高考数学大一轮复习 2.4二次函数与幂函数课件 理 苏教版.ppt

2 4二次函数与幂函数 数学苏 理 第二章函数概念与基本初等函数 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 思想方法 感悟提高 练出高分 1 二次函数 1 二次函数解析式的三种形式 一般式 f x 顶点式 f x 零点式 f x ax2 bx c a 0 a x m 2 n a 0 a x x1 x x2 a 0 2 二次函数的图象和性质 2 幂函数 1 定义 形如 r 的函数称为幂函数 其中x是自变量 是常数 2 幂函数的图象比较 y x 3 幂函数的性质比较 特征 函数 性质 r r r 0 x x r且x 0 r 0 r 0 y y r且y 0 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 增 x 0 时 增 x 0 时 减 x 0 时 减 x 0 时 减 增 增 思考辨析 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 二次函数y ax2 bx c x a b 的最值一定是 2 二次函数y ax2 bx c x r 不可能是偶函数 3 幂函数的图象都经过点 1 1 和点 0 0 4 当n 0时 幂函数y xn是定义域上的增函数 5 若函数f x k2 1 x2 2x 3在 2 上单调递增 则k 6 已知f x x2 4x 5 x 0 3 则f x max f 0 5 f x min f 3 2 2 1或2 1 2 解析 作出二次函数f x 的草图 对于任意x m m 1 都有f x 0 解析 思维升华 解当a 2时 f x x2 4x 3 x 2 2 1 由于x 4 6 f x 在 4 2 上单调递减 在 2 6 上单调递增 f x 的最小值是f 2 1 又f 4 35 f 6 15 故f x 的最大值是35 解析 思维升华 1 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型 轴定区间定 轴动区间定 轴定区间动 不论哪种类型 解决的关键都是考查对称轴与区间的关系 当含有参数时 要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论 解析 思维升华 2 二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解 解析 思维升华 解析 思维升华 例1 2 求实数a的取值范围 使y f x 在区间 4 6 上是单调函数 解由于函数f x 的图象开口向上 对称轴是x a 所以要使f x 在 4 6 上是单调函数 应有 a 4或 a 6 即a 6或a 4 解析 思维升华 例1 2 求实数a的取值范围 使y f x 在区间 4 6 上是单调函数 1 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型 轴定区间定 轴动区间定 轴定区间动 不论哪种类型 解决的关键都是考查对称轴与区间的关系 当含有参数时 要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论 解析 思维升华 例1 2 求实数a的取值范围 使y f x 在区间 4 6 上是单调函数 2 二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解 解析 思维升华 例1 2 求实数a的取值范围 使y f x 在区间 4 6 上是单调函数 解析 思维升华 例1 3 当a 1时 求f x 的单调区间 解当a 1时 f x x2 2x 3 f x x2 2 x 3 此时定义域为x 6 6 解析 思维升华 例1 3 当a 1时 求f x 的单调区间 f x 的单调递增区间是 0 6 单调递减区间是 6 0 解析 思维升华 例1 3 当a 1时 求f x 的单调区间 1 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型 轴定区间定 轴动区间定 轴定区间动 不论哪种类型 解决的关键都是考查对称轴与区间的关系 当含有参数时 要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论 解析 思维升华 例1 3 当a 1时 求f x 的单调区间 2 二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解 解析 思维升华 例1 3 当a 1时 求f x 的单调区间 跟踪训练1 1 如果函数f x x2 a 2 x b x a b 的图象关于直线x 1对称 则函数f x 的最小值为 则f x x2 2x 6 x 1 2 5 5 所以函数f x 的最小值为5 5 2 若函数f x 2x2 mx 1在区间 1 上递增 则f 1 的取值范围是 3 1 m 4 又f 1 1 m 3 f 1 3 解析 思维升华 解由题意得f 1 a b 1 0 a 0 f x x2 2x 1 单调减区间为 1 单调增区间为 1 解析 思维升华 有关二次函数的问题 数形结合 密切联系图象是探求解题思路的有效方法 用函数思想研究方程 不等式 尤其是恒成立 问题是高考命题的热点 解析 思维升华 解析 思维升华 例2 2 在 1 的条件下 f x x k在区间 3 1 上恒成立 试求k的范围 解f x x k在区间 3 1 上恒成立 转化为x2 x 1 k在区间 3 1 上恒成立 设g x x2 x 1 x 3 1 例2 2 在 1 的条件下 f x x k在区间 3 1 上恒成立 试求k的范围 解析 思维升华 则g x 在 3 1 上递减 g x min g 1 1 k 1 即k的取值范围为 1 例2 2 在 1 的条件下 f x x k在区间 3 1 上恒成立 试求k的范围 解析 思维升华 例2 2 在 1 的条件下 f x x k在区间 3 1 上恒成立 试求k的范围 有关二次函数的问题 数形结合 密切联系图象是探求解题思路的有效方法 用函数思想研究方程 不等式 尤其是恒成立 问题是高考命题的热点 解析 思维升华 跟踪训练2已知函数f x x2 2ax 2 x 5 5 1 当a 1时 求函数f x 的最大值和最小值 所以当x 1时 f x 取得最小值1 当x 5时 f x 取得最大值37 2 求实数a的取值范围 使y f x 在区间 5 5 上是单调函数 因为y f x 在区间 5 5 上是单调函数 所以 a 5或 a 5 即a 5或a 5 故a的取值范围是 5 5 答案 思维升华 解析 由于f x 为幂函数 所以n2 2n 2 1 解得n 1或n 3 经检验只有n 1适合题意 答案 思维升华 解析 由于f x 为幂函数 所以n2 2n 2 1 解得n 1或n 3 经检验只有n 1适合题意 1 答案 思维升华 解析 1 幂函数的形式是y x r 其中只有一个参数 因此只需一个条件即可确定其解析式 2 若幂函数y x r 是偶函数 则 必为偶数 当 是分数时 一般将其先化为根式 再判断 1 答案 思维升华 解析 3 若幂函数y x 在 0 上单调递增 则 0 若在 0 上单调递减 则 0 1 答案 思维升华 解析 答案 思维升华 解析 例3 2 若 则实数m的取值范围是 例3 2 若 则实数m的取值范围是 因为函数y 的定义域为 0 且在定义域内为增函数 答案 思维升华 解析 例3 2 若 则实数m的取值范围是 解2m 1 0 得m 解2m 1 m2 m 1 得 1 m 2 答案 思维升华 解析 解2m 1 0 得m 解2m 1 m2 m 1 得 1 m 2 例3 2 若 则实数m的取值范围是 答案 思维升华 解析 例3 2 若 则实数m的取值范围是 1 幂函数的形式是y x r 其中只有一个参数 因此只需一个条件即可确定其解析式 2 若幂函数y x r 是偶函数 则 必为偶数 当 是分数时 一般将其先化为根式 再判断 答案 思维升华 解析 例3 2 若 则实数m的取值范围是 3 若幂函数y x 在 0 上单调递增 则 0 若在 0 上单调递减 则 0 答案 思维升华 解析 跟踪训练3 1 已知幂函数f x m2 m 1 x 5m 3在 0 上是增函数 则m 1 当m 2时 5m 3 13 函数y x 13在 0 上是减函数 当m 1时 5m 3 2 函数y x2在 0 上是增函数 m 1 2 若 则实数a的取值范围是 思想与方法系列2分类讨论思想在二次函数最值中的应用 典例 14分 已知f x ax2 2x 0 x 1 求f x 的最小值 思维点拨 规范解答 温馨提醒 参数a的值确定f x 图象的形状 a 0时 函数f x 的图象为抛物线 还要考虑开口方向和对称轴位置 思想与方法系列2分类讨论思想在二次函数最值中的应用 典例 14分 已知f x ax2 2x 0 x 1 求f x 的最小值 思维点拨 规范解答 温馨提醒 思想与方法系列2分类讨论思想在二次函数最值中的应用 典例 14分 已知f x ax2 2x 0 x 1 求f x 的最小值 解 1 当a 0时 f x 2x在 0 1 上递减 f x min f 1 2 2 当a 0时 f x ax2 2x图象的开口方向向上 且对称轴为x 思维点拨 规范解答 温馨提醒 思想与方法系列2分类讨论思想在二次函数最值中的应用 典例 14分 已知f x ax2 2x 0 x 1 求f x 的最小值 当 1 即a 1时 f x ax2 2x图象的对称轴在 0 1 内 f x 在 0 上递减 在 1 上递增 f x min f 思维点拨 规范解答 温馨提醒 思想与方法系列2分类讨论思想在二次函数最值中的应用 典例 14分 已知f x ax2 2x 0 x 1 求f x 的最小值 当 1 即0 a 1时 f x ax2 2x图象的对称轴在 0 1 的右侧 f x 在 0 1 上递减 f x min f 1 a 2 思维点拨 规范解答 温馨提醒 思想与方法系列2分类讨论思想在二次函数最值中的应用 典例 14分 已知f x ax2 2x 0 x 1 求f x 的最小值 3 当a 0时 f x ax2 2x的图象的开口方向向下 且对称轴x 0 在y轴的左侧 f x ax2 2x在 0 1 上递减 f x min f 1 a 2 思维点拨 规范解答 温馨提醒 思想与方法系列2分类讨论思想在二次函数最值中的应用 典例 14分 已知f x ax2 2x 0 x 1 求f x 的最小值 思维点拨 规范解答 温馨提醒 思想与方法系列2分类讨论思想在二次函数最值中的应用 典例 14分 已知f x ax2 2x 0 x 1 求f x 的最小值 1 本题在求二次函数最值时 用到了分类讨论思想 求解中既对系数a的符号进行了讨论 又对对称轴进行讨论 在分类讨论时要遵循分类的原则 一是分类的标准要一致 二是分类时要做到不重不漏 三是能不分类的要尽量避免分类 绝不无原则的分类讨论 2 在有关二次函数最值的求解中 若轴定区间动 仍应对区间进行分类讨论 思维点拨 规范解答 温馨提醒 方法与技巧 1 二次函数的三种形式 1 已知三个点的坐标时 宜用一般式 2 已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大 小 值有关的量时 常使用顶点式 3 已知二次函数与x轴有两个交点 且横坐标已知时 选用零点式求解更方便 方法与技巧 2 二次函数 二次方程 二次不等式间相互转化的一般规律 1 在研究一元二次方程根的分布问题时 常借助于二次函数的图象数形结合来解 一般从 开口方向 对称轴位置 判别式 端点函数值符号 四个方面分析 方法与技巧 2 在研究一元二次不等式的有关问题时 一般需借助于二次函数的图象 性质求解 3 幂函数y x r 图象的特征 0时 图象过原点和 1 1 在第一象限的图象上升 0时 图象不过原点 在第一象限的图象下降 反之也成立 失误与防范 1 对于函数y ax2 bx c 要认为它是二次函数 就必须满足a 0 当题目条件中未说明a 0时 就要讨论a 0和a 0两种情况 2 幂函数的图象一定会出现在第一象限内 一定不会出现在第四象限 至于是否出现在第二 三象限内 要看函数的奇偶性 幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内 如果幂函数图象与坐标轴相交 则交点一定是原点 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 如果函数f x x2 ax 3在区间 4 上单调递减 则实数a的取值范围是 a 8 解析函数图象的对称轴为x 由题意得 4 解得a 8 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 已知函数f x x2 2x g x ax 2 a 0 若 x1 1 2 x2 1 2 使得f x1 g x2 则实数a的取值范围是 解析由函数f x x2 2x x 1 2 1 当x 1 2 时 f x min f 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 f x max f 1 3 即函数f x 的值域为 1 3 当x 1 2 时 函数g x min g 1 a 2 g x max g 2 2a 2 解得a 3 答案 3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3 如果函数f x x2 bx c对任意的实数x 都有f 1 x f x 那么 f 2 f 0 f 2 f 0 f 2 f 2 f 2 f 0 f 2 f 0 f 2 f 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解析由f 1 x f x 知f x 的图象关于x 对称 又抛物线开口向上 结合图象可知f 0 f 2 f 2 答案 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解析因为函数f x 在 0 上是增函数 答案 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 5 若函数f x x2 ax a在区间 0 2 上的最大值为1 则实数a 解析 函数f x x2 ax a的图象为开口向上的抛物线 函数的最大值在区间的端点取得 f 0 a f 2 4 3a 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 6 a 1 是 函数f x x2 4ax 3在区间 2 上为增函数 的 条件 充分不必要 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 7 对于任意实数x 函数f x 5 a x2 6x a 5恒为正值 则a的取值范围是 解得 4 a 4 4 4 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解析当 1 1 3时 y x 的图象经过第一 三象限 二 四 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 9 设函数y x2 2x x 2 a 求函数的最小值g a 解 函数y x2 2x x 1 2 1 对称轴为直线x 1 而x 1不一定在区间 2 a 内 应进行讨论 当 2 a 1时 函数在 2 a 上单调递减 则当x a时 ymin a2 2a 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 当a 1时 函数在 2 1 上单调递减 在 1 a 上单调递增 则当x 1时 ymin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 10 已知二次函数f x 的二次项系数为a 且不等式f x 2x的解集为 1 3 若方程f x 6a 0有两个相等的根 求f x 的单调区间 解 f x 2x 0的解集为 1 3 设f x 2x a x 1 x 3 且a 0 f x a x 1 x 3 2x ax2 2 4a x 3a 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 由方程f x 6a 0得ax2 2 4a x 9a 0 方程 有两个相等的根 2 4a 2 4a 9a 0 解得a 1或a 由于a 0 舍去a 1 将a 代入 式得 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 函数f x 的单调增区间是 3 单调减区间是 3 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 1 已知函数f x x2 2ax 2a 4的定义域为r 值域为 1 则a的值为 解析由于函数f x 的