高考数学大一轮复习 8.5空间向量及其运算课件 理 苏教版.ppt

8 5空间向量及其运算 第八章立体几何 数学苏 理 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 思想方法 感悟提高 练出高分 1 空间向量的有关概念 0 1 相同 相等 相反 相等 平行或重合 平面 2 空间向量中的有关定理 1 共线向量定理对空间任意两个向量a b a 0 a与b共线的充要条件是存在实数 使得 其中a叫直线l的方向向量 t r b a 1 t t 1 xa yb 3 空间向量基本定理如果三个向量e1 e2 e3不共面 那么对空间任一向量p存在唯一的有序实数组 x y z 使p 空间中不共面的三个向量e1 e2 e3叫作这个空间的一个基底 xe1 ye2 ze3 3 两个向量的数量积 1 非零向量a b的数量积a b a b cos a b 2 空间向量数量积的运算律 结合律 a b 交换律 a b b a 分配律 a b c a b a c a b 4 空间向量的坐标表示及应用 a1b1 a2b2 a3b3 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1b1 a2b2 a3b3 0 思考辨析 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 空间中任意两非零向量a b共面 2 在向量的数量积运算中 a b c a b c 3 对于非零向量b 由a b b c 则a c 4 两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同 6 a b a b 是a b共线的充要条件 解析 解析 思维升华 思维点拨 题型一空间向量的线性运算 利用空间向量的加减法和数乘运算表示即可 题型一空间向量的线性运算 解析 思维升华 思维点拨 题型一空间向量的线性运算 解析 思维升华 思维点拨 题型一空间向量的线性运算 解析 思维升华 思维点拨 用已知向量来表示未知向量 一定要结合图形 以图形为指导是解题的关键 要正确理解向量加法 减法与数乘运算的几何意义 首尾相接的若干向量之和 等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量 我们把这个法则称为向量加法的多边形法则 题型一空间向量的线性运算 解析 思维升华 思维点拨 题型二共线定理 共面定理的应用 例2已知e f g h分别是空间四边形abcd的边ab bc cd da的中点 1 求证 e f g h四点共面 解析 思维升华 思维点拨 题型二共线定理 共面定理的应用 例2已知e f g h分别是空间四边形abcd的边ab bc cd da的中点 1 求证 e f g h四点共面 解析 思维升华 思维点拨 题型二共线定理 共面定理的应用 例2已知e f g h分别是空间四边形abcd的边ab bc cd da的中点 1 求证 e f g h四点共面 证明连结bg 解析 思维升华 思维点拨 题型二共线定理 共面定理的应用 例2已知e f g h分别是空间四边形abcd的边ab bc cd da的中点 1 求证 e f g h四点共面 由共面向量定理的推论知 e f g h四点共面 解析 思维升华 思维点拨 题型二共线定理 共面定理的应用 例2已知e f g h分别是空间四边形abcd的边ab bc cd da的中点 1 求证 e f g h四点共面 解析 思维升华 思维点拨 题型二共线定理 共面定理的应用 例2已知e f g h分别是空间四边形abcd的边ab bc cd da的中点 1 求证 e f g h四点共面 解析 思维升华 思维点拨 题型二共线定理 共面定理的应用 例2已知e f g h分别是空间四边形abcd的边ab bc cd da的中点 1 求证 e f g h四点共面 解析 思维升华 思维点拨 解析 思维升华 例2 2 求证 bd 平面efgh 思维点拨 例2 2 求证 bd 平面efgh 解析 思维升华 思维点拨 例2 2 求证 bd 平面efgh 所以eh bd 又eh 平面efgh bd 平面efgh 所以bd 平面efgh 解析 思维升华 思维点拨 例2 2 求证 bd 平面efgh 解析 思维升华 思维点拨 例2 2 求证 bd 平面efgh 解析 思维升华 思维点拨 例2 2 求证 bd 平面efgh 解析 思维升华 思维点拨 解析 思维升华 思维点拨 解析 思维升华 思维点拨 证明找一点o 并连结om oa ob oc od oe og 解析 思维升华 思维点拨 即eh綊fg 所以四边形efgh是平行四边形 所以eg fh交于一点m且被m平分 解析 思维升华 思维点拨 解析 思维升华 思维点拨 解析 思维升华 思维点拨 解析 思维升华 思维点拨 解析 思维升华 思维点拨 跟踪训练2如图 正方体abcd a1b1c1d1中 e是a1b上的点 f是ac上的点 且a1e 2eb cf 2af 则ef与平面a1b1cd的位置关系为 跟踪训练2如图 正方体abcd a1b1c1d1中 e是a1b上的点 f是ac上的点 且a1e 2eb cf 2af 则ef与平面a1b1cd的位置关系为 且ef 平面a1b1cd db1 平面a1b1cd 所以ef 平面a1b1cd 平行 题型三空间向量数量积的应用 解析 思维升华 题型三空间向量数量积的应用 解 a 1 1 0 b 1 0 2 a b 1 1 0 1 0 2 1 解析 思维升华 题型三空间向量数量积的应用 即向量a与向量b的夹角的余弦值为 解析 思维升华 题型三空间向量数量积的应用 1 利用向量的数量积可证明直线的垂直关系 也可以利用垂直关系 通过向量共线确定点在线段上的位置 2 利用夹角公式 可以求异面直线所成的角 也可以求二面角 解析 思维升华 题型三空间向量数量积的应用 3 可以通过 a 将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解 解析 思维升华 解析 思维升华 例3 2 若ka b与ka 2b互相垂直 求实数k的值 例3 2 若ka b与ka 2b互相垂直 求实数k的值 解方法一 ka b k 1 k 2 ka 2b k 2 k 4 且ka b与ka 2b互相垂直 k 1 k 2 k 2 k 4 k 1 k 2 k2 8 0 解析 思维升华 例3 2 若ka b与ka 2b互相垂直 求实数k的值 当ka b与ka 2b互相垂直时 解析 思维升华 例3 2 若ka b与ka 2b互相垂直 求实数k的值 ka b ka 2b k2a2 ka b 2b2 2k2 k 10 0 解析 思维升华 例3 2 若ka b与ka 2b互相垂直 求实数k的值 1 利用向量的数量积可证明直线的垂直关系 也可以利用垂直关系 通过向量共线确定点在线段上的位置 2 利用夹角公式 可以求异面直线所成的角 也可以求二面角 解析 思维升华 例3 2 若ka b与ka 2b互相垂直 求实数k的值 3 可以通过 a 将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解 解析 思维升华 跟踪训练3如图所示 已知空间四边形abcd的各边和对角线的长都等于a 点m n分别是ab cd的中点 1 求证 mn ab mn cd 由题意可知 p q r a 且p q r三向量两两夹角均为60 跟踪训练3如图所示 已知空间四边形abcd的各边和对角线的长都等于a 点m n分别是ab cd的中点 1 求证 mn ab mn cd 跟踪训练3如图所示 已知空间四边形abcd的各边和对角线的长都等于a 点m n分别是ab cd的中点 1 求证 mn ab mn cd 同理可证mn cd 2 求mn的长 2 求mn的长 3 求异面直线an与cm所成角的余弦值 3 求异面直线an与cm所成角的余弦值 3 求异面直线an与cm所成角的余弦值 易错警示系列11 两向量同向 意义不清致误 解析 易错分析 温馨提醒 典例 已知向量a 1 2 3 b x x2 y 2 y 并且a b同向 则x y的值分别为 将a b同向和a b混淆 没有搞清a b的意义 a b方向相同或相反 解析 易错分析 温馨提醒 解析 易错分析 温馨提醒 把 代入 得x2 x 2 0 x 2 x 1 0 解得x 2 或x 1当x 2时 y 6 当x 1时 y 3 解析 易错分析 温馨提醒 两向量a b反向 不符合题意 所以舍去 答案1 3 1 两向量平行和两向量同向不是等价的 同向是平行的一种情况 两向量同向能推出两向量平行 但反过来不成立 也就是说 两向量同向 是 两向量平行 的充分不必要条件 2 若两向量a b满足a b b 0 且 0则a b同向 在a b的坐标都是非零的条件下 a b的坐标对应成比例 解析 易错分析 温馨提醒 方法与技巧 1 利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础 2 利用共线向量定理 共面向量定理可以证明一些平行 共面问题 利用数量积运算可以解决一些距离 夹角问题 3 利用向量解立体几何题目的一般方法 把线段或角度转化为向量表示 用已知向量表示未知向量 然后通过向量的运算或证明去解决问题 失误与防范 1 向量的数量积满足交换律 分配律 即a b b a a b c a b a c成立 但 a b c a b c 不一定成立 2 求异面直线所成的角 一般可以转化为两向量的夹角 但要注意两种角的范围不同 最后应进行转化 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解析取bd的中点f 连结ef 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 如果三点a 1 5 2 b 2 4 1 c a 3 b 2 在同一条直线上 则a b的值分别为 3 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3 已知a b是异面直线 a b a c d b ac b bd b且ab 2 cd 1 则异面直线a b所成的角等于 所以异面直线a b所成的角等于60 60 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 4 空间四点a 2 3 6 b 4 3 2 c 0 0 1 d 2 0 2 填 在 或 不在 同一平面内 假设四点共面 由共面向量定理得 存在实数x y 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 由 得x y 1 代入 式不成立 矛盾 假设不成立 故四点不共面 答案不在 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 则 a b c a 且a b c三向量两两夹角为60 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 6 已知2a b 0 5 10 c 1 2 2 a c 4 b 12 则以b c为方向向量的两直线的夹角为 解析由题意得 2a b c 0 10 20 10 即2a c b c 10 又 a c 4 b c 18 b c 120 两直线的夹角为60 60 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 7 如图 在空间四边形oabc中 若oa 8 ab 6 ac 4 bc 5 oac 45 oab 60 则oa与bc所成角的余弦值为 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 a c b b a c c b a a c a b b a b c c b c a 0 方法二如图 在三棱锥a bcd中 不妨令其各棱长都相等 则正四面体的对棱互相垂直 答案0 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 9 已知向量a 1 3 2 b 2 1 1 点a 3 1 4 b 2 2 2 1 求 2a b 解 a 1 3 2 b 2 1 1 2a b 0 5 5 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 解假设存在点e 其坐标为e x y z 即 x 3 y 1 z 4 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 5 9 0 10 如图所示 四棱柱abcd a1b1c1d1中 底面为平行四边形 以顶点a为端点的三条棱长都为1 且两两夹角为60 1 求ac1的长 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 则 a b c 1 a b b c c a 60 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 a2 b2 c2 2 a b b c c a 2 求bd1与ac夹角的余弦值 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 b2 a2 a c b c 1 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 2 3 4 5 1 1 设向量a b c不共面 则下列集合可作为空间的一个基底的是 a b b a a a b b a b a b b a c a b c a b c 2 3 4 5 1 答案 2 3 4 5 1 2 以下命题中 正确的命题个数为 若a b共线 则a与b所在直线平行 若 a b c 为空间一个基底 则 a b b c c a 构成空间的另一个基底 若空间向量m n p满足m n n p 则m p 2 3 4 5 1 解析由共线向量知a与b所在直线可能重合知 错 若a b b c c a共面 则存在实数x y 使a b x b c y c a ya xb x y c a b c不共面 y 1 x 1 x y 0 x y无解 a b b c c a 能构成空间的一个基底 正确 由向量相等的定义知 正确 2 3 4 5 1 由共面向量定理的推论知 当x y z 1时 p a b c四点共面 错 答案2 2 3 4 5 1 3 已知e1 e2是夹角为60 的两个单位向量 则a e1 e2与b e1 2e2的夹角为 解析由题意知 e1 e2 1 2 3 4 5 1 所以