高考数学大二轮总复习 增分策略 专题四 数列 推理与证明 第4讲 推理与证明课件.ppt

第4讲推理与证明 专题四数列 推理与证明 高考真题体验 热点分类突破 高考押题精练 栏目索引 高考真题体验 1 2 3 4 1 2015 湖北 已知集合a x y x2 y2 1 x y z b x y x 2 y 2 x y z 定义集合a b x1 x2 y1 y2 x1 y1 a x2 y2 b 则a b中元素的个数为 a 77b 49c 45d 30 1 2 3 4 解析如图 集合a表示如图所示的所有圆点 集合b表示如图所示的所有圆点 所有圆点 集合a b显然是集合 x y x 3 y 3 x y z 中除去四个点 3 3 3 3 3 3 3 3 之外的所有整点 即横坐标与纵坐标都为整数的点 1 2 3 4 即集合a b表示如图所示的所有圆点 所有圆点 所有圆点 共45个 故a b中元素的个数为45 故选c 答案c 1 2 3 4 2 2014 北京 学生的语文 数学成绩均被评定为三个等级 依次为 优秀 合格 不合格 若学生甲的语文 数学成绩都不低于学生乙 且其中至少有一门成绩高于乙 则称 学生甲比学生乙成绩好 如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好 并且不存在语文成绩相同 数学成绩也相同的两位学生 那么这组学生最多有 a 2人b 3人c 4人d 5人 1 2 3 4 解析假设满足条件的学生有4位及4位以上 设其中4位同学分别为甲 乙 丙 丁 则4位同学中必有两个人语文成绩一样 且这两个人数学成绩不一样 或4位同学中必有两个数学成绩一样 且这两个人语文成绩不一样 那么这两个人中一个人的成绩比另一个人好 故满足条件的学生不能超过3人 1 2 3 4 当有3位学生时 用a b c表示 优秀 合格 不合格 则满足题意的有ac ca bb 所以最多有3人 答案b 1 2 3 4 3 2015 山东 观察下列各式 1 2 3 4 解析观察每行等式的特点 每行等式的右端都是幂的形式 底数均为4 指数与等式左端最后一个组合数的上标相等 4n 1 1 2 3 4 4 2015 福建 一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2 xn n n 其中xk k 1 2 n 称为第k位码元 二元码是通信中常用的码 但在通信过程中有时会发生码元错误 即码元由0变为1 或者由1变为0 已知某种二元码x1x2 x7的码元满足如下校验方程组 x4 x5 x6 x7 0 x2 x3 x6 x7 0 x1 x3 x5 x7 0 1 2 3 4 其中运算 定义为0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101 那么利用上述校验方程组可判定k等于 解析 x4 x5 x6 x7 1 1 0 1 1 x2 x3 x6 x7 1 0 0 1 0 x1 x3 x5 x7 1 0 1 1 1 由 知x5 x7有一个错误 中没有错误 x5错误 故k等于5 5 考情考向分析 1 以数表 数阵 图形为背景与数列 周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理 多以小题形式出现 2 直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法 常与函数 数列及不等式等综合命题 热点一归纳推理 热点分类突破 1 归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征 推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理 或者由个别事实概括出一般结论的推理 2 归纳推理的思维过程如下 正方形数n n 4 n2 六边形数n n 6 2n2 n 可以推测n n k 的表达式 由此计算n 10 24 解析由n n 4 n2 n n 6 2n2 n 1000 思维升华 归纳递推思想在解决问题时 从特殊情况入手 通过观察 分析 概括 猜想出一般性结论 然后予以证明 这一数学思想方法在解决探索性问题 存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用 其思维模式是 观察 归纳 猜想 证明 解题的关键在于正确的归纳猜想 跟踪演练1 1 有菱形纹的正六边形地面砖 按下图的规律拼成若干个图案 则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是 a 26b 31c 32d 36 解析有菱形纹的正六边形个数如下表 由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项 以5为公差的等差数列 所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6 5 6 1 31 故选b 答案b 2 两旅客坐火车外出旅游 希望座位连在一起 且有一个靠窗 已知火车上的座位的排法如图所示 则下列座位号码符合要求的应当是 a 48 49b 62 63c 75 76d 84 85 解析由已知图形中座位的排列顺序 可得 被5除余1的数和能被5整除的座位号临窗 由于两旅客希望座位连在一起 且有一个靠窗 分析答案中的4组座位号 只有d符合条件 答案d 热点二类比推理 1 类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征 推出另一类对象也具有这些特征的推理 2 类比推理的思维过程如下 解析平面几何中 圆的面积与圆的半径的平方成正比 而在空间几何中 球的体积与半径的立方成正比 解析chxchy shxshy 故知ch x y chxchy shxshy 或sh x y shxchy chxshy 或sh x y shxchy chxshy 答案ch x y chxchy shxshy 思维升华 类比推理是合情推理中的一类重要推理 强调的是两类事物之间的相似性 有共同要素是产生类比迁移的客观因素 类比可以由概念性质上的相似性引起 如等差数列与等比数列的类比 也可以由解题方法上的类似引起 当然首先是在某些方面有一定的共性 才能有方法上的类比 解析由 an 为等差数列 设公差为d 又正项数列 cn 为等比数列 设公比为q 答案d 解析设p1 x1 y1 p2 x2 y2 p0 x0 y0 因为p0 x0 y0 在这两条切线上 热点三直接证明和间接证明 直接证明的常用方法有综合法和分析法 综合法由因导果 而分析法则是执果索因 反证法是反设结论导出矛盾的证明方法 1 求数列 an bn 的通项公式 由anan 1 0 知数列 an 的项正负相间出现 2 证明 数列 bn 中的任意三项不可能成等差数列 证明假设存在某三项成等差数列 不妨设为bm bn bp 其中m n p是互不相等的正整数 可设m n p 那么只能有2bn bm bp 上式不可能成立 则只能有n m 1 所以假设不成立 那么数列 bn 中的任意三项不可能成等差数列 思维升华 1 有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可 2 综合法和分析法是直接证明常用的两种方法 我们常用分析法寻找解决问题的突破口 然后用综合法来写出证明过程 有时候 分析法和综合法交替使用 跟踪演练3 1 已知 abc的三个内角a b c成等差数列 a b c的对边分别为a b c 只需证c b c a a b a b b c 需证c2 a2 ac b2 又 abc三内角a b c成等差数列 故b 60 由余弦定理 得b2 c2 a2 2accos60 即b2 c2 a2 ac 故c2 a2 ac b2成立 于是原等式成立 证明假设x0是f x 0的负根 热点四数学归纳法 数学归纳法证明的步骤 1 证明当n取第一个值n0 n0 n 时结论成立 2 假设n k k n 且k n0 时结论成立 证明n k 1时结论也成立 由 1 2 可知 对任意n n0 且n n 时 结论都成立 1 当n 1 2 3时 试比较f n 与g n 的大小 解当n 1时 f 1 1 g 1 1 所以f 1 g 1 2 猜想f n 与g n 的大小关系 并给出证明 解由 1 猜想f n g n 下面用数学归纳法给出证明 当n 1 2 3时 不等式显然成立 假设当n k k 3 时不等式成立 即 那么 当n k 1时 由 可知 对一切n n 都有f n g n 成立 思维升华 用数学归纳法证明与正整数有关的等式命题时 关键在于弄清等式两边的构成规律 等式的两边各有多少项 由n k到n k 1时 等式的两边会增加多少项 增加怎样的项 难点在于寻求等式在n k和n k 1时的联系 1 写出a2 a3 a4的值 并猜想数列 an 的通项公式 2 用数学归纳法证明你的结论 证明 易知 n 1时 猜想正确 这说明 n k 1时猜想正确 高考押题精练 1 2 3 1 把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表 设aij i j n 是位于这个三角形数表中从上往下数第i行 从左往右数第j个数 如a42 8 若aij 2011 则i与j的和为 1 2 3 押题依据数表是高考命题的重点 本题以教材中的杨辉三角为背景 考查观察 分析 归纳猜想的能力 解析由三角形数表的排列规律知 aij 2011 则i必为奇数 设i 2m 1 在第i行上面 必有m行为奇数行 m行为偶数行 在前2m行中 共有奇数m2个 最大的奇数为1 m2 1 2 2m2 1 1 2 3 由2m2 1 2011得m的最大值31 i 63 最大的奇数为1921 在第63行中 首项为1923 即1923 j 1 2 2011 j 45 故i j 108 答案108 1 2 3 押题依据根据n个等式或不等式归纳猜想一般规律的式子是近几年高考热点 相对而言 归纳推理在高考中出现的机率较大 1 2 3 解析已知所给不等式的左边第一个式子都是x 不同之处在于第二个式子 显