高中数学 2.1.1合情推理课件 新人教A版选修22.ppt

2 1 1合情推理 研题型学方法 题型一数 式中的归纳推理 规律方法 进行数 式中的归纳推理的一般规律 1 已知等式或不等式进行归纳推理的方法 要特别注意所给几个等式 或不等式 中项数和次数等方面的变化规律 要特别注意所给几个等式 或不等式 中结构形式的特征 提炼出等式 或不等式 的综合特点 运用归纳推理得出一般结论 2 数列中的归纳推理在数列问题中 常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和 通过已知条件求出数列的前几项或前n项和 根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解 运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式 题型二几何中的归纳推理 根据下图中线段的排列规则 试猜想第8个图形中线段的条数为 解析 分别求出前4个图形中线段的数目 并加以归纳 发现规律 得出猜想 图形 中线段的条数分别为1 5 13 29 因为1 4 3 22 3 5 8 3 23 3 13 16 3 24 3 29 32 3 25 3 因此可以猜想第8个图形中线段的条数应为28 1 3 509 答案 509 规律方法 图形中归纳推理的特点及思路 1 从图形的数量规律入手 找到数值变化与数量的关系 2 从图形的结构变化规律入手 找到图形的结构每发生一次变化后 与上一次比较 数值发生了怎样的变化 题型三类比推理 已知等差数列 an 的公差为d 前n项和sn有如下性质 1 通项公式an am n m d 2 若m n p q 则am an ap aq m n p q n 3 若m n 2p m n p n 则am an 2ap 4 sn s2n sn s3n s2n构成等差数列 类比上述性质 在等比数列 bn 中 写出相类似的性质 分析 事物的各个性质间不是孤立的 而是相互联系 相互制约的 等差数列与等比数列之间有着很多类似的性质 利用类比可得等比数列的性质 解析 在等比数列 bn 中 公比为q 前n项和sn 1 通项公式bn bm qn m 2 若m n p q 则bm bn bp bq m n p q n 3 若m n 2p m n p n 则am an a 4 sn s2n sn s3n s2n构成等比数列 规律方法 类比推理的一般步骤 1 找相似 找出两类对象可以确切表达的相似特征 2 提猜想 用一类对象的已知特征 去推测另一类对象的特征 从而得到一个猜想 3 验结论 检验这个猜想是否正确 题型四合情推理的应用 设f n n2 n 41 n n 计算f 1 f 2 f 3 f 10 的值 同时作出归纳推理 并判断是否对所有n n 都成立 分析 求出f 1 f 2 f 3 f 10 的值后寻找它们的共同特征 解析 f 1 12 1 41 43 f 2 22 2 41 47 f 3 32 3 41 53 f 4 42 4 41 61 f 5 52 5 41 71 f 6 62 6 41 83 f 7 72 7 41 97 f 8 82 8 41 113 f 9 92 9 41 131 f 10 102 10 41 151 从中知f 1 f 2 f 3 f 10 的值都为质数 所以归纳得出猜想 f n n2 n 41的值为质数 因为f 40 402 40 41 41 41为合数 所以猜想f n n2 n 41的值为质数是错误的 规律方法 归纳推理和类比推理的共同点 可见 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实 经过观察 分析 比较 联想 再进行归纳 推理 类比 然后提出猜想的推理 我们把它们统称为合情推理 通俗地说 合情推理是指 合乎情理 的推理 变式训练4 观察下列等式 1 1 2 1 2 1 2 2 22 1 3 3 1 3 2 3 3 23 1 3 5 照此规律 第n个等式可为 解析 从给出的规律可看出 左边的连乘式中 连乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一致 其中左边连乘式中第二个加数从1开始 逐项加1递增 右边连乘式中从第二个乘数开始 组成以1为首项 2为公差的等差数列 项数与第几等式保持一致 则照此规律 第n个等式可为 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 答案 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 析疑难提能力 类比不当致误 典例 如图所示 在 abc中 射影定理可表示为a b cosc c cosb 其中a b c分别为角a b c的对边 类比上述定理 写出对空间四面体性质的猜想 解析 如右图所示 在四面体pabc中 设s1 s2 s3 s分别表示 pab pbc pca abc的面积 依次表示面pab 面pbc 面pca与底面abc所成二面角的大小 我们猜想射影定理类比推理到三维空间 其表现形式应为s s1 cos s2 cos s3 cos 易错剖析 三角形中的内角类比到空间中可以是线