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三角函数复习资料一、终边相同的角：1、角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。2、与角终边相同的角的集合：与角终边在同一条直线上的角的集合： ；与角终边关于轴对称的角的集合： ；与角终边关于轴对称的角的集合： ；与角终边关于轴对称的角的集合： ；一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合： ；终边在一、三象限的平分线上角的集合： ；终边在二、四象限的平分线上角的集合： ；终边在四个象限的平分线上角的集合： ；3、象限角：第一象限角： ；第三象限角： ；第一、三象限角： ；4、正确理解角：“间的角”= ； “第一象限的角”= ；“锐角”= ； “小于的角”= ；例1、已知0360，且角的7倍角的终边和角终边重合，求.例2、已知集合a=第一象限角，b=锐角，c=小于90的角，下列四个命题：a=b=c ac ca ac=b,其中正确的命题个数为 ； 例3、若角是第三象限角，则角的终边在 ，2角的终边在 .二、弧度制1、弧度与角度的互化： 2、弧长公式： ；扇形面积公式： ；例1、圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的 倍.例2、已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？三、任意角的三角函数：1、任意角的三角函数定义：以角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴建立直角坐标系，角的终边与单位圆的交点为，则 ； ； 定义拓展：在角的终边上任取一个异于原点的点，点到原点的距离记为，则 ； ； ；2、各象限角的各种三角函数值正负符号：一全二正弦,三切四余弦 例1、角的终边上一点，则 。例2、试写出所有终边在直线上的角的集合并指出上述集合中-18001800之间的角.例3、sin2cos3tan4的值 （ ） (a)大于0(b)小于0 (c)等于0 (d)不确定例4、在abc中,若cosacosbcosc0，则abc是（ ）(a)锐角三角形 (b)直角三角形 (c)钝角三角形 (d)锐角或钝角三角形例5、若sincos0, 则是第 象限的角;2、在单位圆中画出角的正弦线、余弦线、正切线；xyoaxyoaxyoayoa例6、比较，的大小关系： 。四、同角三角函数的关系与诱导公式：1、同角三角函数的关系：平方关系是 商式关系是 例1、已知sincos=,且，则cossin的值为 例2、已知=,则tan的值是 例3、若tan=,则sincos的值例4、若是三角形的一个内角，且sin+cos=,则为例5、已知tan=2,则2sin23sincos2cos2= ;例6、设是第二象限角,则=例7、化简(为第四象限角）= ;例8、sinx= ,cosx=,x(,),求tanx例9、已知关于的方程的两根为和：（1）求的值； （2）求的值2、诱导公式： ： ， ， ；： ， ， ；： ， ， ；： ， ， ；： ， ， ；： ， ， ；： ， ， ；： ， ， ；： ， ， ；诱导公式可用概括为： ， 。例10、已知sin(+)=,且是第四象限角，则cos(2)的值是例11、= . 化简= .例12、sin2(x)+sin2(+x)= .例13、是否存在角、，(-,)，(0,)，使等式sin(3-)=cos(-), cos (-)=cos(+)同时成立？若存在，求出、的值;若不存在，请说明理由.五、三角恒等变形1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ； ； ； ； （变形：）； （变形：）2、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ；（变形： ； ） = = （变形：，）；3、辅助角公式：，其中例1、化简：=例2、已知tan，tan是方程两根，且，则+等于( )(a) (b)或 (c)或 (d)例3、 ( ) 例4、求下列各式的值： ; tan17+tan28+tan17tan28例5、 已知锐角a,b满足cosa=,cos(a+b)=,求cosb.例6、已知，（1）求的值；（2）求的值例7、 已知,且sin(+)=,cos=-.求sin.六、三角函数的图象和性质1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：函数性质 图象定义域值域最值当 时，；当时，当时， ；当时，既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数在上是增函数；在上是减函数在上是增函数对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴2、三角函数的图像变换(1)先相位后周期：函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象(2)先周期后相位：函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象3、函数的性质：振幅：；周期：；频率：；相位：； 初相：例1、 对于函数y=sin(-x），下面说法中正确的是 ( )(a) 函数是周期为的奇函数 (b) 函数是周期为的偶函数(c) 函数是周期为2的奇函数 (d) 函数是周期为2的偶函数例2、函数值sin1,sin2,sin3,sin4的大小顺序是 例3、函数y=2cosx(0x2)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是（ ） (a) 4 (b)8 (c)2 (d)4例4、.函数y=cosx的图象向左平移个单位，横坐标缩小到原来的，纵坐标扩大到原来的3倍，所得的函数图象解析式为 ( ) (a) y=3cos(x+) (b) y=3cos(2x+) (c) y=3cos(2x+) (d) y=cos(x+)例5、要得到函数的图像。可以先把它变成( ) 然后由的图像先向 平移 个单位，再把各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 倍，最后把各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍, 就可以得到的图像.例6、函数部分图象如图所示，则函数为（ ）a bc d例7、已知f(x)=5sinxcosx-cos2x+（xr）求f(x)的最小正周期；求f(x)单调区间；求f(x)图象的对称轴，对称中心。例8、已知函数f(x)=cos+2sinsin.(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;(2)求函数f(x)在区间上的值域.三角函数分类练习三角函数定义与同角函数基本关系1若是第二象限的角，且，则（ ）a b c d 2、已知,且是第四象限的角,则 ( )a . b. c. d.设集合3.已知，则 。4. 已知=2，求 （i）的值； （ii）的值5（2007年湖南高考数学）三角函数的图像与解析式1. 函数（xr，0，02的部分图象如图，则 a, b,c， d,2、已知函数的图像关于直线对称，则的值是3、将函数的图像向右平移个单位,再向上平移2个单位所得图像对应的函数解析式是( ) 4.（北京卷）函数y=1+cosx的图象 （a）关于x轴对称（b）关于y轴对称 （c）关于原点对称（d）关于直线x=对称5.（安徽卷8）函数图像的对称轴方程可能是（ ）abcd6.如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数，试求这段曲线的函数解析式.诱导公式1、求值：2.（陕西卷1）等于abcd三角函数性质1、函数的值域是 2.函数的最小正周期为（）3函数的最小正周期是（） 4.函数ysin2xcos2x的最小正周期是（a）2 （b）4 （c） （d）5.函数的最小正周期是_。7.函数f(x)sin x +sin(+x)的最大值是 7.已知函数，则的最小正周期是 8.函数的最大值为（ ）a1 b c d29.已知函数.(i)求的最小正周期；(ii)求的的最大值和最小值；(iii)若，求的值.10.（辽宁卷）已知函数，.求:(i) 函数的最大值及取得最大值的自变量的集合；(ii) 函数的单调增区间.和差公式1、已知，求的值2.已知(,)，sin=,则tan()等于a. b.7 c. d.73. cos43cos77+sin43cos167的值为 4.已知，sin()= sin则cos=_.三角函数解答题强化训练： 1、已知， （）求的值；（）求的值2、已知，函数.()求函数的单调增区间；;()若, 求的值.3已知向量, , .（）求的值; （）若, , 且, 求.4在abc中，角a、b、c所对边分别为a，b，c，已知，且最长边的边长为l.求：（i）角c的大小；（ii）abc最短边的长.5、设函数的部分图象如右图所示。（）求f (x)的表达式；（）若，求tanx的值。 6、设函数，其中向量（1） 若函数（2） 若函数的图象按向量平移后得到函数的图象，求实数m及n的值。7、(本小题满分12分)已知函数（i）求函数的最小正周期和单调递减区间; （ii）求函数取得最大值的所有组成的集合.8已知函数 （i）求函数的最小正周期； （ii）求函数的单调递减区间； （iii）若9已知函数（1）当有实数解时，求的取值范围；（2）当时，总成立，求的取值范围10在abc中，角a、b、c的对边分别为a、b、c.已知a+b=5，c=，且 （1）求角c的大小； （2）求abc的面积.11、在中，是三角形的三内角，a，b，是三内角对应的三边长，已知（）求角的大小；（）若，求角的大小.12在abc中，已知角a、b、c所对的三条边分别是a、b、c，且 （）求证：； （）求函数的值域。13、在中，角、的对边分别为、，,。（1）求角的大小； （2）求的面积。三角函数分类练习（答案）三角函数定义与同角函数基本关系1若是第二象限的角，且，则（ d ）a b c d 2、已知,且是第四象限的角,则 ( b )a . b. c. d.设集合3.已知，则 。解：由，cosa，所以24.已知=2，求 （i）的值； （ii）的值解：（i） tan=2, ;所以=；（ii）由(i), tan=, 所以=.5（2004年湖南高考数学）解：由于是三角函数的图像与解析式1. 函数（xr，0，02的部分图象如图，则 b a, b,c， d,2、已知函数的图像关于直线对称，则的值是2答案1解：依设有f()=f(+)，令=，得f(0)=f()，k=1，k=13、将函数的图像向右平移个单位,再向上平移2个单位所得图像对应的函数解析式是( ) b4.函数y=1+cosx的图象 （a）关于x轴对称（b）关于y轴对称 （c）关于原点对称（d）关于直线x=对称解：函数y=1+cos是偶函数，故选b5.（函数图像的对称轴方程可能是（ d ）abcd诱导公式1、求值：（ ）1答案b 解：原式=sin(2+)=sin=2. 等于（b）abcd三角函数性质1、函数的值域是 解：y=sinx+1sin2x=(sinx)2+， sinx1，1，sinx=时，ymax=，又sinx=1时，ymin=1 值域为1，2.函数的最小正周期为（）解：t，故选b3.函数的最小正周期是（） 解：，选d 4.函数ysin2xcos2x的最小正周期是（a）2 （b）4 （c） （d）解析: 所以最小正周期为,故选d5.(上海卷)函数的最小正周期是_。解：函数=sin2x，它的最小正周期是。6.函数f(x)sin x +sin(+x)的最大值是 27.已知函数，则的最小正周期是 8.函数的最大值为（ b ）a1 b c d29.已知函数.(i)求的最小正周期；(ii)求的的最大值和最小值；(iii)若，求的值.解：（）的最小正周期为;（）的最大值为和最小值；（）因为，即,即 10.已知函数，.求:(i) 函数的最大值及取得最大值的自变量的集合；(ii) 函数的单调增区间.【解析】(i) 当,即时, 取得最大值.函数的取得最大值的自变量的集合为.(ii)解: 由题意得: 即: 因此函数的单调增区间为和差公式1、(13分)已知，求的值1解：(，) sin=，2分 tan=， 4分 tan()= tan=， 6分tan2=，9分tan(2)=13分2.已知(,)，sin=,则tan()等于a. b.7 c. d.7解：由则，=，选a.3.(陕西卷)cos43cos77+sin43cos167的值为 解析：cos43cos77+sin43cos167=4.已知，sin()= sin则cos=_.解： ， ，则=三角函数解答题强化训练（参考答案）： 1、已知， （）求的值；（）求的值1、解：法一：由得：2分6分8分 12分法二：由得2分6分8分9分10分12分2、已知，函数.()求函数的单调增区间；;()若, 求的值.2、解(): 2分. 由 得 增函数()由()知,即, 。3已知向量, , .（）求的值; （）若, , 且, 求.3、解：（）, , . 1分, , 3分即 , . 6分（）, 7分, 9分, , 10分 . 12分4（本小题满分12分）在abc中，角a、b、c所对边分别为a，b，c，已知，且最长边的边长为l.求：（i）角c的大小；（ii）abc最短边的长.4解：（i）tanctan（ab）tan（ab） ， 5分（ii）0tanbtana，a、b均为锐角, 则ba，又c为钝角，最短边为b，最长边长为c7分由，解得9分由，12分5、设函数的部分图象如右图所示。（）求f (x)的表达式；（）若，求tanx的值。5、解：（）设周期为t 所以 （） 6、设函数，其中向量（3） 若函数（4） 若函数的图象按向量平移后得到函数的图象，求实数m及n的值。6、解：（1） （2）的图象按向量平移后得到的图象 7、(本小题满分12分)已知函数（i）求函数的最小正周期和单调递减区间; （ii）求函数取得最大值的所有组成的集合.7解：1分 3分 5分(1)函数的最小正周期7分由得 f(x)的单调递减区间为（kz）9分(2) 当取最大值时，此时有 即 所求x的集合为 12分8（本