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第二章平面向量 2 2平面向量的线性运算2 2 3向量数乘运算及其几何意义 1 通过实例理解并掌握向量数乘定义及其规定 重点 2 理解两向量共线的含义 重点 3 掌握向量数乘运算法则并会进行有关运算 难点 1 向量的数乘运算实数 与向量a的积是一个 这种运算叫做向量的 记作 它的长度与方向规定如下 1 a 2 当 0时 a的方向与a的方向 当 0时 a的方向与a的方向 3 当 0时 a 向量 数乘 a a 相同 相反 0 2 实数与向量的积的运算律 1 a 2 a 3 a b 特别地 有 a a a a b a b 3 向量共线定理向量a a 0 与b共线 当且仅当有唯一一个实数 使 a a a a b b a 判一判 判断下列说法的正误 1 实数 与向量a的和 a与差 a是向量 提示 实数与向量不能作加减运算 2 对于非零向量a 向量 3a与向量3a方向相反 提示 3a与3a方向相反 3 对于非零向量a 向量 6a的模是向量3a的模的2倍 提示 6a 6 a 2 3a 1 从两个角度看数乘向量 1 代数角度 是实数 a是向量 它们的积仍是向量 另外 a 0的条件是 0或a 0 2 几何角度对于向量的长度而言 当 1时 有 a a 这意味着表示向量a的有向线段在原方向 1 或反方向 1 上伸长到 a 的 倍 当0 1时 有 a a 这意味着表示向量a的有向线段在原方向 0 1 或反方向 1 0 上缩短到 a 的 倍 2 对向量共线定理的理解 1 定理本身包含了正 反两个方面 若存在一个实数 使b a a 0 则a与b共线 反之 若a与b共线 a 0 则必存在一个实数 使b a 2 定理中 之所以限定a 0是由于若a b 0 虽然 仍然存在 可是 不唯一 定理的正 反两个方面不成立 3 若a b不共线 且 a b 则必有 0 向量的线性运算 向量线性运算的基本方法向量的线性运算形式上类似于实数加减法与乘法满足的运算法则 实数运算中去括号 移项 合并同类项等变形手段在向量的线性运算中均可使用 用已知向量表示其他向量 思路点拨 用已知向量表示未知向量的求解思路 互动探究 若将本例中的 cd 2bd 改为 cd bd 你能用两种方法解答吗 共线向量定理的应用 12分 如图所示 已知在 abcd中 点m为ab的中点 点n在bd上 且3bn bd 求证 m n c三点共线 规范解答系列 三 三点共线的判定 即时演练 如图所示 已知d e分别为
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