复变函数1.2-复平面上的点集.doc

1.2 复平面上的点集我们在上节中提到过的复平面上的线段、直线和圆周等都是复平面上的点集.今后,我们的研究对象-解析函数,其定义域和值域都是复平面上的某个点集.1. 平面点集的几个基本概念定义1.1 由不等式所确定的平面点集(以后平面点集均简称点集),就是以为心,以为半径的圆,称为点的-邻域,常记为.定义1.2 考虑点集.若平面上一点(不必属于E)的任意邻域都有E的无穷多个点,则称为E的聚点或极限点;若属于E,但非E的聚点,则称为E的孤立点;若不属于E,又非E的聚点,则称为E的外点. 定义1.3 若点集E的每个聚点皆属于E,则称E为闭集;若点集E的点有一邻域全含于E内,则称为E的内点;若点集E的点皆为内点,则称E为开集;若在点的任意邻域内,同时有属于点集E和不属于E的点,则称为E的边界点;点集E的全部边界点组成的点集称为E的边界. 点集E的边界常记成. 点集E的孤立点必是E的边界点.定义1.4 若有正数,对于点集E内的点z皆合,即若E全含于一圆之内,则称E为有界集,否则称E为无界集.2. 区域与约当(Jordan)曲线 CyOxD内点外点界点图1.12复变函数论的基础几何概念之一是区域的概念.定义1.5 具备下列性质的非空点集D称为区域:(1) D为开集.(2) D中任意两点可用全在D中的折线连接(图1.12).定义1.6 区域D加上它的边界C称为闭域,记为注意 区域都是开的,不包含它的边界点. 例1.16 试证:点集E的边界是闭集.证 设z为的聚点.取z的任意邻域,则存在使得.在内能画出以为心,充分小半径的圆.这时由可见,在此圆内属于E的点和不属于E的点都存在.于是,在内属于E的点和不属于E的点都存在.故z.因此是闭集. 应用关于复数z的不等式来表示z平面上的区域,有时是很方便的. 例1.17 z平面上以原点为心,R为半径的圆(即圆形区域):以及z平面上以原点为心,R为半径的闭圆(即圆形闭域): 它们都以圆周为边界,且都是有界的.图1.13i1-1Oyx例1.18 z平面上以实轴为边界的两个无界区域是上半平面,及 下半平面. Z平面上以虚轴为边界的两个无界区域是 左半平面 右半平面例1.19 图1.13所示为单位圆周的外部含在上半z平面的部分,表为 例1.20 图1.14所示的带形区域表为: yxrRO图 1.15Oyx图1.14例1.21 图1.15所示的同心圆环(即圆环形区域)表为: r|z|R 复变函数的基础几何概念还有曲线。 定义1.7 设及是实变数的两个实函数，在闭区间上连续，则由方程组: 或由复数方程:， （或简记为） 所决定的点集，称为平面上的一条连续曲线。称为的参数方程，及分别称为的起点和终点；对满足的及当成立时，点称为此曲线的重点；凡无重点的连续曲线，称为简单曲线或约当曲线；的简单曲线称为简单闭曲线。简单曲线是平面上的一个有界闭集。例如，线段，圆弧，抛物线弧段等都是简单闭曲线；圆周和椭圆周等都是简单闭曲线。定义1.8 设连续弧的参数方程为 ， 任取实数列： ， 并且考虑弧上对应的点列： 将它们用一折线连接起来，的长度 如果对于所有的数列（1.17），有上界，则弧称为可求长的。上确界 称为弧的长度。定义1.9 设简单（或简单闭）曲线的参数方程为 ，又在上，及存在，连续且不全为零，则称为光滑（闭）曲线。光滑（闭）曲线具有连续转动的切线。定义1.10 由有限条光滑曲线衔接而成的连续曲线称为逐段光滑曲线。特别简单折线是逐段光滑曲线逐段光滑曲线必是可求长曲线，但简单曲线（或简单闭曲线）却不一定可求长。*例1.22设简单曲线的参数方程为 显然 皆为上的点，且连接及两电线段之长 因为是发散的，所以也是发散的，从而知简单曲线J是不可求长的。 我们容易看出，圆周把平面分为两个不相连接的xOy负方向正方向E(C)I(C)区域和。这个结果时下面所谓约当定理的特例。 定理1.1 （约当定理） 任一简单闭曲线将平面唯一地分成及三个点集（图1.16），它们具有如下性质：（1） 彼此不交；（2） 是一个有界区域（称为的内部）；（3） 是一个无界区域（称为的内部）（4） 若简单折线的一个端点属于，另一个端点属于，则必与有交点。此定理的证明虽有多种，但都包含若干拓扑学的知识和术语，非简单篇幅所能说明。因此略去证明。不过这个定理的直观意义是很清楚的。沿着一条简单闭曲线有两个相反的方向，其中一个方向是：当观察者顺此方向沿前进一周时，的内部一直在的左方，即“逆时针”方向，称为正方向；另一个方向是 ：当观察者顺此方向沿前进一周时，的外部一直在的左方，即“顺时针”方向，称为负方向（图1.16）在简单闭曲线的内部无论怎样画简单闭曲线，则的内部必全含于。这一性质的一般化，即是定义1.11 设为复平面上的区域。若在内无论怎样划简单闭曲线，其内部仍全含于，则称为单连通区域；非单连通的区域称为多连通区域。简单闭曲线的内部就是单连通区域。我们在例1.17 至例1.20中所列举的区域也是单连通的。而例1.21所列举的圆环形区域：它包括去心的圆（），一个圆的外部（），去掉圆点的平面三种特例就不是单连通的，因为，如果取为圆周，它的内部就不