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26 2用函数观点看一元二次方程 问题 如图以40m s的速度将小球沿与地面成30 角的方向击出时 球的飞行路线将是一条抛物线 如果不考虑空气阻力 球的飞行高度h 单位 m 与飞行时间t 单位 s 之间具有关系 h 20t 5t2 考虑以下问题 1 球的飞行高度能否达到15m 如能 需要多少飞行时间 2 球的飞行高度能否达到20m 如能 需要多少飞行时间 3 球的飞行高度能否达到20 5m 为什么 4 球从飞出到落地需要用多少时间 所以可以将问题中h的值代入函数解析式 得到关于t的一元二次方程 如果方程有合乎实际的解 则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值 否则 说明球的飞行高度不能达到问题中h的值 解 1 解方程 15 20t 5t2 t2 4t 3 0 t1 1 t2 3 当球飞行1s和3s时 它的高度为15m 分析 由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数 h 20t 5t2 t1 1s t2 3s 15m 15m 2 解方程 20 20t 5t2 t2 4t 4 0 t1 t2 2 当球飞行2s时 它的高度为20m t1 2s 20m 3 解方程 20 5 20t 5t2 t2 4t 4 1 0 因为 4 2 4 4 1 0 所以方程无解 球的飞行高度达不到20 5m 20m 4 解方程 0 20t 5t2 t2 4t 0 t1 0 t2 4 当球飞行0s和4s时 它的高度为0m 即0s时球从地面发出 4s时球落回地面 0 从上面可以看出 二次函数与一元二次方程关系密切 一般地 我们可以利用二次函数y ax2 bx c深入讨论一元二次方程ax2 bx c 0 例如 已知二次函数y x2 4x的值为3 求自变量x的值 可以解一元二次方程 x2 4x 3 即x2 4x 3 0 反过来 解方程x2 4x 3 0又可以看作已知二次函数y x2 4x 3的值为0 求自变量x的值 下列二次函数的图象与x轴有公共点吗 如果有 公共点的横坐标是多少 当x取公共点的横坐标时 函数的值是多少 由此 你能得出相应的一元二次方程的根吗 1 y x2 x 2 2 y x2 6x 9 3 y x2 x 1 1 抛物线y x2 x 2与x轴有两个公共点 它们的横坐标是 2 1 当x取公共点的横坐标时 函数的值是0 由此得出方程x2 x 2 0的根是 2 1 2 抛物线y x2 6x 9与x轴有一个公共点 这点的横坐标是3 当x 3时 函数的值是0 由此得出方程x2 6x 9 0有两个相等的实数根3 3 抛物线y x2 x 1与x轴没有公共点 由此可知 方程x2 x 1 0没有实数根 2 二次函数的图象与x轴的位置关系有三种 没有公共点 有一个公共点 有两个公共点 这对应着一元二次方程根的三种情况 没有实数根 有两个相等的实数根 有两个不等的实数根 一般地 从二次函数y ax2 bx c的图象可知 1 如果抛物线y ax2
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