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影响单摆振动周期的参数研究龚善初( 广东揭阳学院 机电工程系 ,广东 揭阳 522000)摘要 :应用振动分析的方法 ,研究了单摆的周期受摆角 、摆球的线度 、地球纬度 、摆球离地面的高度 、介质黏度和介质密度参数的影响 ;作出了周期比随参数变化的曲线 . 结果表明 :单摆的周期随摆角 、摆球的线度 、摆球离地面的高度 、介质黏度和介 质密度的增大而增大 ,随地球纬度的增大而减小.关键词 :单摆 ;周期 ;参数 ;影响中图分类号 :O 313文献标识码 :A文章编号 :1000 20712 ( 2006) 06 20012 204单摆是大学物理中的一个理想物理模型 1 , 在 摆角很小 ( 5) 时 ,无阻尼单摆作谐振动 ,其振动 周期与摆角及摆的质量无关. 然而在实际应用中 ,由 于介质阻力 、浮力 、地球纬度 、摆球的线度 、摆球离地 面的高度等参数的影响 ,振动周期会发生变化 . 本文 将对上述影响单摆振动周期的参数逐一进行分析 , 并应用 Maple 作图 2 , 得出振动周期随各参数的变化曲线.为便于作图 , 将式 ( 3) 中的 0 弧度化为角度 , 并取 00 90,则 R 1 随摆角 0 的变化曲线如图 1所示.1摆角对单摆周期的影响摆长为 l 的单摆作有限振动时 , 其运动方程为 + 2 sin = 0 ,( 0) = ,( 0) = 0( 1)00图 1 R 1 随摆角 0 的变化曲线由图 1 可知 , 周期比 R 1 随摆角 0 的增大而增式中 2 = g 为单摆在振幅 ( 即摆角) 5时 ,无阻0l尼单摆作简谐振动的角频率. 其振动周期 T 0 = 2大 .0摆球线度对单摆周期的影响在讨论摆球线度对单摆周期的影响时 , 处理摆 长通常是悬挂点到摆球质心的距离 , 设悬挂点到摆 球质心的距离为 l , 摆线的质量忽略不计 , 摆球的质 量为 m , 半径为 r , 忽略摆球摆动引起的 l 的变化 , 按复摆公式计算时 4 , 该摆动装置对固定点的转动2l . 式 ( 1) 是非线性微分方程 , 它的精确解是= 2g第一类完全椭圆积分 3 , 利用积分法可求得4d 20 0T 1 =( 2)1 - sin20 sin2 2sin20 sin2当 1 时 , 利用 二 项 式 定 理 将 被 积 函惯量为 m l 2 + 2 m r2 , 则单摆周期为25数展开成幂级数 , 再逐项积分 , 取前 4 项得非线性振l 2 + 2r2 T 15动周期 T 1 与谐振动周期 T 0 的比 R 1 = T 0 , 为T 2 = 2( 4)gl2114 1736000将式 ( 4) 化简得R 1 = 1 + 16 + 3 072 + 737 280( 3)收稿日期 :2005 - 09 - 16 ;修回日期 :2006 - 02 - 27作者简介 :龚善初 ( 1964 ) ,男 ,湖南常德人 ,揭阳学院机电工程系副教授 ,主要从事力学教学与研究工作 1教学讨论9 . 780 3 ms - 2 , 则在考虑了地球纬度时单摆的周期 2l 1 + 2rT 2 = 2( 5)g5lT 31T 31 与T 0 的周期比 R 31 =为T 0当 r 1 时 , 将式 ( 5) 对 r 展开成 Taylo r 级数 ,取前ll1R31 =1 + 0. 005 302 5sin2+ 0. 000 007sin22=4 项得2461 + 111rrr11 + 0 . 005 302 5sin2+ 0 . 000 007sin2 2- 2T2 = 2-+550l 250ll( 9)将式 ( 9) 中的 弧度化为角度 , 并取地球纬度 从 地球赤道到北极 ( 南极) , 即 090,则 R 31 随地( 6)T 2周期比 R 2 = T 0 为 2 4 6R 2 = 1 + 111球纬度的变化曲线如图 3 所示.rrr-+( 7)550250lll为便于作图 , 取 l = 1 . 0 m , 0 r 0 . 05 m , 则R 2 随摆球半径 r 的变化曲线如图 2 所示.图 3 R 31 随地球纬度 的变化曲线3 . 2物体离地面的高度对单摆周期的影响图 2 R 2 随摆球半径 r 的变化曲线设摆球离地球表面的高度为h , 由万有引力公 m 地 m 式知 , m gh = G, 则Gm 地( R + h) 2由图 2 可知 , 周期比 R 2 随摆球半径 r 的增大而增大.- 2 m 地hgh = G= g 1 +( R + h) 22Rh2R1 + R3重力加速度对单摆周期的影响重力加速度不仅和地球的纬度有关 , 还和物体( 10)则在考虑了物体离地面的高度时单摆的周期 T 32 与离地面的高度有关. 下面分别讨论地球的纬度和物体离地面的高度对单摆周期的影响 .3 . 1地球纬度对单摆周期的影响我们知道 , 由于地球的自转 , 物体所受的重力与 地球对物体的引力不但大小不相等 ( 除物体在两极 外) , 而 且 方 向 也 不 一 致 ( 除 物 体 在 两 极 或 在 赤 道 外) , 因此重力加速度随地球纬度的变化而变化 . 设 单摆装置所在地的纬度为 , 根据近代大地测量 , 重 力加速度 g与地球纬度的关系有如下的经验公 式 5 :g = 9 . 780 30 ( 1 + 0 . 005 302 5sin2+ T 32T 0 的周期比R 32 = T 0 为hR 32 = 1 + R( 11)为便于作图 , 取地球平均半径 R 为 6 380 km ,物体离地面的高度 0 h 10 km ,则 R 32 随离地面 的高度 h 的变化曲线如图 4 所示.由图 3 可知 , 周期比 R 31 随地球纬度 的增大而减小. 在地球赤道上 , 地球纬度 = 0, 重力加速度 g最小 , 周期比R 31 最大 ; 在地球两极 , 地球纬度= 90. 重力加速度g最大 , 周期比R 31 最小. 由图4 可知 , 周期比 R 32 随摆球离地面的高度 h 的增大而增大.0 . 000 007sin2 2)( 8)l为便 于 比 较 , 我 们 在 T 0 = 2中 取 g =glg14大 学物 理第 25 卷为简单计 , 取介质黏度 0 1 . 0 Pas ,重力加速度 g = 9 . 8 ms - 2 , 摆长 l = 1 . 0 m ,摆球半径 r =0 . 01 m ,摆球密度 球 = 7 . 9 103 kgm - 3 , 则 R 4 随 介质黏度 的变化曲线如图 5 所示.图 4 R 32 随地面高度 h 的变化曲线4介质黏度对单摆周期的影响设摆球半径为 r , 摆长为 l , 介质的黏度为 , 阻图 5 R 4 随介质黏度 的变化曲线力系数为 , 则在低雷诺数下 , 由斯托克 斯 公 式 6 知 , 介质阻力 F阻 为由图 5 可知 , 周期比 R 4 随介质黏度的增大而增大.F阻 = - v = - 6rv单摆作有限振动时 , 其运动方程为( 12)5介质密度对单摆周期的影响设介质 的 密 度 为 , 则 介 质 对 小 球 的 浮 力 为m l + l + m g sin = 0gV 球 . 摆长为 l 的单摆作有限振动时 , 其运动方程为 g + m +sin = 0( 13)l令 2 = g , = , 称为阻尼常量 . 当 5时 ,m l + ( m g - gV 球 ) sin = 0当 5时 ,sin , 式 ( 19) 化为( 19)0l2 msin , 则式 ( 13) 变为 g + 2 + 2= 0( 14) +T 为1 -= 0( 20)0l球由式 ( 14) 知 , 在考虑介质黏性时 , 单摆的振动为阻尼振动 , 即非简谐振动 . 在欠阻尼情况下 , 式 ( 14) 的解 为 =0e - t co s (t + 0 ) , 其振动周期 T 4 为其振动周期5- 1l2T = 21 -( 21)5球g 12- 2 22T 4 = 2 =将式 ( 21) 展开成 Taylo r 级数 ,得=1 -( 15)02 200 - 23 1 3 5T5 = 21 + 2+ 8+ 16 球+ 球球将式 ( 15) 展开成 Taylo r 级数 ,得2 4 6 ( 22)1 + 1+ 3+ 5T4 = 2+ 0016 028T 5取前 4 项得周期比 R 5 =T 0 为( 16)23 1 3 5 T 4R 5 = 1 + 2+ 8+ 16 球( 23)取式 ( 16) 前 4 项得周期比 R 4 = T 为球球0取球 = 7 . 9 103 kg m - 3 , 0 1 . 29 kg 2 4 6 R 4 = 1 + 1+ 35+( 17)0016 028m - 3 , 则 R 5 随介质密度 的变化曲线如图 6 所示.由图 6 可知 , 周期比 R 5 随介质密度 的增大而 增大.将 = 3r代入式 ( 17) 得2 m m242r2434rR 4 = 1 + 9+6+m0rm0286结论由图 1图 6 可知 , 单摆的周期随摆角 、摆球的3 6456( 18)m016lglg参考文献 : 1 杨述武 . 普通物理实验 ( 一) M . 北京 : 高等教育出版社 ,1983 . 97 .Ernic Kamerich. Maple 指南 M . 唐兢 ,李静译 . 北京 :高等教育出版社 ,2000 . 8687 .Mario n J B . Classical Dynamics M . New Yor k : Aca 2demic Press , 1965 . 181182 .周衍柏 . 理论力学 M . 北京 : 高等教育出版社 ,1994 .188189 .梁绍荣 ,刘昌年 , 盛正华 . 普通物理学 第一分册 力学M . 北京 :高等教育出版社 ,1999 . 198200 .赵凯华 ,罗蔚茵 . 新概念物理学教程 : 力学 M . 北京 :高等教育出版社 ,2000 . 245247 .234图 6 R 5 随介质密度 的变化曲线56线度 、摆球离地面的高度 、介质黏度和介质密度的增大而增大 , 随地球纬度的增大而减小 . 因此 , 在实际 问题中 , 应根据具体情况对单摆振动的周期公式作出修正.Study of the para meters inf l uenc ing the per iod of a simple pendul umGON G Shan2chu(Depart ment of Mechanical & Elect ro nical Engineering , J ieyang College , J ieyang , Guangdo ng 522000 , China)Abstract :The parameters affecting t he perio d of a simple pendulum are st udied. The co nclusio ns are t hatt he mo re t he o scillatio n angle , t he size of t he o scillating ball , t he latit ude degree of eart h , t he height of t he o b2 ject above gro und , t he coefficient of visco sity of medium , and t he density of medium , t he mo re t he perio d ; t he mo re t he latit ude degree of t he eart h , t he less t he perio d relavant curves are given .Key words :simple pendulum ; perio d ; parameter ; influence( 上接 4 页)社 ,2001 . 285290 .狄拉克 . 量子力学原理 M . 北京 : 科学出版社 ,1966 .1112 .朗道 ,栗弗席茨 . 量子力学 (非相对论理论) 上册 M .北京 :人民教育出版社 ,1980 . 89 .参考文献 :31布洛欣采夫 . 量子力学原理 上册 M .出版社 ,1965 . 51 ,1112 .北京 : 人民教育42赵凯华 , 罗 蔚 茵 . 量 子 物 理 M . 北 京 : 高 等 教 育 出 版On the superposit ion pr inc iple of states in quantum mechan icsKA Xing2lin