高考数学大一轮复习 2.8函数与方程课件 理 苏教版.ppt

2 8函数与方程 数学苏 理 第二章函数概念与基本初等函数 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 思想方法 感悟提高 练出高分 1 函数的零点 1 函数零点的定义对于函数y f x x d 把使的实数x叫做函数y f x x d 的零点 2 几个等价关系方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与有交点 函数y f x 有 f x 0 x轴 零点 3 函数零点的判定 零点存在性定理 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有 那么 函数y f x 在区间内有零点 即存在c a b 使得 这个也就是方程f x 0的根 f a f b 0 a b f c 0 c 2 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与零点的关系 x1 0 x2 0 x1 0 2 1 0 3 二分法对于在区间 a b 上连续不断且的函数y f x 通过不断地把函数f x 的零点所在的区间 使区间的两个端点逐步逼近 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 f a f b 0 一分为二 零点 思考辨析 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 函数的零点就是函数的图象与x轴的交点 2 函数y f x 在区间 a b 内有零点 函数图象连续不断 则f a f b 0 3 二次函数y ax2 bx c a 0 在b2 4ac 0时没有零点 4 只要函数有零点 我们就可以用二分法求出零点的近似值 5 函数y 2sinx 1的零点有无数多个 6 函数f x kx 1在 1 2 上有零点 则 1 k 1 a b 和 b c 3 解析 由于a0 f b b c b a 0 因此有f a f b 0 f b f c 0 又因f x 是关于x的二次函数 函数的图象是连续不断的曲线 因此函数f x 的两零点分别位于区间 a b 和 b c 内 解析 答案 思维升华 令f x ex x 2 f 1 e 30 f x 的零点在区间 1 2 内 k 1 解析 答案 思维升华 令f x ex x 2 f 1 e 30 f x 的零点在区间 1 2 内 k 1 1 解析 答案 思维升华 函数零点的求法 1 直接求零点 令f x 0 如果能求出解 则有几个解就有几个零点 1 解析 答案 思维升华 2 零点存在性定理 利用定理不仅要函数在区间 a b 上是连续不断的曲线 且f a f b 0 还必须结合函数的图象与性质 如单调性 奇偶性 才能确定函数有多少个零点 1 解析 答案 思维升华 3 利用图象交点的个数 将函数变形为两个函数的差 画两个函数的图象 看其有几个交点 就有几个不同的零点 1 解析 答案 思维升华 解析 答案 思维升华 当x 0时 作函数y lnx和y x2 2x的图象 由图知 x 0时 f x 有两个零点 解析 答案 思维升华 当x 0时 由f x 0得x 综上 f x 有三个零点 解析 答案 思维升华 当x 0时 由f x 0得x 综上 f x 有三个零点 3 解析 答案 思维升华 函数零点的求法 1 直接求零点 令f x 0 如果能求出解 则有几个解就有几个零点 3 解析 答案 思维升华 2 零点存在性定理 利用定理不仅要函数在区间 a b 上是连续不断的曲线 且f a f b 0 还必须结合函数的图象与性质 如单调性 奇偶性 才能确定函数有多少个零点 3 解析 答案 思维升华 3 利用图象交点的个数 将函数变形为两个函数的差 画两个函数的图象 看其有几个交点 就有几个不同的零点 3 解析 答案 思维升华 跟踪训练1 1 函数f x 2x 3x的零点所在的一个区间是 2 1 1 0 0 1 1 2 故函数f x 在区间 1 0 上有零点 f 0 20 1 0 f 1 2 3 5 0 f 2 22 6 10 0 f 1 f 0 0 跟踪训练1 2 若定义在r上的偶函数f x 满足f x 2 f x 且当x 0 1 时 f x x 则函数y f x log3 x 的零点个数是 在同一坐标系内作出函数y f x 及y log3 x 的图象 如下 跟踪训练1 2 若定义在r上的偶函数f x 满足f x 2 f x 且当x 0 1 时 f x x 则函数y f x log3 x 的零点个数是 即函数y f x log3 x 有4个零点 4 解析 思维升华 题型二二次函数的零点问题例2已知函数f x x2 ax 2 a r 1 若不等式f x 0的解集为 1 2 求不等式f x 1 x2的解集 解因为不等式f x 0的解集为 1 2 所以a 3 于是f x x2 3x 2 由f x 1 x2得 1 x2 x2 3x 2 题型二二次函数的零点问题例2已知函数f x x2 ax 2 a r 1 若不等式f x 0的解集为 1 2 求不等式f x 1 x2的解集 解析 思维升华 解得x 或x 1 所以不等式f x 1 x2的解集为 x x 或x 1 题型二二次函数的零点问题例2已知函数f x x2 ax 2 a r 1 若不等式f x 0的解集为 1 2 求不等式f x 1 x2的解集 解析 思维升华 解决二次函数的零点问题 1 可利用一元二次方程的求根公式 2 可用一元二次方程的判别式及根与系数的关系 3 利用二次函数的图象列不等式组 题型二二次函数的零点问题例2已知函数f x x2 ax 2 a r 1 若不等式f x 0的解集为 1 2 求不等式f x 1 x2的解集 解析 思维升华 解析 思维升华 例2 2 若函数g x f x x2 1在区间 1 2 上有两个不同的零点 求实数a的取值范围 解函数g x 2x2 ax 3在区间 1 2 上有两个不同的零点 例2 2 若函数g x f x x2 1在区间 1 2 上有两个不同的零点 求实数a的取值范围 解析 思维升华 例2 2 若函数g x f x x2 1在区间 1 2 上有两个不同的零点 求实数a的取值范围 所以实数a的取值范围是 5 2 解析 思维升华 解决二次函数的零点问题 1 可利用一元二次方程的求根公式 2 可用一元二次方程的判别式及根与系数的关系 3 利用二次函数的图象列不等式组 例2 2 若函数g x f x x2 1在区间 1 2 上有两个不同的零点 求实数a的取值范围 解析 思维升华 跟踪训练2已知f x x2 a2 1 x a 2 的一个零点比1大 一个零点比1小 求实数a的取值范围 即x1x2 x1 x2 1 0 由根与系数的关系 得 a 2 a2 1 1 0 即a2 a 2 0 2 a 1 跟踪训练2已知f x x2 a2 1 x a 2 的一个零点比1大 一个零点比1小 求实数a的取值范围 则有f 1 0 即1 a2 1 a 2 0 故 2 a 1 解析 思维升华 解方法一 换元法 设t 2x t 0 则原方程可变为t2 at a 1 0 原方程有实根 即方程 有正根 令f t t2 at a 1 解析 思维升华 若方程 有两个正实根t1 t2 解析 思维升华 若方程 有一个正实根和一个负实根 负实根 不合题意 舍去 则f 0 a 1 0 解得a 1 若方程 有一个正实根和一个零根 则f 0 0且 0 解得a 1 解析 思维升华 综上 a的取值范围是 2 2 方法二 分离变量法 解析 思维升华 解析 思维升华 解析 思维升华 对于 a f x 有解 型问题 可以通过求函数y f x 的值域来解决 解的个数也可化为函数y f x 的图象和直线y a交点的个数 解析 思维升华 跟踪训练3 2014 江苏 已知f x 是定义在r上且周期为3的函数 当x 0 3 时 f x x2 2x 若函数y f x a在区间 3 4 上有10个零点 互不相同 则实数a的取值范围是 思维点拨 解析 温馨提醒 思想与方法系列3数形结合思想在函数零点问题中的应用 典例 1 方程log3x x 3 0的解所在的区间是 利用零点存在性定理 思想与方法系列3数形结合思想在函数零点问题中的应用 典例 1 方程log3x x 3 0的解所在的区间是 思维点拨 解析 温馨提醒 思想与方法系列3数形结合思想在函数零点问题中的应用 典例 1 方程log3x x 3 0的解所在的区间是 设f x log3x x 3 则f 2 log32 10 f x 0在 2 3 有零点 又f x 为增函数 f x 0的零点在 2 3 内 2 3 思维点拨 解析 温馨提醒 1 零点问题可转化为函数图象的交点问题进行求解 体现了数形结合的思想 2 求零点范围时用数形结合求解可减少思维量 作图时要尽量准确 思想与方法系列3数形结合思想在函数零点问题中的应用 典例 1 方程log3x x 3 0的解所在的区间是 2 3 思维点拨 解析 温馨提醒 思维点拨 解析 温馨提醒 2 已知函数f x logax x b a 0 且a 1 当2 a 3 b 4时 函数f x 的零点x0 n n 1 n n 则n 2 已知函数f x logax x b a 0 且a 1 当2 a 3 b 4时 函数f x 的零点x0 n n 1 n n 则n 利用临界情况时f x 的图象观察零点的大小 思维点拨 解析 温馨提醒 2 已知函数f x logax x b a 0 且a 1 当2 a 3 b 4时 函数f x 的零点x0 n n 1 n n 则n 在直角坐标系下分别作出y log2x y log3x及y 3 x y 4 x的图象 如图所示 显然所有可能的交点构成图中的阴影区域 不含边界 其中各点的横坐标均落于 2 3 之内 又因为x0 n n 1 n n 故n 2 2 思维点拨 解析 温馨提醒 2 已知函数f x logax x b a 0 且a 1 当2 a 3 b 4时 函数f x 的零点x0 n n 1 n n 则n 2 思维点拨 解析 温馨提醒 1 零点问题可转化为函数图象的交点问题进行求解 体现了数形结合的思想 2 求零点范围时用数形结合求解可减少思维量 作图时要尽量准确 方法与技巧 1 函数零点的判定常用的方法有 1 零点存在性定理 2 数形结合 3 解方程f x 0 2 研究方程f x g x 的解 实质就是研究g x f x g x 的零点 3 转化思想 方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题 已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题 失误与防范 1 函数f x 的零点是一个实数 是方程f x 0的根 也是函数y f x 的图象与x轴交点的横坐标 2 函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件 而不是必要条件 判断零点个数还要根据函数的单调性 对称性或结合函数图象 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解析当x 1时 由f x 2x 1 0 解得x 0 当x 1时 由f x 1 log2x 0 解得x 又因为x 1 所以此时方程无解 综上函数f x 的零点只有0 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 方程 x2 2x a2 1 a 0 的解的个数是 2 解析 数形结合法 a 0 a2 1 1 而y x2 2x 的图象如图 y x2 2x 的图象与y a2 1的图象总有两个交点 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3 若关于x的方程x2 mx 1 0有两个不相等的实数根 则实数m的取值范围是 解析 方程x2 mx 1 0有两个不相等的实数根 m2 4 0 m 2或m 2 2 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 4 函数f x xcosx2在区间 0 4 上的零点个数为 6 解析由f x xcosx2 0 得x 0或cosx2 0 又x 0 4 所以x2 0 16 由于cos k 0 k z 故零点个数为1 5 6 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 5 已知三个函数f x 2x x g x x 2 h x log2x x的零点依次为a b c 则a b c的大小关系为 解析方法一由于f 1 1 0 且f x 为r上的增函数 故f x 2x x的零点a 1 0 g 2 0 g x 的零点b 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 且h x 为 0 上的增函数 方法二由f x 0得2x x 由h x 0得log2x x作出函数y 2x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 由图象易知a 0 0 c 1 而b 2 故a c b y log2x和y x的图象 如图 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 6 若函数f x x2 ax b的两个零点是 2和3 则不等式af 2x 0的解集是 解析 f x x2 ax b的两个零点是 2 3 2 3是方程x2 ax b 0的两根 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 f x x2 x 6 不等式af 2x 0 即 4x2 2x 6 0 2x2 x 3 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 7 函数f x 3x 7 lnx的零点位于区间 n n 1 n n 内 则n 解析由于ln21 所以f 3 0 所以增函数f x 的零点位于区间 2 3 内 故n 2 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 由于函数g x f x m有3个零点 结合图象得 0 m 1 即m 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 证明令g x f x x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 10 关于x的二次方程x2 m 1 x 1 0在区间 0 2 上有解 求实数m的取值范围 解方法一设f x x2 m 1 x 1 x 0 2 若f x 0在区间 0 2 上有一解 f 0 1 0 则应有f 2 0 又 f 2 22 m 1 2 1 m 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 由 可知m的取值范围是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 方法二显然x 0不是方程x2 m 1 x 1 0的解 0 x 2时 方程可变形为 又 y x 在 0 1 上单调递减 1 2 上单调递增 y x 在 0 2 的取值范围是 2 1 m 2 m 1 故m的取值范围是 1 2 3 4 5 1 6 2 3 4 5 1 6 解析作出函数f x 的图象如图所示 其中a 1 1 b 0 2 因为直线y mx m m x 1 恒过定点c 1 0 故当直线y m x 1 在ac位置时 m 可知当直线y m x 1 在x轴和ac之间运动时两图象有两个不同的交点 直线y m x 1 可与ac重合但不能与x轴重合 2 3 4 5 1 6 当直线y m x 1 过点b时 m 2 当直线y m x 1 与曲线f x 相切时 由 2m 3 2 4m m 2 0 解得m 2 3 4 5 1 6 此时0 m g x 有两个不同的零点 可知当y m x 1 在切线和bc之间运动时两图象有两个不同的交点 直线y m x 1 可与bc重合但不能与切线重合 2 3 4 5 1 6 2 若直角坐标平面内的两点p q满足条件 p q都在函数y f x 的图象上 p q关于原点对称 则称点对 p q 是函数y f x 的一对 友好点对 点对 p q 与 q p 看作同一对 友好点对 已知函数f x 则此函数的 友好点对 有对 2 3 4 5 1 6 解析函数f x 的图象及函数f x x2 4x x 0 的图象关于原点对称的图象如图所示 则a b两点关于原点的对称点一定在函数f x x2 4x x 0 的图象上 故函数f x 的 友好点对 有2对 答案2 2 3 4 5 1 6 3 若方程 k x 2 3有两个不等的实根 则k的取值范围