dm o d i f l e dk d ve q u a - t i o nf r o mt h eb i l i n e a xb tf o rt h em o t t l e dk o r t e w e g - d ev r i e s ( m k d v ) e q u a t i o n i n t h i st h e s i s ，w es u c c e s s f u l l ya p p l yt h em e t h o dt os u p e r s y m m e t r i cc a s e sa n do b t a i na s u p e r s y m m e t r i cs e c o n dm o d i f i e dk 斟e q u a t i o nf s s m k d v ) m o r e o v e r ，w ep r e s e n to n e - s o l i t o n ，t w o - s o l i t o na n dt h r e e - s o l i t o ns o l u t i o n so ft h es s m k d ve q u a t i o n 2 w - ew i l lc o n s t r u c tan e ws u p e r s y m m e t r i cc l a s s i c a lb o u s s i n e s qs y s t e mf r o m h i r o t ab i l i n e a rm e t h o d t h i sn e ws y s t e mi sd i f f e r e n tf r o mt h ev e r s i o no fb r u n e 撒a n d d a s t h e n ，w ep e r f o r map a i n l e v da n a l y s i sf o rt h en e we q u a t i o n sa n d s h o wt h a tt h e e q u a t i o n sp a s st h ep a i n l e v dt e s t f i n a l y , w ec a l c u l a t eo n e - s o l i t o n ，t w o - s o l i t o ns o l u t i o n s o ft h en e we q u a t i o n s 。 3 f i n a l y , w es t u d yt h en = 2s u p e r s y n n n e t r i ck o r t e w e g - d ev r i e s ( s k d v ) e q u a t i o n s w i t h i nt h ef r a m e w o r ko ft h eh i r o t ab i l n e a rm e t h o d 。w es u c c e e di no b t a i n i n gt h e i r b i l i n e a rf o r m s w ea l s oc o n s t r u c tt h es o l u t i o n sf o rb o t he q u a t i o n sa n df i n das i m p l e b 扯k l u n dt r a n s f o r m a t i o na n d l a xr e p r e s e n t a t i o nf o rt h es k d v le q u a t i o n 。i na d d i t i o n ， w ec o n s t r u c tt h e 毯l 速e 甜f o r mf o rt h e 纽f l o wo ft h es u p e r s y m m e t r i cc l a s s i c a lb o u s s i n e s q h i e r a r c h y k e y w o r d s ：b 菇c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n ，s u p e r s y m m e t r i cs e c o n dm k d ve q u a t i o n ， s o l i t o ns o l u t i o n ，b i l i n e a rf o r m ，s u p e r s y m m e t r i cc l a s s i c a lb o u s s i n e s qe q u a t i o n ，p a i u l e v d t e s t ，n = 2s u p e r s y m m e t r i ck d ve q u a t i o n ，l a xr e p r e s e n t a t i o n i i i 首都师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究 工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人 或集体己经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承 担 学位论文作者签名：弓缀盘霞 日期：口易年娟i o r 首都师范大学学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留 学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将 学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权 将学位论文的内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要汇 编出版保密的学位论文在解密后适用本规定 学位论文作者签名：弓饭血霞 日期：口 簪f 明，日 第一章引言 在非线性科学中，孤立子理论在自然科学的各个领域里都占据着非常重要的 角色f 1 ，2 1 。孤立子理论一方面在量子场论、经典场论、粒子物理、等离子体物理、 凝聚态物理、流体物理、超导物理和非线性光学等物理学的各个分支及数学、生 物学、化学等各自然科学领域得到了广泛的应用；另一方面，利用孤立子理论已 经成功地解释了物理上一些长期用经典理论未能得到解答的现象；此外，孤立波 还在光纤通讯中有重要应用，利用孤立波来改进信号传输系统，提高其传输率， 即在传输中使之具有不损失波形、不改变速度、保真度高、保密性好等优点。 早在1 8 3 4 年，英国著名科学家、造船工程师j o h ns c o t tr u s s e l lf 3 ，4 1 观察并 记录了孤立波现象。他认为这种孤立波是流体运动的一个稳定解，并称之为“孤 立波”。r u s s e l l 当时未能成功地证明并使物理学家信服他的论断。直到1 8 9 5 年， 荷兰数学家k o r t e w e g 和他的学生d ev r i e s 【5 】5 研究了浅水波的运动，得到了著名 的k d v 方程，并找到了其孤立波解，从而在理论上证实了孤立波的存在性。 然而，在k d v 方程被发现的相当长的时间里，k o r t e w e g 和d ev r i e s 的工作并 没有引起人们的足够重视。直到1 9 5 5 年，由于f e r m i ，p a s t a 和u l a m 【6 】6 的工作才 出现了新的局面。他们在计算机上进行了一维非谐晶格的实验研究。在实验中， 他们发现由于非线性效应的存在，并没有使得能量均分，而出现了几乎全部能量 又回到了原先的初始分布这种现象。但是这项结果由于只在频率空间来考察，未 能发现孤立波解。1 9 6 0 年，g a r d n e r 和m o r i k a w af 7 1 在研究磁流体波自由碰撞中 重新得到k d v 方程后，孤立子理论才逐步发展起来。 1 9 6 5 年美国著名科学家z a b u s k y 和i ( i r u s k a lf 8 】8 通过数值模拟k d v 方程详 细地考察和分析了等离子体中孤立波碰撞的非线性相互作用过程，得到了比较完 整和丰富的结果，并进一步证实了这类孤立波相互作用后不改变波形和速度的论 断。由于这种孤立波具有类似于粒子碰撞后不变的性质，他们命名这种孤立波为 孤立子。孤立子通常是指一大类非线性偏微分方程的许多具有特殊性质的解，以 及与之相应的物理现象。这些性质是：( 1 ) 能量比较集中于一个狭小的区域；( 2 ) 两个孤立子相互作用时出现弹性散射现象( 即波形和波速能恢复到原形状) 。可 以说，孤立子具备了粒子和波的许多性能，在自然界具有一定的普遍性。 随着对孤立子物理问题的深入研究，孤立子的数学理论也应运而生，并已 形成比较完整的理论体系。例如，傅立叶方法对数学物理中的很多线性问题都 非常有用，可以由它得出许多准确解。而求解非线性偏微分方程的难度大得多。 但孤立子理论却蕴藏着一系列制作精确解的方法，例如1 9 6 7 年g a r d n e r ，g r e e n e ， k r u s k a l 和m i r u a ( 简称g g k m 】发现的用薛定谔方程求解k d v 方程初值问题的 1 2博士论文：超对称方程的构造及其可积搜质的研究 反散射方法f 9 1 9 ，在一定程度上可以看成是非线性问题的傅立叶方法。这种求解 非线性偏微分方程的方法发展缀快，已经成功地用于求解许多在应用中十分重要 的非线性方程，它无疑是数学物理方法上的个重大发现。此外，还有b 融k l u n d 变换、d a r b o u x 变换、h i r o t a 方法、d r e s s i n g 方法、代数曲线方法以及利用李群 和微分流形建立超来的延拓结构法等一系捌求菲线性偏微分方罄精确辫的方法 1 0 1 1 8 1 。它们和经典分析、泛函分析、李群、李代数和无穷维代数、微分几何( 有 限维和无限维) 、代数几何、拓扑学、动力系统以及计算数学等数学分支的研究 紧密相关，榴互促进。 可积系统理论中的两个核心问题是：( 1 ) 给定一个非线性方程，判断它是否 可积，即求它的l a x 对；( 2 ) 找出尽可能多的可积系，亦即有意义的l a x 方程。阀 题( 1 j 的求解非常困难，迄今磁较成功的憝延拓结构法，需要做大量运算。问题 ( 2 ) 的求解同样很困难，这方面一个重要的方向就是以k a c - m o o d y 代数为工具， 系统地构造l a x 方程觞方法。这一研究方向是1 9 8 0 年前后发展起来的 1 9 1 2 0 1 。 主要有两项重要工作，广义k d v 方程理论及日本京都学派s a t o 和d a t e 等人发 展的r 函数方法f 2 1 1 2 3 1 。 r 函数方法起源予初等的h i r o t a 方法。h i r o t a 方法本身佟为一种求解菲线性 偏微分方程精确解的有效工具仍在发展之中，而且r 函数方法中得到的许多结 果也可以用h i r o t a 方法得到。相对于反散射方法而言，h i r o t a 方法是一种重要而 直接的方法，被称为蠢接方法。这种方法的优点在于，它是一种代数丽不是解析 的方法。h i r o t a 方法是1 9 7 1 年h i r o t af 2 4 】为了求出k d v 方程的多孤子解而发展 起来的，这种方法已从求k d v 方程、m k d v 方程1 2 踺、s i n e - g o d o n 方程 2 6 1 、非线 性薛定谔方程f 2 7 l 的n 孤子解而发展成一种求解一大批非线性偏微分方程孤子 解的相当普遍的方法。这种方法的关键是相关变量变换，变换之后的变量就称为 f 函数。把非线性方程化为双线链方程之羼，可通过微扰方法找捌双线性方程的 精确解。利用双线性算予恒等式我们还可以研究双线性方程的可积性质，例如用 这种方法可以得到双线性方程的b i i c k l u n d 变换、l a x 对和非线性叠加公式等。 h i r o t a 方法在菲线性可积系统的研究申扮演着缀重要的黛色。它不仅麓用来 研究普通的非线性演化方程的可积性质，而且还可以用来研究超对称系统的可积 性质。 超对称在非线性演化方程中的应用与在量子场论中的应用凡乎是丽时的 2 8 1 【3 1 1 。在场论中，超对称系统不仅是一个g r a s s m a n n 奇场而且是一个超不变的 h a m i l t o n i a n 系统或者是一个运动方程。逶俗地说，非线性演化方程的超对称化 扩展是关于玻色场和费米场的一个耦合系统，这个耦合系统在赞米场趋于零的极 限是普通的方程，而且在超对称变换下此系统是不变的。非线性演化方程的超对 第一零弓l 言 3 称化般有三种方法：代数法，几何法和直接法。1 9 8 4 年，k u p e r s h m i d t 【3 2 】构造 了超k d v 方程，这个方程在空闻超对称变换下是可变的，为了区别真花的超对 称k d v 方程，将这个方程称为k d v 方程的费米扩展。1 9 8 5 年，m a n i n 和r a d u l f 3 3 1 从超对称k p 方程的约化中褥到了超对称k d v 方程，并且得到了l a x 表示、 守恒律等可积性质。从茈，菲线性演纯方程麴超对称纯以及研究超对称系统的可 积性质引起了人们广泛的关注。 1 9 9 3 年，m c a r t h u r 和y u n gf 3 4 1 首次引入了超对称h i r o t a 导数的定义，用 h i r o t a 的双线性方法得到了超对称k d v 族中前瑟凡个低阶方程的双线性形式， 并且猜测了超对称k d v 族的双线性形式，从此用双线性方法来研究超对称可积 系统也开始发展起来了。2 0 0 0 年，c a r s t e a 3 5 重新定义了超对称h i r o t a 导数，利 用双线性方法褥到了超对称k d v 方程、超对称s a w a d a - k o t e r a - r a m a n i ( s k r ) 方 程和超对称s i n e - g o r d o n 方程的双线性形式，并且构造了超对称k d v 方程和超 对称s k r 方程的胃一孤子勰，然焉缝们得捌豹一孤子解在n 3 时有定的 约束条件。2 0 0 1 年，c a r s t e a ，r a m a n i 和g r a m m a t i c o sf 3 6 l 利用h i r o t a 双线性方 法，重新得到了超对称k d v 方程中前几个方程的双线性形式，并且构造了无约 束条件的超对称k d v 方程的3 - 孤予解。2 0 0 3 年，g h o s h _ 裙s a r m a 冷曩利用h i r o t a 双线性方法得到了超对称m k d v 方程以及超对称m k d vb 方程的双线性形式， 然而，他们得到的双线性形式有两个下函数丽要满足的方程有网个，这无形之中 就给r 函数强加了一些没有必要的约束条件，磊且德稍得到的孤子解和c a r s t e a 最初得到的孤子解一样有约束条件。2 0 0 5 年，刘青平，胡星标和张孟霞【3 8 1 利用 h i m t a 双线性方法，重新缛到了超对称m k d v 方程的双线性形式，并且构造了 它的无约束条件的n ( = l ，2 ，3 ) 孤子解、双线性b i i c k l u n d 变换以及l a x 表 示。2 0 0 5 年，刘青平和胡星标【3 9 】利用h i r o t a 方法构造了超对称k d v 方程的 b i c k l u n d 变换，并从b i c k l u n d 变换出发碍到了超对稼k d v 方穰耨的l a x 表示以 及菲线性叠加公式。 在本篇论文中，我们主要运用h i r o t a 的双线性方法寻找新的超对称可积系 以及研究超对称哥积系孵可积性质。论文的主要安排如下： 第二章，主要以可积系统中最著名也是最基本的k d v 方程、超对称k d v 方 程以及广义k d v 方程为例，简单介绍本文巾用到的h i r o t a 双线性方法、超对称 菲线性演化方程和p a i n l e v d 测试。 第三章，1 9 8 0 年，n a k a m u r a 和h i r o t a 从m k d v 方程的双线性b 戋c k h m d 变 换得到了s e c o n dm k d v 方程。本文中，我们把这种方法推广到超对称可积系统 的情形，从超对称m k d v 方程的双线性b i c k l u n d 变换出发构造了超对称s e c o n d m k d v 方程。此外，我们还得到了这个方程的多孤子解。 4 博士论文：超对称方程的构造及其可积性质的研究 第四章，我们从双线性形式出发构造了一个新的超对称经典b o u s s i n e s q 方程， 这个方程不同于b r u n e l l i 和d a s 从l a x 表示出发得到的超对称经典b o u s s i n e s q 方程。此外，我们证明了这个新的方程在p a i n l e v 6 意义下是可积的，并且给出了 它的1 一孤子解和2 一孤子解。 第五章，利用双线性方法，本文中将两个n = 2 的超对称k d v 方程双线性 化，得到了它们各自的双线性形式，由此构造了相应方程的解。对于o = 1 的超 对称k d v 方程，我们还考虑了它的b 如k l u n d 变换和l a x 表示。另外，我们进一 步构造了超对称经典b o u s s i n e s q 族t 4 流的双线性形式。 第六章，我们主要在已有的工作上来讨论一些问题以及对孤立子理论的若干 方面作一些展望。 第二章相关的基础知识 这一章简单介绍本文中用到的h i r o t a 双线性方法、超对称非线性演化方程 和p a i n l e v d 测试。为了便于说明，我们主要以可积系统中最著名也是最基本的 k d v 方程、超对称k d v 方程和广义k d v 方程为例。 2 1 h i r o t a 的双线性方法 首先，引进微分算子d - 算子的定义： 卵喇柚m 加呆暴岍叩刊6 ( t - s , x - 儿= o 渺 m ，n = 0 ，1 ，2 ，3 ，( 2 1 ) 2 1 1 k d v 方程的双线性形式 k d v 方程： 毗+ 6 t + 靠= 0 ，( 2 2 ) 令乜= 耽，代入上式并且将上式两边同时对z 积分一次，并取积分常数为零可 得： w t + 3 w 2 + t 嚣= 0 ， ( 2 3 ) 经过相关变量变换： u = t 如= 2 ( 1 0 9 ，) z z ， 方程( 2 3 ) 成为： | n | 一i z h + | z 一| 一4 | 。z l 暑七3 j = 0 ， 利用d 算子，可以将上式写成更紧凑的形式： ( 仇矶+ 噬) ，= 0 ( 2 4 ) 即k d v 方程的双线性形式【1 8 1 。 2 1 2k d v 方程的双线性b i c k l u n d 变换 b 萏c k l u n d 变换是联系一个非线性偏微分方程的解与另一个已知的非线性偏 微分方程解之间的关系或者是同一个非线性偏微分方程两个不同解之间的联系。 b i c k l u n d 变换可以用来构造多孤子解【如】【4 1 】，用来得到高阶守恒量【4 2 】以及建 立和反散射之间的关系【4 3 】- 【4 6 】。另外，从b i i c k l u n d 变换出发还可以得到新的具 5 6 博十论文：超对称方程的构造及其可积性质的研究 有孤子解的非线性演化方程【4 7 l 一【4 8 】。1 9 7 4 年，h i r o t a 引进了双线性微分方程 的b i i c k l u n d 变换f 4 9 1 。 考虑k d v - 型双线性方程 f ( d t ，眈，岛) ，= 0 构造其b i i c k l u n d 变换的一般思路是： 考虑方程 f ( d t ，仇，巩) ，7 ，】，2 一严 f ( d t ，d x ，仇) ，门= 0 ( 2 5 ) ( 2 6 ) 如果，是双线性方程( 2 5 ) 的解，7 是( 2 5 ) 的另一个解，那么从方程( 2 6 ) 导出 的联系，和，7 的方程就是双线性方程( 2 5 ) 的b 配k l u n d 变换。 在构造双线性b g c l d u n d 变换的过程中用到的双线性恒等式可以从如下的交 换公式得到， e x p ( d 1 ) e x p ( d 2a t , 1 【e z p ( d s ) c a l ：啪( d 2 - ，1 9 3 ) e x p ( d l + 半) 口d 1 e z p ( 一d 1 + _ ) 2 + 广d a 炒, b 1 其中皿( i = 1 ，2 ，3 ) 是d t ，见，巩的线性组合：功= a i d t + 屈仇+ 竹巩( 啦，展，3 是常数1 。 如果令d 1 = q 见，d 2 = d 3 = 仉，o = d ，b = c ，代入上式，按q 幂级数展开 并取a 1 的系数得： e 沈p ( f l d z ) 仇n a e x p ( f l d x ) 6 6 】一 e x p ( f l d x ) 8 a e x p ( f l d z ) 见6 b l = 玩 e x p ( p d xa 6 1 【e x p ( f l d z ) 6 a l ，( 2 7 ) 将上式按p 幂级数展开并取p 1 的系数得： 【d ：n a b 2 一n 2 【珑6 b l = 2 d z ( d a b ) b a ， 将相关变量变换玩_ 仇+ c d t 代入上式，并取e 1 的系数得： 【d z d t a a b 2 一a 2 d x d t b b l = 2 d z ( d t a b ) b a ，( 2 8 ) 将( 2 7 ) 按p 幂级数展开并取p 3 的系数得： ( 磋n a ) b - 一0 2 ( 磁6 6 ) = 2 d x ( 谚口6 ) b a + 3 ( 珑n 6 ) ( d x b a ) 】( 2 9 ) 第二颦相关的蒸磁知识 7 下面依照上面所叙述构造b 茜d d l l n d 变换的方法来构造双线性k d v 方程( 2 + 4 ) 的 b i i c k l u n d 变换。 定理l ：如果，是方程( 2 4 ) 的解，则满足 ( 魏+ 3 天玩+ 莲；，f = 0 ， ( 磋一肛仇一a ) ，= 0 麓，也是方程( 2 4 ) 的解，其中爻，弘为任意的常数 4 9 5 0 l 。 证明：构造函数： 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) p = 【( d 茹d t + 磋) ，朔f 2 一f 2 ( d x d t + 噬) 歹f i 如果p 三0 ，且，是方程( 2 4 ) 的解，则，也是( 2 4 ) 的解，因此，只需证明 p 三0 。 p 僻8 ：- 2 9 2 仇( d j ”f f + 2 d x ( d 2 x f ，) f f ，+ 3 ( d ：x f ，”( d x f ，) l = 2 d 善i ( d , + 磋) ，月f f + 6 d z ( d ：x f ，) ( 魏，) = 2 玩【慨+ 3 a 珑+ 磋) ，l ，+ 6 玩f ( 珑一j 【玩一a ) ，lt ( 眈，厂) ( 2 o 一- 3 1 1 ) 0 因此方程( 2 1 0 - 2 1 1 ) 就是k d v 方程( 2 2 ) 的双线性b 毛d d 眦d 变换。 2 。1 。3k d v 方程的a k 孤子解 下面利用h i r o t a 的微扰方法得到双线性k d v 方程( 2 4 ) 的一孤子解薛锄。 设 f = 1 + 矗乒杰矗+ f 2 1 2 ) 其中苎是任意常数。将上式代入方程( 2 4 ) 并且整理s 的同次幂，可以得到一系 歹| j 关于磊的方程，这时厶是很容易求解的，如果厶在第扎项之后可以中断， 则可以得到k d v 方程( 2 2 ) 的一孤子解。 整理同次幂得： 譬：玩( 玩十谚) ( 1 ，1 ) = 0 ， ( 2 1 3 ) ：2 d z ( d , + 磋) ( 1 如) = 一珑( 现+ 谚) 。，l ，( 2 1 4 ) ：2 d 嚣( o t + 磋) ( 1 矗= 一d z ( d , + 磋) ( 是辛如矗) ，2 1 5 ： 8 博士论文：超对称方程的擒造及其玎积性质睽研究 设： 矗= e r 1 ，r 1 = k l x + w l t + 嘏， 将上式代入( 2 1 3 ) 并计算可得： 甜l = 一是毛 因此可得： 矗= 扣一七 f + 嘏( 2 。1 6 ) 再将方程( 2 1 6 ) 代入( 2 1 4 ) 并计算可得： 2 d 霉( d t 小谚) ( 1 毙) = o ， 因此，可以取丘一0 ，易见当一( i 3 ) 的系数全恒为零时，厶，鲰，矗，必之3 ) 为零。 将以上结果代入( 2 1 2 ) ，并将吸收到秽的常数顼，由此可褥k d v 方程的 1 一孤子解为( 文中的孤子解都以r 函数表示) ： ，一1 + 毋，镰= k l x 一是参露) 下面我们来构造k d v 方程的2 一孤子解。 注意到方程( 2 1 3 ) 是线性敕，刘 = e m + e 搬，臻一向z 一砖t 十嘏( i l ，2 ) ，( 2 1 7 ) 也是方稷2 1 3 ) 的解。将上式代入方程( 2 1 4 得： 2 d 蛋( d t + 磋) ( 1 厶) 舄一2 d , ( d t + 磋) e ，1 e r a = 6 k l k 2 ( k l i n ) 2 e m + 密，( 2 1 8 ) 因此可以取： 应= 1 1 2 e r l + 搬，r i = 藏霪一番+ 囊( i l ，2 ) ， 将上式代入( 2 1 8 ) 得： ( 七l 一乜) 2 8 1 2 2 。( k l + k 一2 ) 2 毗 灰：黼矿啦一妒渊 仁 将以上结果代入( 2 1 5 ) 得： 2 d ( d t 谚) ( 王1 3 ) = 0 ， 第二孽相关的蒸硝知识 9 因此可以取 一0 ，易见当e i ( i 4 ) 的系数全恒为零时，厶( 4 ) 为零。 将滋上结果代入f 2 1 2 ) ，并将s 吸收到8 壤的常数项，由此霹得k d v 方程的 2 - 孤予解为 ，= 1 + e m + 护+ a 1 2 e r h + 嗽， 其中臻= z 一砖害+ 霹。拦l ，2 ) ， a 1 2 = 槲 对于多孤子解也可以用上述方法来构造，但是比较麻烦。一般情况下，可以 根据1 孤子解和2 一孤詈解的形式，猜测孤子髂的表达式，然后再证明猜测 的一孤子解是正确的。 2 。2 超对称方程 超对称的概念最早是由理论物理学家为了建立统场论而提出的，受此启发 数学家发震了超分析、超几何以及超代数。由于可积系统有着广泛的物理应用， 所以研究它们的超对称化，即超对称可积系统是很有意义的，而且已经有许多著 名的可积方程被超对称化，如：k d v 方程【3 3 5 1 1 ，m k d v 方程【5 1 1 3 5 ，s i n e - g o r d o n 方程 5 2 1 1 5 3 l 以及经典b o u s s i n e s q 方程( 或称为t w o - b o s o n 方程) l 碉等。超对称 化的方法一般有代数法，几何法和直接法，我们以k d v 方程为例介绍直接法。 首先介绍一些基本概念和性质： 超对称是两大类不同自旋、不同统计性质的粒予一玻色予和费米予的统一， 也就是将物质场的费米予和相互作用场的玻色子统一起来，同时，它并不是简单 的一个玻色场和一个费米场的结合，它必须满足在超对称变换下薪的系统是不变 的这个条件。另外自然要求超对称化后方程在费米场取零极限时成为原来的方 程。定义在由时空坐标和反对称变量坐标所组成的超空间上的场称为超场。由于 菲线性演化方程对对闻变量的超对称扩张是平凡的，因此这里只考虑空阀超对称 系统。在数学上一般将经典时空z ) 扩展成一个超时空( 毒，z ，秽) ，这里黟是一 个费米变量( 秽2 = 0 ) 。为了后面计算简洁起见暂且可以忽略时间变量t ，用超场 圣( 霸拶) 来代替酱遥场嚣( 髫) 。由于萨= 0 ，利用泰勒震牙可以褥到超场如下的表 达式： 圣( z ，一) = = f ( z ) + 疗t l ( z ) 其中毒扛) 和u ( z ) 称为分量场，毒( z ) 称为垂( z ) 的超部分且毒( 2 ) 是反对称场 ( f ( z ) 2 = o ) 。 1 0 博士论文：超对稼方程憋构造及箕霹积性覆的研究 另外，我f f q i 进超导数p = 口文十岛。由予 萨圣( z ，毋) 嚣( 秽如十a o ) ( e a 善十a o ) c ( x ) 十p 让( z ) ) = ( 秽如十岛) ( ( 嚣) + 钍( z ) ) = 鑫( 2 ) + 移魄扛) = 魄 ( 嚣) - i - e u ( x ) ) = 磊圣和，妨 所以超导数可以看作是普通空f , j - 导数的平方根：萨= a 。 在超对称空阁里的对称变换称为超对称变换，霹： 占： 0 $ - _ - + o z + 一r 棚， 这里卵是一个无穷小反对称参数。则超场圣( z ，0 ) 在这个变换下为 圣茹，珍) 一蚤( z 一妒，黟- 4 - r ) = m 仕，0 ) 一叩一圣霉扛，口) 十叼雪p 扛， = 毒( z ) + 勉( 髫) 一驴慨( 彩+ 毋魄( 耄) ) + 弘( 妨 = 毒( z ) + 7 t ( ) + 秽( t l ( o ) + ，压( z ) ) ， 写成分量的形式，超对称变换相当于： ! 醒( z ) + 删( ( 2 2 0 ) i6 也( z ) 一t i ( z ) + ，赡( z ) 下面我们简要介绍k d v 方程的超对称化 5 l l 。 综上所述，要得到k d v 方程( 2 2 ) 的非平凡超对称扩张，只需考虑在超对称 变换下不变的空闻超对称扩张即可。首先将势蘸数锃扩张成一个超场。这里有两 种可能的方式： ( 1 ) 扩张成一个费米超场 u ( x ) + 垂( 茁，p ) = f ( z ) 十p u ( z ) ， 其中专。) 描述反对称场，即2 0 。 ( 2 ) 扩张成一个玻色超场 u ( x ) ，u ( x ，移) = 牡f 茗) 专参天( ) ， 第二耄粳关的蒸础j 霹识 其中x ( x ) 描述反对称场，即a 2 = 0 对于第一神情况，将k d v 方程2 。2 ) 的每一项乘以0 ，用超场对应出来就是 t t _ 电 嚣锄_ ( 诊圣) 圣霉，钟( 9 蛋零) 量 “霉喾蕾斗 西j 口霉 壹予簿线性项蠹接扩张成超场的形式不唯一，它是所有可熊对癍顼的线性组合， 因此非线性项6 伽k 超对称化后对应于： 8 f 移司嗡) 圣+ 刍( 秽蛰) 日咚，f 2 2 1 ) 而且上式在费米场善( z ) 趋于零时趋向于6 0 u u = ，由此得： a + b = 6 。 因此，k d v 方程( 2 2 ) 做形式上的超扩张后为 哦+ 粘+ 口( 诊虬) 圣+ ( 6 一n ) ( d 圣) 量= 0 ( 2 2 2 ) 它的分量形式隽 l魄+ 牡燃一n f 一6 “锄一0 【+ 已十m b + ( 6 一n ) t l l 岛一0 经验证上述系统在超对称变换f 2 2 0 ) t 是不变的，嚣l 逝称2 2 2 ) 戈超对称 k d v 方程。m a t h i e u 【5 1 1 已经证明了只有当a = o ，3 时，系统( 2 2 2 ) 才是可积 的，口= 0 时是平凡的超对称扩张。 对于第二种情况，类似昀通遗宣接扩张可戮得到k d v 方程2 2 ) 的超对称形 式 矾6 u u + 玩粘= 0 ，2 。2 3 ) 它的分量形式为 魂+ 6 u u x + 慨20 ， 扎+ a 删十6 u a 2 + 6 u z a = 0 由此谣见2 2 3 是一个平尺的超对称扩张。 1 2博士论文：越对称方程的擒造及冀冒熬性震酶研究 2 3 p a i n l e v d 测试 1 8 8 9 年，k o w a l e v s k if 5 5 l 研究了微分方程的可积性与它的解的奇性结构之间 的关系。之后，在1 9 0 0 年，p a i n l e v d 【5 6 】根据常微分方程( o d e ) 解的奇性结构将 常微分方程分类，丽置认势：如果一个常微分方程豹所有活动性奇点都是单值的， 即仅有简单极点，则称此方程具有p a i n l e v d 性质。对予任意一个变量为y ( z ) 的 常微分方程，如果它具有p a i n l e v 6 性质，那么它的解一定可以表示成在活动性奇 点z = z 0 附近的局部罗朝展开，即 如何判断一个常微分方程具有p a i n l e v d 性质，可以通过p a i n l e v do d e 测试，具体 步骤为：薹) 。确定所有可能黔主项平衡，郄形式为爹一匈( z 一强矽的所有奇点；2 ) 。 如果所有指数弘是整数，则进一步寻找共振点( 任意常数出现的点) ；( 3 ) 如果所 有的共振点是整数，则检验共振条件是否满足( 共振点处是否是任意常数) 。如果 上述三步都满足，则意味着p a i n l e v d 测试透过。这里需要指出的是，透过p a i n l e v 吾 测试只是方程具有p a i n l e v d 性质的一个必要条件。 上述常微分方程的p a i n l e v d 性质和偏微分方程有什么关系呢? 在上个世纪 七十年代，人们发现一些p a i n l e v d 型的常微分方程可以看成是一些可瑷通过反 散射方法求解的偏微分方程的对称约化。在此基础上，a b l o w i z ，r a m a n i 和s e g u r 晦7 给出了所谓的“a b s ”猜想：对予一个给定的偏微分方程，用相似变换得裂 的所有常微分方程如果具有p a i n l e v d 性质，则这个偏微分方程将是“可积的”。 事实上，我们需要将偏微分方程约化为常微分方程，然后利用p a i n l e v do d e 测 试判甑约优得裂的常微分方程是否具有p m n l e v 爸性质。然恧，对手编微分方程 的相似约化虽然有一套系统的方法脚，5 9 ，6 0 1 ，但这种方法不能给出某些偏微 分方程的所有可能的相似约化，如b o u s s i n e s q 方程 6 1 1 ，因此无法完成a r s 猜 想。1 9 8 3 年，w e i s s ，t a b o r 翱g a r n e v a l ef w t c ) 6 2 1 提出了p a i n l e v dp d e 测试方 法，即直接对偏微分方程进行p a i n l e v d 测试，而无需对偏微分方程进行相似约化 然后再测试。这里有必要定义和常微分方程对应的偏微分方程的p a i n l e v d 性质 6 2 1 ：如采一个偏微分方程的解关于活动的奇性流形是“单值的 ，则称它具有 p a i n l e v d 性质。w t c 的p a i n l e v dp d e 测试的步骤和p a i n l e v do d e 测试的具体步 骤基本类似。设有奇性流形 圣( z l ，施，z n ) 一0 ，( 2 2 4 ) p + y诒 一 z 鬈 触 = 箩 第二掌摆关的纂硝知识1 3 珏= “( 名l ，z 2 ，z n ) 为偏微分方程的个解，则当缸具有形式 o o u ( z x ，忽，) = 妒吩妒 ( 2 2 5 ) j = o ( 氅一u ，( z l ，z 2 ，z n ) 是在流形( 2 2 4 附近关于z l ，z 2 ，z n ) 的解析函数) 且通过 类似于p a i n l e v 6o d e 测试的三个步骤，则称此偏微分方程通过p a i n l e v 6p d e 测 试。 下面我们戳广义k d v 方程 u t + 6 u u 嚣+ 锄嬲十n ( t ) t = 0 ( 2 2 6 ) 为铡说明p a i n l e v 6p d e 测试的具体步骤。将u ( x ，母按奇牲流形扛，t ) = 0 展开， 即 链髫，o = 多呻k ) 嘭扛，砖( 留，) ， j - - o 为了简化计算，下面我们用k r u s k a l 的简化方法，令蚴( 奶t ) 只是t 的函数，且 ( 嚣，t ) = 善+ 妒( 莳( 2 2 7 ) 第一步：领头项分析： 逶过领头项分析主要确定p 以及u 0 的值，以便确定奇性的类型。先确定指 数p ，由于 缸铷坤，一弘韬一扩1 ，越霉瓣- p ( 一p 一羔一p 一2 ) u o - p 一3 。 由主项平衡得： 6 9 ( 一) 一一1 一p 一p 1 ) 一2 ) t 轮多一p 一3 ， 因此可得： p 一2 ，u 0 一- 2 ，链茹琊( ) 。 ( 2 2 8 ) j - - o 第二步：共振点的决定： 将( 2 2 7 ) 以及( 2 。2 8 ) 的最后一个式子代入方程f 2 2 6 ) 得： ( 吻，t 一2 + a 一2 ) 螂概一3 ) 十6 ( 一2 ) ( o 一2 ) 坳- 3 ) j = oj = oj = 0 a 口 + u - 2 ) 0 3 ) o 一4 ) 蚴一5 + n ( t ) 蚴一2 = 0 j = 0j = o 1 4 博圭论文：越对称方露酶构透及其萄稷性震鹃研究 确定吩的递推关系，可以从上式中一5 的系数得到，即有： j 3 ，t + ( j - 4 ) u j 一2 妒t + 6 ( 七一2 ) u 奄呦一k + ( j - 2 ) ( j - 3 ) ( j - - 4 )