高中数学 2.1.2.1直线方程的点斜式课件 北师大版必修2 .ppt

对直线方程的点斜式的理解 1 直线的点斜式方程的适用前提是直线的斜率存在 即直线不与x轴垂直 2 已知直线过定点且斜率存在时 常用点斜式求直线方程 3 方程与y y0 k x x0 是不相同的 前者表示除去点 x0 y0 外的直线 后者则表示整条直线 利用点斜式求直线的方程 4 当直线的倾斜角为90 时 直线l没有斜率 这时直线l与y轴平行或重合 它的方程不能用点斜式表示 直线l上每一点的横坐标都等于x0 所以它的方程是x x0 0 5 直线方程的点斜式是直线方程的 根源 应用最为广泛 应用点斜式求直线方程时 务必考虑直线斜率是否存在 例1 写出下列直线的方程 1 过点a 1 2 斜率为1 2 过点b 1 0 与x轴平行 3 过点c 2 3 与x轴垂直 4 过点d 0 0 倾斜角为45 审题指导 以上四个小题都已知一点 首先分析所求直线的斜率是否存在 然后选择适当的形式表示 规范解答 1 由点斜式方程可知 所求直线的方程为y 2 x 1 即x y 1 0 2 直线与x轴平行 倾斜角为0 斜率k 0 直线的方程为y 0 0 x 1 即y 0 3 直线与x轴垂直 倾斜角为90 其斜率不存在 故不能用点斜式表示该直线的方程 又由于直线上每一点的横坐标都等于 2 所以它的方程是x 2 0 4 过点d 0 0 倾斜角为45 直线的斜率为tan45 1 由点斜式方程可知 所求直线的方程为y 0 x 0 即y x 互动探究 若把本题 1 的条件 斜率为1 换成 p 2 4 则结果如何 解题提示 先计算直线的斜率 再代入点斜式求直线的方程 解析 因为直线过点a 1 2 p 2 4 所以直线的斜率由点斜式方程可知 所求直线的方程为y 2 2 x 1 即2x y 0 对直线方程的斜截式的理解 1 直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式 其适用前提是直线的斜率存在 且知在y轴上的截距b 2 明确 截距 同 距离 的关系 不可混为一谈 3 直线的斜截式方程y kx b中只有两个参数 因此要确定某直线 只需两个独立的条件 4 利用直线的斜截式求方程务必灵活 如果已知斜率k 我们只需引入参数b 同理如果已知截距b 我们只需引入参数k 利用斜截式求直线的方程 例2 求下列直线的方程 1 过点p 0 4 斜率为2 2 与直线y x 1在y轴上的截距相等 且过点q 2 2 审题指导 1 由直线过点p 0 4 可知截距为4 又知斜率为2 宜选用斜截式求解 2 由题意可知截距 待定系数法可求斜率 斜截式写出方程 规范解答 1 因为直线的斜率为2 且在y轴上的截距为4 所以由直线方程的斜截式得y 2x 4 2 因为直线y x 1在y轴上的截距为1 故可设直线方程为y kx 1 又过点q 2 2 所以2 2k 1 即所以所求直线的方程为 互动探究 若把题设 2 中条件 与直线y x 1在y轴上的截距相等 换成 与直线y x 1的斜率相等 其余条件不变 求相应问题 解题提示 设所求方程为y x b 代点求解即可 解析 因为直线y x 1的斜率为 1 故依题意可设所求直线的方程为y x b 又过点q 2 2 所以2 2 b 即b 4 故所求直线的方程为y x 4 对点斜式与斜截式应用的几点认识 1 无论用直线的点斜式还是斜截式求直线的方程 都需要引入两个参数 前者需要引入斜率k和点p x0 y0 而后者需要引入斜率k和y轴上的截距b 综合应用 2 已知斜率及任意一点的坐标 我们习惯上选择点斜式求直线的方程 如果该点比较特殊 直线与y轴的交点 则习惯上选择斜截式求直线的方程 3 方程的思想是解答此类题目的重要手段 用斜截式求直线的方程 仍需考虑直线的斜率是否存在 以免漏解 例3 直线l的斜率为且和两坐标轴围成面积为2的三角形 求直线l的方程 审题指导 已知斜率 且与坐标轴上的截距有关 因此可设截距式利用直线l和两坐标轴围成的三角形的面积为2 求直线l的方程 规范解答 因为直线l的斜率为故设直线l的方程为令x 0 得y b 令y 0 得x 4b 由直线l和两坐标轴围成的三角形的面积为2 可得 b2 1 解得b 1 故所求直线l的方程为 变式训练 求过点 2 4 倾斜角为60 的直线方程 解题提示 利用k tan60 求斜率 又过点 2 4 由点斜式求解得直线方程 解析 因为直线的倾斜角为60 所以直线的斜率又过点 2 4 由点斜式得直线方程为即 例 直线y kx b k b 0 k 0 的图象是 审题指导 本题直线方程已知 解答问题的关键是k b 0的意义分析 规范解答 选b 方法一 因为直线方程为y kx b 且k 0 k b 0 即k b 所以令y 0时 所以直线过点 1 0 方法二 已知k b 0 所以k b 代入直线方程 可得y bx b 即y b x 1 又k 0 所以b 0 所以直线过点 1 0 方法三 由直线方程为y kx b 可得直线的斜率为k 在y轴上的截距为b 因为k b 0 所以k b 即直线的斜率与直线在y轴上的截距互为相反数 选项a中 k 0 b 0 选项b中 k 0 b 0 选项c中 k 0 b 0 选项d中 k 0 b 0 故选b 变式备选 直线方程表示的图形可能是下列选项中的 解析 选b 当a 0时 令x 0得当a 0时 令x 0得从而可知结果 典例 12分 已知直线l2的斜率是直线l1 x y 1 0的斜率的3倍 且分别满足下列条件 1 在y轴上的截距为3 2 在x轴上的截距是 5 分别求直线l2的方程 审题指导 本题应充分利用l1与l2的斜率关系 求出l2的斜率再合理选择直线方程的形式求解 规范解答 由x y 1 0得y x 1 直线x y 1 0的斜率为1 从而直线l2的斜率为3 4分 1 直线在y轴上的截距为3 故直线l2的方程为y 3x 3 8分 2 直线在x轴上的截距为 5 直线经过点 5 0 10分利用点斜式方程可得y 3 x 5 即3x y 15 0 12分 误区警示 对解答本题时易犯的错误具体分析如下 即时训练 在x轴上的截距为2 且倾斜角为45 的直线方程为 a y x 2 b y x 2 c y x 2 d y x 2 解析 选d 因为直线的倾斜角为45 所以斜率k tan45 1 又在x轴上的截距为2 所以直线过点 2 0 由点斜式知所求直线的方程为y x 2 故选d 1 直线y 2x 1在y轴上的截距为 a 2 b 1 c 1 d 解析 选c 令x 0 得y 1 故选c 2 过点 0 3 且斜率为 2的直线方程为 a y 2x 3 b y 2x 3 c y 2x 3 d y 2x 3 解析 选b 由题意 得直线的斜率k 2 在y轴上的截距为3 故所求直线方程为y 2x 3 故选b 3 过点 3 1 且斜率为4的直线方程为 a y 4x 3 b y 4x 1 c y 4x 13 d y 4x 7 解析 选c 由点斜式得 所求直线的方程为y 1 4 x 3 即y 4x 13 故选c 4 过点p 1 2 且与x轴平行的直线方程为 与y轴平行的直线方程为 倾斜角为60 的直线方程为 解析 过点p 1 2 且与x轴平行的直线 其斜率为0 故所求直线的方程为y 2 与y轴平行的直线 其斜率不存在 故所求直线的方程为x 1 倾斜角为60 则其斜率故所求直线的方程为即答案 y 2x 1 5 1 斜率是在y轴上的截距是 2的直线的斜截式方程为 2 倾斜角是30 在y轴上的截距是0的直线的斜截式方程为 解析 1 斜率是在y轴上的截距是 2的直线的斜截式方程为 2 因为倾斜角是30 则直线的斜率是又在y轴上的截距是0 故该直线的斜截式方程为答案 6 写出斜率为 2 且在y轴上的截距为t的直线的方程 且求t为何值时 直线过点 4 3 并作出该直线的图象 解析 由直线方程的斜截式 可得方程为y 2x t 将点 4 3 代入方程y 2x t 得 3 2 4 t 解得t 5 故当t 5时 直线通过点 4 3 直线y 2x 5的图象如图所示 一 选择题 每题4分 共16分 1 直线的倾斜角为 a 45 b 30 c 1 d 解析 选a 直线的斜率为1 所以其倾斜角为45 2 2011 临沂高一检测 已知直线的方程是y 3 x 1 则 a 直线经过点 3 1 斜率为 1 b 直线经过点 3 1 斜率为1 c 直线经过点 1 3 斜率为 1 d 直线经过点 1 3 斜率为 1 解析 选c 直线的方程y 3 x 1可化为y 3 x 1 结合点斜式方程得直线经过点 1 3 斜率为 1 3 2011 杭州高二检测 已知点p 2 m 在直线3x y 2上 则m的值是 a 4 b 4 c 8 d 8 解析 选b 由题意可知3 2 m 2 m 4 4 过点p 2 1 且倾斜角是直线l x y 1 0的倾斜角的两倍的直线方程为 a x 2y 1 0 b x 2 c y 1 2 x 2 d 2x y 1 0 解析 选b 直线l x y 1 0的倾斜角为45 从而所求直线的倾斜角为90 又过点p 2 1 故所求直线的方程为x 2 二 填空题 每题4分 共8分 5 2011 岳阳高一检测 直线x 1的倾斜角 等于 直线y tan60 x 5的斜率等于 解析 对于直线x 1 倾斜角 90 又 斜率答案 90 6 若点p 1 2 在直线y m x 3 上 则该直线在y轴上的截距等于 解题提示 把点p 1 2 代入直线的方程y m x 3 求m 令x 0 求该直线在y轴上的截距 解析 把点p 1 2 代入直线的方程y m x 3 得此时 直线的方程可化为故该直线在y轴上的截距等于答案 三 解答题 每题8分 共16分 7 直线l经过点p 1 2 且倾斜角 45 求直线的点斜式方程 并画出直线l 解析 直线l的倾斜角为45 k tan tan45 1 又直线l过点p 1 2 故l的点斜式方程为y 2 x 1 即y x 1 令x 0 则y 1 即直线l过点 0 1 及 1 2 其图象如图所示 8 已知直线的倾斜角是直线l的倾斜角的5倍 求分别满足下列条件的直线l的方程 1 过点p 3 4 2 在x轴上截距为 2 3 在y轴上截距为3 解析 由直线得即 150 故所求直线l的倾斜角为30 斜率 1 l过点p 3 4 则由点斜式方程得 即 2 在x轴上截距为 2 即直线l过点 2 0 由点斜式方程得 即 3 l在y轴上截距为3 则由斜截式方程得 挑战能力 10分 求经过两点p1 2 1 p2 m 2 的直线l的方程 其中m r 解析 1 当m 2