高考数学大一轮复习 2.3函数的奇偶性与周期性课件 理 苏教版.ppt

2 3函数的奇偶性与周期性 数学苏 理 第二章函数概念与基本初等函数 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 思想方法 感悟提高 练出高分 1 函数的奇偶性 f x f x y轴 f x f x 原点 2 周期性 1 周期函数 对于函数y f x 如果存在一个非零常数t 使得当x取定义域内的任何值时 都有 那么就称函数y f x 为周期函数 称t为这个函数的周期 2 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中的正数 那么这个最小正数就叫做函数f x 的最小正周期 f x t f x 存在一 个最小 思考辨析 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 函数f x 0 x 0 既是奇函数又是偶函数 2 若函数y f x a 是偶函数 则函数y f x 关于直线x a对称 3 若函数y f x b 是奇函数 则函数y f x 关于点 b 0 中心对称 2 1 0 1 1 解析 函数的周期是2 解析 思维升华 解定义域为r 关于原点对称 又f x x 3 x x3 x x3 x f x 所以函数为奇函数 解析 思维升华 1 利用定义判断函数奇偶性的步骤 解析 思维升华 2 在判断奇偶性的运算中 可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式 f x f x 0 奇函数 或f x f x 0 偶函数 是否成立 解析 思维升华 解析 思维升华 函数定义域不关于原点对称 函数为非奇非偶函数 解析 思维升华 1 利用定义判断函数奇偶性的步骤 解析 思维升华 2 在判断奇偶性的运算中 可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式 f x f x 0 奇函数 或f x f x 0 偶函数 是否成立 解析 思维升华 解析 思维升华 f x x 2 x x2 x x2 x f x 解析 思维升华 当x0 f x x2 x f x x 2 x x2 x x2 x f x 所以对于x 0 0 均有f x f x 函数为奇函数 解析 思维升华 1 利用定义判断函数奇偶性的步骤 解析 思维升华 2 在判断奇偶性的运算中 可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式 f x f x 0 奇函数 或f x f x 0 偶函数 是否成立 解析 思维升华 跟踪训练1 1 若函数f x 3x 3 x与g x 3x 3 x的定义域均为r 则下列命题正确的是 f x 与g x 均为偶函数 f x 为偶函数 g x 为奇函数 f x 与g x 均为奇函数 f x 为奇函数 g x 为偶函数 2 已知f x 是定义在r上的奇函数 且当x 0时 f x 2x 3 则f 2 又f x 为奇函数 f 2 f 2 1 1 解析 答案 思维升华 题型二函数周期性的应用 利用函数的周期性求解 f x 6 f x t 6 当 3 x 1时 f x x 2 2 当 1 x 3时 f x x f 1 1 f 2 2 f 3 f 3 1 解析 答案 思维升华 例2 1 定义在r上的函数f x 满足f x 6 f x 当 3 x 1时 f x x 2 2 当 1 x 3时 f x x 则f 1 f 2 f 3 f 2015 题型二函数周期性的应用 f 4 f 2 0 f 5 f 1 1 f 6 f 0 0 f 1 f 2 f 6 1 f 1 f 2 f 3 f 2015 f 2016 解析 答案 思维升华 例2 1 定义在r上的函数f x 满足f x 6 f x 当 3 x 1时 f x x 2 2 当 1 x 3时 f x x 则f 1 f 2 f 3 f 2015 题型二函数周期性的应用 又f 2016 f 0 0 f 1 f 2 f 3 f 2015 336 解析 答案 思维升华 例2 1 定义在r上的函数f x 满足f x 6 f x 当 3 x 1时 f x x 2 2 当 1 x 3时 f x x 则f 1 f 2 f 3 f 2015 又f 2016 f 0 0 f 1 f 2 f 3 f 2015 336 题型二函数周期性的应用 336 解析 答案 思维升华 例2 1 定义在r上的函数f x 满足f x 6 f x 当 3 x 1时 f x x 2 2 当 1 x 3时 f x x 则f 1 f 2 f 3 f 2015 1 函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质 对函数周期性的考查 主要涉及函数周期性的判断 利用函数周期性求值 题型二函数周期性的应用 336 解析 答案 思维升华 例2 1 定义在r上的函数f x 满足f x 6 f x 当 3 x 1时 f x x 2 2 当 1 x 3时 f x x 则f 1 f 2 f 3 f 2015 题型二函数周期性的应用 336 解析 答案 思维升华 例2 1 定义在r上的函数f x 满足f x 6 f x 当 3 x 1时 f x x 2 2 当 1 x 3时 f x x 则f 1 f 2 f 3 f 2015 2 求函数周期的方法 答案 思维升华 解析 由已知 可得f x 4 f x 2 2 故函数的周期为4 答案 思维升华 解析 f 105 5 f 4 27 2 5 f 2 5 f 2 5 2 2 5 3 由题意 得f 2 5 2 5 f 105 5 2 5 答案 思维升华 解析 f 105 5 f 4 27 2 5 f 2 5 f 2 5 2 2 5 3 由题意 得f 2 5 2 5 f 105 5 2 5 答案 思维升华 解析 2 5 答案 思维升华 解析 1 函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质 对函数周期性的考查 主要涉及函数周期性的判断 利用函数周期性求值 2 5 答案 思维升华 解析 2 求函数周期的方法 2 5 跟踪训练2 1 若f x 是r上周期为5的奇函数 且满足f 1 1 f 2 2 则f 3 f 4 1 f 3 f 2 f 2 2 f 4 f 1 f 1 1 f 3 f 4 1 题型三函数性质的综合应用 答案 思维升华 解析 偶函数满足f x f x 根据这个结论 答案 思维升华 解析 题型三函数性质的综合应用 答案 思维升华 解析 题型三函数性质的综合应用 答案 思维升华 解析 题型三函数性质的综合应用 1 关于奇偶性 单调性 周期性的综合性问题 关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题 答案 思维升华 解析 题型三函数性质的综合应用 答案 思维升华 解析 题型三函数性质的综合应用 2 掌握以下两个结论 会给解题带来方便 f x 为偶函数 f x f x 若奇函数在x 0处有意义 则f 0 0 例3 2 已知定义在r上的奇函数f x 满足f x 4 f x 且在区间 0 2 上是增函数 若a f 25 b f 11 c f 80 则a b c的大小关系为 答案 思维升华 解析 由函数f x 是奇函数且f x 在 0 2 上是增函数可以推知 f x 在 2 2 上递增 又f x 4 f x f x 8 f x 4 f x 故函数f x 以8为周期 答案 思维升华 解析 例3 2 已知定义在r上的奇函数f x 满足f x 4 f x 且在区间 0 2 上是增函数 若a f 25 b f 11 c f 80 则a b c的大小关系为 f 25 f 1 f 11 f 3 f 3 4 f 1 f 80 f 0 故f 25 f 80 f 11 即a c b 答案 思维升华 解析 例3 2 已知定义在r上的奇函数f x 满足f x 4 f x 且在区间 0 2 上是增函数 若a f 25 b f 11 c f 80 则a b c的大小关系为 答案 思维升华 解析 例3 2 已知定义在r上的奇函数f x 满足f x 4 f x 且在区间 0 2 上是增函数 若a f 25 b f 11 c f 80 则a b c的大小关系为 a c b f 25 f 1 f 11 f 3 f 3 4 f 1 f 80 f 0 故f 25 f 80 f 11 即a c b 答案 思维升华 解析 1 关于奇偶性 单调性 周期性的综合性问题 关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题 例3 2 已知定义在r上的奇函数f x 满足f x 4 f x 且在区间 0 2 上是增函数 若a f 25 b f 11 c f 80 则a b c的大小关系为 a c b 2 掌握以下两个结论 会给解题带来方便 f x 为偶函数 f x f x 若奇函数在x 0处有意义 则f 0 0 答案 思维升华 解析 例3 2 已知定义在r上的奇函数f x 满足f x 4 f x 且在区间 0 2 上是增函数 若a f 25 b f 11 c f 80 则a b c的大小关系为 a c b 跟踪训练3 1 设f x 是定义在r上的奇函数 当x 0时 f x 2x2 x 则f 1 f x 2x2 x f 1 f 1 2 1 2 1 3 3 2 2013 天津改编 已知函数f x 是定义在r上的偶函数 且在区间 0 上单调递增 若实数a满足f log2a f a 2f 1 则a的取值范围是 f x 是r上的偶函数 f log2a f log2a f a 2 2013 天津改编 已知函数f x 是定义在r上的偶函数 且在区间 0 上单调递增 若实数a满足f log2a f a 2f 1 则a的取值范围是 2f log2a 2f 1 即f log2a f 1 又因f x 在 0 上递增 2 2013 天津改编 已知函数f x 是定义在r上的偶函数 且在区间 0 上单调递增 若实数a满足f log2a f a 2f 1 则a的取值范围是 易错警示系列3忽视定义域致误 典例 1 若函数f x 在定义域上为奇函数 则实数k 易错分析 解析 温馨提醒 易错警示系列3忽视定义域致误 典例 1 若函数f x 在定义域上为奇函数 则实数k 解题中忽视函数f x 的定义域 直接通过计算f 0 0得k 1 易错分析 解析 温馨提醒 易错警示系列3忽视定义域致误 典例 1 若函数f x 在定义域上为奇函数 则实数k f x f x 易错分析 解析 温馨提醒 易错警示系列3忽视定义域致误 典例 1 若函数f x 在定义域上为奇函数 则实数k 易错分析 解析 温馨提醒 易错警示系列3忽视定义域致误 典例 1 若函数f x 在定义域上为奇函数 则实数k 由f x f x 0可得k2 1 k 1 1 易错分析 解析 温馨提醒 易错警示系列3忽视定义域致误 典例 1 若函数f x 在定义域上为奇函数 则实数k 已知函数的奇偶性 利用特殊值确定参数 要注意函数的定义域 1 易错分析 解析 温馨提醒 易错分析 解析 温馨提醒 本题易出现以下错误 由f 1 x2 f 2x 得1 x2 2x 忽视了1 x2 0导致解答失误 易错分析 解析 温馨提醒 由图象可知 若f 1 x2 f 2x 易错分析 解析 温馨提醒 易错分析 解析 温馨提醒 解决分段函数的单调性问题时 应高度关注 对变量所在区间的讨论 保证各段上同增 减 时 要注意左 右段端点值间的大小关系 弄清最终结果取并集还是交集 易错分析 解析 温馨提醒 方法与技巧 1 判断函数的奇偶性 首先应该判断函数定义域是否关于原点对称 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件 2 利用函数奇偶性可以解决以下问题 求函数值 求解析式 求函数解析式中参数的值 画函数图象 确定函数单调性 方法与技巧 失误与防范 1 f 0 0既不是f x 是奇函数的充分条件 也不是必要条件 2 判断分段函数的奇偶性要有整体的观点 可以分类讨论 也可利用图象进行判断 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 2013 广东改编 定义域为r的四个函数y x3 y 2x y x2 1 y 2sinx中 奇函数的个数是 解析由奇函数的定义可知y x3 y 2sinx为奇函数 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 已知f x 在r上是奇函数 且f x 4 f x 当x 0 2 时 f x 2x2 则f 7 等于 解析f 7 f 3 f 1 f 1 2 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 答案 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解析由题意知f x 为偶函数 所以f 2 f 2 又x 0 时 f x 为减函数 且3 2 1 f 3 f 2 f 1 即f 3 f 2 f 1 答案 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 该函数的定义域是 2 0 0 2 且满足f x f x 故函数f x 是奇函数 答案 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 当x0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 又f x 在 0 上为增函数 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解析方法一令x 1 y 0时 4f 1 f 0 f 1 f 1 解得f 0 令x 1 y 1时 4f 1 f 1 f 2 f 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 令x 2 y 1时 4f 2 f 1 f 3 f 1 可知f x 是以6为周期的函数 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 4f x f y f x y f x y 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 9 设f x 是 上的奇函数 f x 2 f x 当0 x 1时 f x x 1 求f 的值 解由f x 2 f x 得 f x 4 f x 2 2 f x 2 f x 所以f x 是以4为周期的周期函数 f f 1 4 f 4 f 4 4 4 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 当 4 x 4时 求f x 的图象与x轴所围成图形的面积 解由f x 是奇函数与f x 2 f x 得 f x 1 2 f x 1 f x 1 即f 1 x f 1 x 故知函数y f x 的图象关于直线x 1对称 又当0 x 1时 f x x 且f x 的图象关于原点成中心对称 则f x 的图象如图所示 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 当 4 x 4时 f x 的图象与x轴围成的图形面积为s 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解设x0 所以f x x 2 2 x x2 2x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 又f x 为奇函数 所以f x f x 于是x 0时 f x x2 2x x2 mx 所以m 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 若函数f x 在区间 1 a 2 上单调递增 求实数a的取值范围 解由 1 知f x 在 1 1 上是增函数 要使f x 在 1 a 2 上单调递增 所以1 a 3 故实数a的取值范围是 1 3 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 1 已知定义在r上的奇函数f x 和偶函数g x 满足f x g x ax a x 2 a 0 且a 1 若g 2 a 则f 2 解析 f x 为奇函数 g x 为偶函数 f 2 f 2 g 2 g 2 a f 2 g 2 a2 a 2 2 f 2 g 2 g 2 f 2 a 2 a2 2 由 联立 g 2 a 2 f 2 a2 a 2 2 3 4 5 1 解析函数f x 为奇函数 则f 1 f 1 由f 1 f 1 1 得f 1 1 函数的最小正周期t 3 则f 1 f 2 2 3 4 5 1 3 设函数f x 是定义在r上的偶函数 且对任意的x r恒有f x 1 f x 1 已知当x 0 1 时 f x 2x 则有 2是函数f x 的周期 函数f x 在 1 2 上是减函数 在 2 3 上是增函数 函数f x 的最大值是1 最小值是0 其中所有正确命题的序号是 2 3 4 5 1 解析在f x 1 f x 1 中 令x 1 t 则有f t 2 f t 因此2是函数f x 的周期 故 正确 当x 0 1