图象变换.doc

函数图象与变换一、明确复习目标1、理解函数图象的意义，掌握两种画图方法描点法和图象变换法；2、会利用函数图象，进一步研究函数的性质、方程、不等式中的问题；3、理解图象变换与函数式变换之间的关系，领会知识间的联系。二建构知识网络1、函数y=f(x)的图象是由坐标为(x,f(x)的点构成的;要证明点(a,b)在函数y=f(x)的图象上,只须证明b=f(a);2、画图象的方法描点法和图象变换法要掌握这两种方法；由函数解析式，用描点法作图象应化简解析式;分析函数的性质如：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等，选算对应值，列表描点；3、要理解图象变换与函数式的变换之间的关系，常见的图象变换有：平移、伸缩、对称、旋转等(1)平移变换函数y=f(x+a)(a0)的图象把函数y=f(x)的图象向左(a0)或向右(a0)平移|a|；函数y=f(x)+b(b0)的图象把函数y=f(x)的图象向上(b0)或向下(b0)平移|b|函数y=f(x+a)+b(b0)的图象呢？函数y=f(x)的图象按向量=(h,k)平移后得函数y=f(x-h)+k (2)伸缩变换函数y=Af(x)(A0，A1)的图象把函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)成原来的A倍； 函数y=f(x)(0，1)的图象把函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长（01）为原来的1/；说出y=Asin(x+)与y=sinx之间的关系(3)对称变换函数y=f(-x)的图象与y=f(x)的图象关于y轴对称（即把（x,y）换成（-x,y）；函数y=-f(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称；(即把（x,y）换成（x,-y）函数y=-f(-x)的图象与y=f(x)的图象关于原点对称(即把（x,y）换成（-x,-y）；函数y=f -1(x)的图象与y=f(x)的图象关于直线y=x对称；函数y=f(|x|)的图象把y=f(x)在y轴右方的图象换成y轴左边的对称图形即可；函数y=|f(x)|的图象把y=f(x)的图象在x轴下方的翻折到x轴上方而得到4、奇偶函数图象的对称性，互为反函数的图象的对称关系；5、若f(x)满足f(a+x)=f(bx)则f(x)的图象以为对称轴;特例：若f(a+x)=f(ax)则f(x)的图象关于x=a对称。6、若f(x)满足f(a+x)=-f(bx)则f(x)的图象以为对称中心;特例：若f(a+x)=-f(ax)则f(x)的图象以点（a,0）为对称中心。7、若f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c则f(x)的图象关于点中心对称。证明：设P（x,y）是图象上任一点，则y=f(x)；由中点公式得 P关于点对称的点为Q(a+b-x,c-y).设t=b-x即x=b-t代入f(a+x)+f(b-x)=c得f(t)=c-f(a+b-t)即f(a+b-x) =c- f(x)=c-y,即Q在图象上。所以f(x)的图象象关于点中心对称。特例：若f(a+x)+f(ax)=2c则f(x)的图象以点（a,c）为对称中心.8、函数y=f(a+x)与 y=f(b-x)的图象关于直线对称。证明：略特例：函数y=f(a+x)与 y=f(a-x)的图象关于直线x=0对称。三、双基题目练练手1、若把函数y=f(x)的图像作平移，可以使图像上的点P(1，0)变换成点Q(2，2)，则函数y=f (x)的图像经此变换后所得图像对应的函数为 ( )A.y=f(x-1)+2 B.y=f(x-1)-2C.y=f(x+1)+2 D.y=f(x+1)-22、 函数y=f(x)的反函数y=f -1(x)的图象与y轴交于点P(0,2)(如图所示)，则方程f(x)=0的根是x= ( )A. 4 B. 3 C. 2 D. 13、设函数y=f(x)的定义域为，则函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象关系为 ( )、直线y=0对称 、直线x=0对称、直线y=1对称 、直线x=1对称 4、函数的图象，可由的图象经过下述变换得到（ ） A向左平移6个单位 B向右平移6个单位 C向左平移3个单位 D向右平移3个单位5、方程（a0且a1）实数解的个数是 6、方程f(x,y)=0的曲线过点（2，4），则方程f(2x,y)=0的曲线必过点 简答:1-4、ACDD； 5、1； 6、（0，4）2、f -1(x)交y轴于点(0,2),则f(x)交x轴于点(2,0),4、由可知（或由换元法，6、即把(x,y)换成(2-x,y)；图象关于x=1对称；或2-x=2,y=0。例题做一做【例1】图是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象.（1）试说明图上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义.（2）由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图所示.你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？（3）图、图中的票价是多少元？图中的票价是多少元？票价在图中的几何意义是什么?解：（1）点A表示无人乘车时收入差额为20元，点B表示有10人乘车时收入差额为0元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示赢利.（2）图的建议是降低成本，票价不变，图的建议是增加票价.（3）图中的票价是2元.图中的票价是4元. 票价在图中的几何意义是直线的斜率.知识.感悟：图象的意义和函数式中系数（斜率、截距）的实际意义。【例2】（1）若方程有两个不同的实数根，求实数m的范围。 _O_y_x_-_1_2（2）求不等式的解；解：（1）方程的根就是函数和的图象交点的横坐标，当在如图两直线之间时有两交点。由由（2）解方程得，结合图形知，不等式的解集为点评：利用函数图象的交点研究方程的根、不等式的解；这是数形结合的典范，要能熟练运用。【例3】已知函数（1）证明函数y=f(x)的图象关于点（1/2,1/2）对称（2）求f(-2)+ f(-1)+ f(0)+ f(1)+ f(2)+ f(3)的值 证明（1）设是图象上任一点，则又P关于点（1/2,1/2）对称点为Q（1-x,1-y）所以，函数y=f(x)的图象关于点（1/2,1/2）对称；（2）由对称性知f(1-x)+f(x)=1,所以f(-2)+ f(-1)+ f(0)+ f(1)+ f(2)+ f(3)=3。归纳方法：（1）会求对称点的坐标; ：证对称性就是证图象上任一点（x,y）关于“xx“对称的点仍在图象上；（2）注意解析式的变换运用和既得结论的应用。【例4】给定实数a，a0且a1，设函数y (其中xR且x)，证明：.经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴； .这个函数的图像关于直线yx成轴对称图像。【证明】 设是函数图像上任意两个不同的点，则,假设直线平行于x轴，则必有，即，整理得 a1， 这与已知“a1”矛盾， 因此假设不对，即直线不平行于x轴。 由y得axyyx1,即(ay1)xy1,所以x，即原函数y的反函数为y，图像一致。由互为反函数的两个图像关于直线yx对称可以得到，函数y的图像关于直线yx成轴对称图像。对于“不平行”这样否定性结论可使用反证法，假设“平行”，经推理，导出矛盾。第问中，对称问题运用了反函数图象的对称性，方法巧妙，体现了知识间的联系和解题思路的灵活性。【研究.欣赏】设函数.（1）在区间上画出函数的图像；（2）设集合. 试判断集合和之间的关系，并给出证明；（3）当时，求证：在区间上，的图像位于函数图像的上方.解:（1） （2）方程的解分别是和，由于在和上单调递减，在和上单调递增，因此. 由于（3）解法一 当时，. . 又， 当，即时，取， . ， 则. 当，即时，取， . 由 、可知，当时，. 因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方. 解法二 当时，.由 得， 令 ，解得 或， 在区间上，当时，的图像与函数的图像只交于一点； 当时，的图像与函数的图像没有交点. 如图可知，由于直线过点，当时，直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到. 因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方. 五提炼总结以为师1、函数图象的意义两种画图方法2、理解图象变换与函数式变换之间的关系平移变换、伸缩变换、对称变换、对称轴、对称中心和函数式表示3、利用函数的图象讨论函数的性质、方程的根和不等式的解；例题简答：同步练习 函数图象与变换【选择题】1、设函数f(x)=loga(x+b)(a0,a1)的图象过点(2,1),其反函数的图像过点(2,8),则a+b等于 ( )A 6 B 5 C 4 D 32、函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是 （ ）ABC D3、 设函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，在x1时，f(x)=(x+1)21,则x1时f(x)等于 ( )A f(x)=(x+3)21B f(x)=(x3)21C f(x)=(x3)2+1D f(x)=(x1)214、设偶函数yf（x）的图像关于直线x=1对称，在0x1时f（x）=x2,则f(2008)= ( ) A.0 B. 1 C. 2008 D. 2006【填空题】5、函数y=log3(3-x)的图象是由y= log3(x+3)的图象经怎样的变换而得到 6、已知f(x+199)=4x4x+3(xR)，那么函数f(x)的最小值为_简答：1-4、CDBA； 3、数形结合，x1时，f(x)对称轴为x=1,最小值为1，又y=f(x)关于x=1对称，故在x1上，f(x)的对称轴为x=3且最小值为1 4、周期为2,f(2008)=f(0)=0; 5、作直线x=3的对称图形而得； 6、y=f(x199)与y=f(x)，其图象仅是左右平移关系，它们的最小值相等为2。【解答题】7作出下述函数图象：（1） （2） （3）7（1） （2） （3）8、为何值时，直线与曲线有两个公共点？有一个公共点？无公共点？解：作出的图象（如图半圆）与的图象（如图平行的直线，将代入得，将代入得，当与半圆相切于P时可求得则当时，与曲线有两个公共点；当或时，有一个公共点；当或时，无公共点；9、已知函数f（x）=m（x+）的图象与函数h（x）=（x+）+2的图象关于点A（0，1）对称.（1）求m的值；（2）若g（x）=f（x）+在区间（0，2上为减函数，求实数a的取值范围.解：（1）设P（x，y）为函数h（x）图象上一点，点P关于A的对称点为Q（x，y），则有x=x，且y=2y.点Q（x，y）在f（x）=m（x+）上，y=m（x+）.将x、y代入，得2y=m（x）.整理，得y=m（x+）+2.m=.（2）g（x）=（x+），设x1、x2（0，2，且x1x2，则g（x1）g（x2）=（x1x2）0对一切x1、x2（0，2恒成立.x1x2（1+a）0对一切x1、x2（0，2恒成立.由1+ax1x2，而x1x24a3.10、设函数的图象为、关于点A（2，1）的对称的图象为，对应的函数为， （）求函数的解析式，并确定其定义域；（）若直线与只有一个交点，求的值，并求出交点的坐标.（）设是上任意一点， 设P关于A（2，1）对称的点为 代入得（）联立 或 （1）当时得交点（3，0）； （2）当时得交点（5，4）.【探索题】设曲线的方程