毕业设计（论文）-浅谈Fibonacci数列通项公式的几种求法.doc

湖北师范学院文理学院2012届数学与应用数学专业毕业论文（设计）学号2008311010114编号2012010114研究类型理论研究分类号O15学士学位论文Bachelors Thesis论文题目浅谈Fibonacci数列通项公式的几种求法作者姓名指导教师所在院系文理学院专业名称数学与应用数学完成时间2012年5月02日湖北师范学院文理学院学士学位论文（设计）诚信承诺书中文题目：浅谈Fibonacci数列通项公式的几种求法外文题目：Discussion on Fibonacci Series for General Term Formula Calculation学生姓名学 号院系专业班 级学 生 承 诺我承诺在毕业论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，本人毕业论文（设计）内容除特别注明和引用外，均为本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的情况。如有违规行为，我愿承担一切责任，接受学校的处理。 学生（签名）：年 月 日指导教师承诺我承诺在指导学生毕业论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，经过本人核查，该生毕业论文（设计）内容除特别注明和引用外，均为该生本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的现象。 指导教师（签名）： 年 月 日目录摘 要4关键词：4Abstract.4Key word4引言11 问题重述12 问题求解22.1方法（一）：（矩阵相似法）22.2方法（二）：（构造数列法）42.3方法（三）：（矩阵转换法）62.4方法（四）：（构造函数方程法）82.5方法（五）:(线性空间理论法)103.致谢134参考文献14论文评审表.15 浅谈Fibonacci数列通项公式的几种求法刘青松 文理学院 数学与应用数学 0801班 湖北 黄石 435002摘 要：灵活运用子空间理论、矩阵理论、函数方程理论和常用求数列通项公式的方法求出Fibonacci数列的通项公式，利用中学里比较基础和常见的求通项公式的方法与子空间理论、矩阵理论以及函数方程论的综合运用，其中使用矩阵相似求解阶矩阵和构造数列的方法，以及求出适合条件的数列，即为所求的数列通项公式，造方程的方，最后得出Fibonacci数列的通项公式.关键词：Fibonacci数列 通项公式 子空间理论 矩阵理论 函数方程理论Discussion on Fibonacci Series for General Term Formula CalculationLiu Qingsong College of Arts and Sciences Applied Mathematics Class0801 HuBei,HuangShi,435002Abstract：Flexible use of subspace theory, matrix theory, the theory of functional equations and the commonly used for progression item formula for the Fibonacci series of general formula, using high school comparison basis and common for the general term formula method and subspace theory, matrix theory and the function of the comprehensive use of the equation, using the matrix similarity solution order matrix and structural series method, and the calculated conditions suitable for the series, namely for the series of general formula,finally obtains the general term formula of Fibonacci series.Key word:Fibonacci series the Formula of General Term Subspace Theory Matrix Theory The Theory of Functional Equations浅谈Fibonacci数列通项公式的几种求法刘青松 文理学院 数学与应用数学 0801班 湖北 黄石 435002引言1202年，意大利数学家斐波那契出版了他的算盘全书。他在书中提出了一个关于兔子繁殖的问：如果一对兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三个月里，又能开始生一对小兔，假定在不发生死亡的情況下，由一对出生的小兔开始，50个月后会有多少对兔子？ 在第一个月时，只有一对小兔子，过了一个月，那对兔子成熟了，在第三个月时便生下一对小兔子，这时有两对兔子.再过多一个月，成熟的兔子再生一对小兔子，而另一对小兔子长大，有三对小兔子.如此推算下去，我们便发现一个规律： 时间(月) 初生兔子(对)成熟兔子(对) 兔子总数(对) 11012011311241235235635875813881321913213410213455由此可知，从第一个月开始以后每个月兔子总数是：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,斐波纳契数列（Fibonacci Sequence）定：又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：，.1 问题重述已知Fibonacci数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，求Fibonacci数列通项公式.2 问题求解用表示Fibonacci数列的通项.2.1方法（一）：（矩阵相似法）考虑序列，其第项定义为斐波那契数列的第项与第项组成的有序数对，即.因为，所以序列相邻两项与之间具有关系：=，即,其中，序列的每一项可以由前一项（对任意）乘矩阵得到，就好像是以为公比的等比数列，与等比数列类似可以得到它的通项:=要得到，就要先算出，为了算出，利用矩阵相似的理论和方法，先将尽可能相似于简单的形状的特征多项式为，解得特征值及其相应的特征向量分别为，,以特征向量,为两列向量组成可逆矩阵，则，=，从而 =.2.2方法（二）：（构造数列法）先求满足递推关系 （1）的等比数列其.于是（1）变形为即故由此，满足条件（1）的等比数列有两种可能的公比和如果等比数列（1）满足条件，则公比为1，既不等于也不于.因此不可能满足条件（1）.但是，如果满足条件（1）的两个等比数列和逐项相加得到数列= （2）则数列（2）仍然满足条件（1）如果能适当选择使即 (3)则就符合斐波那契数列所满足的所有条件.容易看出条件的斐波那契数列是唯一的.因此满足条件（3）的，决定的数列（2）就是所求的斐波那契数列.由于，已知，所以可以将条件（3）看成以，为未知数的二元一次方程组.解得，从而=又由于即，又因此=注：方法（）的关键是满足条件（1）的两个等比数列，之和仍然满足条件（1）（一般不再是等比数列），适当选择，就可以使前两项都等于1.2.3方法（三）：（矩阵转换法）斐波那契数列的递推关系式，可化为矩阵形式，记，则斐波那契数列的多项=，斐波那契数列的通，这里，为待定的常数，将代入得，解得，故斐波那契数列通项=.2.4方法（四）：（构造函数方程法）将写成，即，则，改写成为函数方 （4）假如我们已经求得方程（4）的两个特解，则对任意，也必是方程（4）的解，这是因为 ， （5） ， （6）所以由可得=，此式即表明满足方程（4）.代入初始条件,即，可以确定待定系数，.至此已将问题转化为求方程（4）的两个特解问题.由以及递推关系可知（任意），以同时除式（4），可，可见若是等比数列，记公比为，则上式成为，其解为.因而，是函数方程（4）的两个特解.通解则为 = =代入初值条件，可得解得，故注：方法（）采用了由特解到通解的方法，此法在代数方程及微分方程中极为重要，另外在方法（四）中将写成只是为了记述方便，不改也行.2.5方法（五）:(线性空间理论法)因满足条件（1） 的任意两个数列的和仍然满足条件( 1) , 满足条件( 1) 的任意一个数列的常数倍仍然满足条件( 1) . 考虑由复数组成的数列的全体组成的集合对于通常的加法和数乘构成的复数域上的线性空间, 则其中满足条( 1) 的全体数列组成的集合对加法和数乘封闭, 是的一个子空间.中每个数列由它的前两项，唯一确定, 记作.映射是二维数组空间到的同构, 因此是二维空间.解方程得到两个不同的根和，也就是在中找到了两个线性无关的等比数列，（这里，）.它们构成了的一组基.求斐波那契数列在这组基下的坐标，即就是求满足条件，即的，的值, 也就是求满足条件( 3) 的，的值. 同方法（二）, 可得=注： 方法（） 的关键在于由方程的两个不同的根先求出 的一组基,.然后解由关系式得到的方程组. 求出斐波那契数列在这组基下的坐标就可以由等比数列和的通项公式及关系式求出即就是斐波那契数列的通项公式.3.致谢论文是在左可正教授的悉心指导下完成的，左老师在学业上的谆谆教诲和身体力行、在生活上的默默关心和无私帮助将使我受益终身，在此谨向左老师表示衷心的感谢！左老师对科学事业的高度的敬业精神，为学生们树立了良好的风范.“登泰山始懂尊冠五岳，遇导师才知德高智睿”，师恩浩瀚，溢于言表!毕业论文的顺利进行，还得益于各位同班同学的支持和帮助，在文献查阅与思路启发上给予的莫大帮助，为研究工作的顺利进行奠定了基础.在此特别感谢本毕业论文小组的成员提供的友好合作和无私帮助.最后谨向所以帮助和支持过我的领导、老师、同学及亲友们表示最诚挚的谢意.4参考文献1瓦罗别耶夫著，周春荔译，斐波那契数列，哈尔滨工业大学出版社，2010.2李美玲趣谈斐波那契数列，科协论坛（下半月），2008年8月第16页.3 杨传富. 一类数列通项公式的矩阵算法 J . 高等数学研究,2007( 3) : 24 - 25, 33.4宋庭武用特征方程推导斐波那契数列的通项公式，科技信息，2010年17期第7页5石生明，王萼芳，高等代数，北京，高等教育出版社，（第三版），2003.6 张禾瑞. 高等代数M . 北京: 高等教育出版社, 1983.7 华东师范大学数学系. 数学分析 M . 北京: 高等教育出版社, 1980.8张新娟斐波那契数列通项公式的求法，高等数学研究，2009年4 期第九页.9徐长林关于斐波那契数列及递归数列的若干性质，陕西教育学院学报，1995年02期第11页.10Richard a.brualdi著 冯珧玺，罗平，裴伟东 译组合数学（原书第四版），机械工业出版社.11闵嗣鹤，严士健 编初等数论（第三版），高等教育出版社.湖北师范学院文理学院学士学位论文（设计）评审表系部 名称文理学院数学系学生姓名刘青松班级名称0801班评阅人姓名专业方向理论研究学生学号2008311010114提交时间5月6日评阅人职称论文题目浅谈Fibonacci数列通项公式的几种求法论文或设计的主要内容（答辩人简要介绍论文工作情况，提出答辩申请）利用斐波那契数列的历史引入问题，灵活运用子空间理论、矩阵理论、函数方程理论和常用求级数通项公式的方法求出Fibonacci数列的通项公式，利