高等数学 8.1 多元函数微分法及其应用.pdf

推广推广推广推广 第八章第八章第八章第八章 一元函数微分学一元函数微分学一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 注意注意注意注意 善于类比善于类比善于类比善于类比 区别异同区别异同区别异同区别异同 多元函数微分法多元函数微分法多元函数微分法多元函数微分法 及其应用及其应用及其应用及其应用 第八章 第一节第一节第一节第一节 一 区域一 区域一 区域一 区域 二 多元函数的概念二 多元函数的概念二 多元函数的概念二 多元函数的概念 三 多元函数的极限三 多元函数的极限三 多元函数的极限三 多元函数的极限 四 多元函数的连续性四 多元函数的连续性四 多元函数的连续性四 多元函数的连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的基本概念多元函数的基本概念多元函数的基本概念多元函数的基本概念 0 o ppu 0 0 pp 一 一 一 一 区域区域区域区域 1 邻域邻域邻域邻域 点集 0 ppu 称为点 p0 的 邻域邻域邻域邻域 例如例如例如例如 在平面上 0 yxpu 圆邻域 在空间中 0 zyxpu 球邻域 说明 说明 说明 说明 若不需要强调邻域半径 也可写成 0 pu 点 p0 的去心邻域去心邻域去心邻域去心邻域记为 0 pp 2 0 2 0 yyxx 2 0 2 0 2 0 zzyyxx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在讨论实际问题中也常使用方邻域 平面上的方邻域为 u 0 yxp 0 p 因为方邻域与圆 邻域可以互相包含 0 xx 0 yxyx 41 22 xyx是开 集 是最大的开域 也是最大的闭 域 但非区域 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 1ox y 对区域 d 若存在正数 k 使一切点 p d 与某定点 a 的距离 ap k 则称 d 为有界域有界域有界域有界域 界域界域界域界域 否则称为无无无无 3 3 3 3 n n n n 维空间维空间维空间维空间 n 元有序数组 21n xxx 21n xxx 的全体称为 n n n n 维空间维空间维空间维空间 r n n 维空间中的每一个元素称为空间中的 k x数称为该点的第 k 个坐标坐标坐标坐标 记作 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 rrrr n nkxxxx kn 2 1 r 21 一个点点点点 当所有坐标时 0 k x称该元素为 n r中的零元 记作 o 的距离距离距离距离记作 22 22 2 11 nn yxyxyxyx 中点 a 的 邻域邻域邻域邻域为 21n yyyy 与点 r hrhr 0 0 ttvtv cbacbacba 0 0 0 cpbpapps 机动 目录 上页 下页 返回 结束 h r 定义定义定义定义1 1 1 1 设非空点集 r n d dppfu 或 点集 d 称为函数的定义域定义域定义域定义域 数集 dp pfuu 称为函数的值域值域值域值域 特别地 当 n 2 时 有二元函数 2 r dyxyxfz 当 n 3 时 有三元函数 3 r dzyxzyxfu 映射r df称为定义 在 d 上的 n n n n 元函数元函数元函数元函数 记作 21n xxxfu 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x z y 例如 二元函数 22 1yxz 定义域为 1 22 yxyx圆域 说明说明说明说明 二元函数 z f x y x y d 图形为中心在原点的上半球面 sin yxz 又如 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的图形一般为空间曲面 1 2 r yx 三元函数 arcsin 222 zyxu 定义域为 1 222 zyxzyx 图形为 4 r空间中的超曲面 单位闭球 x y z o 三 多元函数的极限三 多元函数的极限三 多元函数的极限三 多元函数的极限 定义定义定义定义2 2 2 2 设 n 元函数 r n dppf 点 0 pudp 0 yxf 0 22 时当 yx 22 yx 2 22 yx 总有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 20 22 yxyxf yx 22 2 yx 2 时 当 0 22 yx xy yx 11 sinsin 总有 2 k 2 pf mm 4 f p 必在d 上一致连续 dpkpf 使 在 d 上可取得最大值 m 及最小值 m 3 对任意 dq qf使 有界性定理 最值定理 介值定理 一致连续性定理 闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质 证明略 11 lim 0 0yx yx y x 解解解解 原式 11 1 1 lim 2 0 0 yxxy yx y x 2 1 例例例例5 5 5 5 求 2 22 3arcsin yx yx yxf 13 22 yx 42 22 yx 例例例例6 6 6 6 求函数的连续域 解解解解 0 2 yx 2 yx 11 1 lim 0 0 yx y x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 o y x2 内容小结内容小结内容小结内容小结 1 区域 邻域 0 pu 0 pu 区域连通的开集 空间 n r 2 多元函数概念 n 元函数 21n xxxf 常用 二元函数 图形一般为空间曲面 三元函数 dp pfu n r 机动 目录 上页 下页 返回 结束 apf pp lim 0 0 0 时 当 0 0 pp 有 apf 3 多元函数的极限 4 多元函数的连续性 1 函数连续在 0 ppf lim 0 0 pfpf pp 2 闭域上的多元连续函数的性质 有界定理 最值定理 介值定理 3 一切多元初等函数在定义区域内连续 p11 题 2 4 5 3 5 画图 8 p72 题 3 4 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习思考与练习思考与练习 解答提示解答提示解答提示解答提示 p11 题 2 2 yxftytx tf 称为二次齐次函数 p11 题 4 xyx yxyxyxyxyxf 2 p11 题 5 3 定义域 0 y yx d p11 题 5 5 定义域 22222 rzyxrd 2 xy d y xo r x y o d r 机动 目录 上页 下页 返回 结束 p12 题 8 间断点集 02 2 xyyx p72 题 3 定义域 10 4 22 2 yx xy d 24 0 42 2 0 0 1 limlim xk xk yx yx x y x 0 2 1 lim 0 2 1 fyxf y x 4 3 ln 2 p72 题 4 令 y k x 0 若令xy 42 2 0 0 lim yx yx y x 2 1 2 2 02 lim x x x d xy4 2 y x1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 可见极限 不存在 作业作业作业作业 p11 5 2 4 6 6 2 3 5 6 7 9 10 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题备用题备用题1 1 1 1 设 22 2 yxyxf x y 求 2 yxf x y 解法解法解法解法1 1 1 1 令 uyx v x y 2 3 vuy 3 vu u x vuf 3 2 2 vu u 3 2 vu 2 x y u yxv 2 yx x y f 2 2 x y 2 y 2 y 2 2 2 y x y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 1 1 1 设 22 2 yxyxf x y 求 2 yxf x y 解法解法解法解法2 2 2 2 令 u v yx 2 vu x y 2 vy u v x 2 x y yxf 2 vu u v f 22 v u v 即 2 yx x y f 2 2 2 y x y 2 vu u v f 机动 目录 上页 下页 返回 结束 yx yx x x 2 0 0 lim x xx x 32 0 lim lim 32 0 xx x 1 2 2 2 2 yx xy x y x 1ln lim 0 0 是否存在 解解解解 xxy 取 所以极限不存在 3 3 0 1ln yxyx 利用 yx xy x y x 1ln lim 0 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 3 3 3 证