高考数学一轮总复习 第七章 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系课件.ppt

第七章立体几何与空间向量 第3节空间点 直线 平面之间的位置关系 1 理解空间直线 平面位置关系的定义 2 了解可以作为推理依据的公理和定理 3 能运用公理 定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题 要点梳理 1 平面的基本性质及推论 1 平面的基本性质 基本性质1 如果一条直线上的 在一个平面内 那么这条直线上的所有点都在这个平面内 两点 基本性质2 经过 的三点 有且只有一个平面 基本性质3 如果不重合的两个平面有一个公共点 那么它们 过这个点的公共直线 2 平面基本性质的推论 推论1 经过一条直线和 的一点 有且只有一个平面 推论2 经过两条 有且只有一个平面 推论3 经过两条 有且只有一个平面 不在同一直线上 有且只有一条 直线外 相交直线 平行直线 2 空间中两直线的位置关系 1 空间两直线的位置关系 0 1 0 2 平行公理和等角定理 平行公理平行于 的两条直线平行 用符号表示 设a b c为三条直线 若a b b c 则a c 等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角 同一条直线 相等或互补 3 空间中直线与平面 平面与平面的位置关系 1 0 无数 0 无数 基础自测 1 已知a b是异面直线 直线c平行于直线a 那么c与b a 一定是异面直线b 一定是相交直线c 不可能是平行直线d 不可能是相交直线 解析 由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线 但不可能为平行直线 若b c 则a b 与已知a b为异面直线相矛盾 答案 c 2 已知a b表示不同的点 l表示直线 表示不同的平面 则下列推理错误的是 a a l a b l b l b a a b b abc l a l a d a a l l l a 答案 c 3 2015 台州模拟 对于空间中的两条直线 这两条直线为异面直线 是 这两条直线没有公共点 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 解析 若两条直线异面 则一定无公共点 两条直线无公共点时 这两条直线可能平行 故选a 答案 a 4 正方体各面所在平面将空间分成 部分 解析 如图 上下底面所在平面把空间分成三部分 左右两个侧面所在平面将上面的每一部分再分成三个部分 前后两个侧面再将第二步得到的9部分的一部分分成三部分 共9 3 27部分 答案 27 5 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是ab ad的中点 则异面直线b1c与ef所成的角的大小为 ef所成的角或所成角的补角 连接d1c知 cb1d1为正三角形 故b1c与ef所成的角为60 答案 60 典例透析 考向一平面的基本性质及应用例1 2015 安顺模拟 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是ab和aa1的中点 求证 e c d1 f四点共面 证明 如图 连接cd1 ef a1b 因为e f分别是ab和aa1的中点 所以ef a1b且ef a1b 又因为a1d1 bc 且a1d1 bc 所以四边形a1bcd1是平行四边形 所以a1b cd1 所以ef cd1 即ef与cd1确定一个平面 且e f c d1 即e c d1 f四点共面 所以四边形cd1fe是梯形 所以ce与d1f必相交 设交点为p 如图 则p ce 平面abcd 且p d1f 平面a1add1 又因为平面abcd 平面a1add1 ad 所以p ad 所以ce d1f da交于一点 拓展提高1 证明空间点共线问题的方法 1 公理法 一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点 再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上 2 纳入直线法 选择其中两点确定一条直线 然后证明其余点也在该直线上 2 点 线共面的常用判定方法 1 纳入平面法 先确定一个平面 再证明有关点 线在此平面内 2 辅助平面法 先证明有关的点 线确定平面 再证明其余元素确定平面 最后证明平面 重合 3 反证法 提醒 在选择已知条件确定平面时 要看其余的点或线在确定的平面内是否能证明 aa1 mn a1c1 mn mn 平面a1b1c1d1 mn与a1c1是异面直线 其中正确结论的序号是 注 把你认为正确命题的序号都填上 思路点拨过m n作某些垂直于棱的直线找平行关系或者构造平面判定 解析 过n作np bb1于点p 连接mp 可证aa1 平面mnp aa1 mn 正确 过m n分别作mr a1b1 ns b1c1于点r s 则当m不是ab1的中点 n不是bc1的中点时 直线a1c1与直线rs相交 当m n分别是ab1 bc1的中点时 a1c1 rs a1c1与mn可以异面 也可以平行 故 错误 由 正确知 aa1 平面mnp 而aa1 平面a1b1c1d1 平面mnp 平面a1b1c1d1 故 对 综上所述 其中正确命题的序号是 答案 拓展提高空间中两直线位置关系的判定 主要是异面 平行和垂直的判定 对于异面直线 可采用直接法或反证法 对于平行直线 可利用三角形 梯形 中位线的性质 公理4及线面平行与面面平行的性质定理 对于垂直关系 往往利用线面垂直的性质来解决 活学活用1如图是正四面体的平面展开图 g h m n分别为de be ef ec的中点 在这个正四面体中 gh与ef平行 bd与mn为异面直线 gh与mn成60 角 de与mn垂直 以上四个命题中 正确命题的序号是 解析 如图所示 gh与ef为异面直线 bd与mn为异面直线 gh与mn成60 角 de mn 答案 考向三异面直线所成的角例3 2015 宁波调研 正方体abcd a1b1c1d1中 1 求ac与a1d所成角的大小 2 若e f分别为ab ad的中点 求a1c1与ef所成角的大小 思路点拨 1 平移a1d到b1c 找出ac与a1d所成的角 再计算 2 可证a1c1与ef垂直 解 1 如图所示 连接ab1 b1c 由abcd a1b1c1d1是正方体 易知a1d b1c 从而b1c与ac所成的角就是ac与a1d所成的角 ab1 ac b1c b1ca 60 即a1d与ac所成的角为60 2 如图所示 连接ac bd 在正方体abcd a1b1c1d1中 ac bd ac a1c1 e f分别为ab ad的中点 ef bd ef ac ef a1c1 即a1c1与ef所成的角为90 拓展提高求异面直线所成角的一般步骤为 1 平移 选择适当的点 平移异面直线中的一条或两条成为相交直线 这里的点通常选择特殊位置的点 如线段的中点或端点 也可以是异面直线中某一条直线上的特殊点 2 证明 证明所作的角是异面直线所成的角 3 寻找 在立体图形中 寻找或作出含有此角的三角形 并解之 易错警示12平面直线所成的角与三角形内角混淆典例 2015 广州模拟 已知三棱锥a bcd中 ab cd 且直线ab与cd成60 角 点m n分别是bc ad的中点 求直线ab和mn所成的角 正解 如图 取ac的中点p 则 pmn是等边三角形 所以 pmn 60 即ab与mn所成的角为60 若 mpn 120 则易知 pmn是等腰三角形 所以 pmn 30 即ab与mn所成的角为30 故直线ab和mn所成的角为60 或30 易错分析 在 mpn中 找不清ab与cd ab与mn所成的角 只得出 mpn 60 一种情况 而忽略另一种情况 mpn 120 即混淆了异面直线所成的角与三角形内角 防范措施 1 在用平行平移将异面直线所成的角转化为三角形的内角时 不要忽视对三角形的内角 即为两异面直线所成的角 或其补角 的叙述 也就是平移线段后形成的三角形的内角为钝角时 其对应的异面直线所成的角为它的补角 求异面直线所成的角务必注意范围 0 90 2 解三角形时要注意分析三角形是否为特殊三角形 可使解答简单 如本题的等腰三角形 解 取ac的中点f 连接ef bf 在 acd中 e f分别是ad ac的中点 ef cd bef即为异面直线be与cd所成的角或其补角 思维升华 方法与技巧 1 主要题型的解题方法 1 要证明 线共面 或 点共面 可先由部分直线或点确定一个平面 再证其余直线或点也在这个平面内 即 纳入法 2 要证明 点共线 可将线看作两个平面的交线 只要证明这些点都是这两个平面