高中数学 2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布课件2 新人教A版必修3.ppt

2 2 1用样本的频率分布估计总体分布 1 理解用样本的频率分布估计总体分布的思想方法 2 会列频率分布表 会画频率分布直方图 频率分布折线图和茎叶图 1 本课重点是学会列频率分布表 画频率分布直方图 频率分布折线图和茎叶图 体会它们各自的特点 2 本课难点是理解用样本频率分布估计总体分布的意义与作用 1 用样本估计总体的两种情况 1 用样本的 估计总体的分布 2 用样本的 估计总体的数字特征 频率分布 数字特征 2 频率分布直方图的画法 3 频率分布折线图和总体密度曲线 光滑曲线 中点 4 茎叶图的概念茎是指 叶就是从茎的旁边生长出来的数 茎叶图可用来分析单组数据 也可以对两组数据进行比较 茎叶图不仅能够保留原始数据 而且能够展示数据的分布情况 中间的一列数 1 如何对样本数据进行分组 提示 对样本数据进行分组 一般样本容量越大 所分组数越多 2 在频率分布直方图中 各小长方形的面积表示什么 它们的总和是多少 提示 各小长方形的面积表示样本中落在该组内的数据的频率 总和等于1 3 一个容量为40的样本数据 分组后 组距与频数如下 5 10 5个 10 15 12个 15 20 7个 20 25 5个 25 30 7个 30 35 4个 则样本在区间 20 上的频率为 解析 在区间 20 上的频数为5 7 4 16 故所求频率为答案 0 4 4 200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示 则时速在 50 60 内的汽车大约有 辆 解析 时速在 50 60 内的频率为0 3 所以时速在 50 60 内的汽车大约有200 0 3 60 辆 答案 60 1 频率分布与总体分布频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小 总体分布是指总体取值的频率分布规律 我们通常用样本的频率分布表或频率分布直方图去估计总体的分布 2 频率分布表和频率分布直方图两者是对相同数据的两种不同表达方式 用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式 可展示数据的分布情况 通过作图既可以从数据中提取信息 又可以利用图形传递信息 可以让我们更清楚地看到整个样本数据的频率分布情况 并由此估计总体的分布情况 3 用茎叶图表示数据分布情况的优点及应用 1 优点 保留了原始数据 没有损失样本信息 数据可以随时记录 添加或修改 2 应用 从茎叶图中可以观察出样本数据的平均水平 也可以判断样本数据的分散程度 频率分布直方图的画法 技法点拨 频率分布直方图的特征 1 从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势 2 从频率分布直方图得不出原始的数据内容 把数据表示成直方图后 原有的具体数据信息就被抹掉了 典例训练 1 在用样本估计总体分布的过程中 下列说法正确的是 a 总体容量越大 估计越精确 b 总体容量越小 估计越精确 c 样本容量越大 估计越精确 d 样本容量越小 估计越精确 2 为了了解一大片经济林的生长情况 随机测量其中的100株的底部周长 得到如下数据表 长度单位 cm 1 列出频率分布表 2 绘制频率分布直方图 3 估计该片经济林中底部周长小于100cm的树木约占多少 周长不小于120cm的树木约占多少 解析 1 选c 样本容量越大 所涉及的数据越多 反映的信息越接近实际情况 即估计越精确 2 1 从表中可以看出 这组数据的最大值为135 最小值为80 故极差为55 可将其分为11组 组距为5 从第一组 80 85 开始 将各组的频数 频率和填入表中 2 绘制频率分布直方图 3 从频率分布表可以看出 该样本中小于100的频率为0 01 0 02 0 04 0 14 0 21 不小于120的频率为0 11 0 06 0 02 0 19 故可估计该片经济林中底部周长小于100cm的树木约占21 周长不小于120cm的树木约占19 归纳 绘制频率分布直方图的注意事项 提示 1 计算极差 需要找出这组数的最大值和最小值 当数据很多时 可选一个数当参照 2 将一批数据分组 目的是要描述数据分布规律 要根据数据多少来确定分组数目 一般来说 数据越多 分组越多 3 将数据分组 决定分点时 一般使分点比数据多一位小数 并且把第一组的起点稍微减小一点 4 列频率分布表时 可通过逐一判断各个数据落在哪个小组内 以 正 字确定各个小组内数据的个数 5 画频率分布直方图时 纵坐标表示频率与组距的比值 一定不能标成频率 变式训练 有一个容量为50的样本 数据分组及各组的频数如下 12 5 15 5 3 15 5 18 5 8 18 5 21 5 9 21 5 24 5 11 24 5 27 5 10 27 5 30 5 5 30 5 33 5 4 1 列出样本频率分布表 2 画出频率分布直方图 3 画出数据频率分布折线图 解析 1 频率分布表为 2 频率分布直方图为 3 数据频率分布折线图为 茎叶图的画法及应用 技法点拨 茎叶图的画法步骤 1 将所有两位数的十位数字 或三位数的百位与十位数字 作为 茎 茎按从小到大顺序排列 茎相同者共用一个茎 再画上竖线作为分界线 2 在分界线的另一侧对应茎处 记录下 叶 个位数字 典例训练 1 为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况 采用简单随机抽样的方法 从该校200名教师中抽取20名 调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数 结果用茎叶图表示如图 据此可估计该校上学期200名教师中 使用多媒体进行教学次数在 15 25 内的人数为 2 从两个班中各随机抽取10名学生 他们的数学成绩如下 甲班 76 74 82 96 66 76 78 72 52 68乙班 86 84 62 76 78 92 82 74 88 85画出茎叶图并分析两个班学生的数学学习情况 解析 1 在抽取的20名教师中 在 15 25 内的人数为6人 据此可估计该校上学期200名教师中 使用多媒体进行教学次数在 15 25 内的人数为60 答案 60 2 茎叶图如下 由茎叶图可知 乙班的数学成绩较好 而且较稳定 思考 若所给学生的成绩是150分满分 即有123 142等 如何画茎叶图 提示 可把茎确定为5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 叶相应去写 变式训练 如图是2012年青年歌手大奖赛中七位评委为甲 乙两名选手打出的分数的茎叶图 图中m为数字0 9中的一个 去掉一个最高分和一个最低分后 甲 乙两名选手得分的平均数分别为a1 a2 则一定有 a a1 a2 b a2 a1 c a1 a2 d a1 a2的大小与m的值有关 解析 选b 根据茎叶图可知 去掉一个最高分和一个最低分后 甲的平均分为乙的平均分为故a2 a1 频率分布直方图的应用 技法点拨 频率分布直方图的性质 1 每个小矩形的面积表示样本数据落在该组内的频率 2 所有小矩形的面积和等于1 3 利用一组的频数和频率 可以求样本容量 典例训练 1 观察新生婴儿的体重 其频率分布直方图如图所示 则新生婴儿体重在 2700 3000 的频率为 2 为了了解高一学生的体能情况 某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试 将所得数据整理后 画出频率分布直方图 如图 图中从左到右各小长方形面积之比为2 4 17 15 9 3 第二小组频数为12 1 第二小组的频率是多少 样本容量是多少 2 若次数在110以上 含110次 为达标 试估计该学校全体高一学生的达标率是多少 解析 1 根据频率分布直方图中小矩形的面积表示样本数据落在该区间内的频率 可得所求频率为0 001 300 0 3 答案 0 32 1 由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小 因此第二小组的频率为 又因为频率 所以样本容量 2 由图可估计该学校高一学生的达标率约为 互动探究 试求题2样本中不达标的学生人数 解析 样本容量为150 不达标的学生频率为1 0 88 0 12 所以 样本中不达标的学生有150 0 12 18 人 归纳 应用频率分布直方图时的易错点 提示 应用频率分布直方图时易把图中纵轴表示的误以为频率 变式训练 2012 聊城高一检测 如图 从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名 将其成绩 均为整数 整理后画出的频率分布直方图如下 观察图形 回答下列问题 1 79 5 89 5 这一组的频数 频率分别是多少 2 59 5 99 5 这一组的频率是多少 3 估计这次环保知识竞赛的及格率 60分及以上为及格 解析 1 频率为0 025 10 0 25 频数为60 0 25 15 2 0 015 10 0 03 10 0 025 10 0 005 10 0 75 3 60分及以上的频率为0 015 10 0 03 10 0 025 10 0 005 10 0 7425 故这次环保知识竞赛的及格率约为74 25 频率分布直方图的综合应用 技法点拨 对频率分布直方图的理解 1 同样一组数据 如果组距不同 横轴 纵轴的单位不同 得到的图的形状也不同 不同的形状给人以不同的印象 这种印象有时会影响我们对总体的判断 2 频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性 由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率 可近似地估计总体在这一范围内的可能性 典例训练 1 为了了解某校高三学生的视力情况 随机抽查了该校100名高三学生的视力情况 得到频率分布直方图如图 由于不慎将部分数据丢失 但知道后5组频数和为62 设视力在4 6到4 8之间的学生数为a 最大频率为0 32 则a的值为 a 64 b 54 c 48 d 27 2 如图是某市有关部门根据该市干部的月收入情况 进行抽样调查后画出的样本频率分布直方图 已知图中第一组的频数为4000 请根据该图提供的信息解答下列问题 图中每组包括左端点 不包括右端点 如第一组表示收入在 1000 1500 最后一组左 右端点都包含 1 求样本中月收入在 2500 3500 的人数 2 为了分析干部的收入与年龄 职业等方面的关系 必须从样本的各组中按月收入再用分层抽样方法抽出100人进行分析 则月收入在 1500 2000 的这段应抽多少人 解析 1 选b 由题意和直方图知 第一小组和第二小组的人数为 0 5 1 1 0 1 100 16 人 第三小组的人数为100 16 62 22 人 则第四小组的人数为 a 22 人 解得a 54 2 1 月收入在 1000 1500 的频率为0 0008 500 0 4 且有4000人 样本的容量月收入在 1500 2000 的频率为0 0004 500 0 2 月收入在 2000 2500 的频率为0 0003 500 0 15 月收入在 3500 4000 的频率为0 0001 500 0 05 月收入在 2500 3500 的频率为1 0 4 0 2 0 15 0 05 0 2 样本中月收入在 2500 3500 的人数为0 2 10000 2000 2 月收入在 1500 2000 的人数为0 2 10000 2000 再从10000人中用分层抽样方法抽出100人 则月收入在 1500 2000 的这段应抽取 人 易错误区 求解频率分布直方图问题时的常见错误 典例 2011 湖北高考 有一个容量为200的样本 其频率分布直方图如图所示 根据样本的频率分布直方图估计 样本数据落在区间 10 12 内的频数为 a 18 b 36 c 54 d 72 解题指导 解析 选b 设样本数据落在区间 10 12 内的频率为2x 则 0 02 0 05 x 0 15 0 19 2 1 得x 0 09 所以样本数据落在区间 10 12 内的频数为0 09 2 200 36 阅卷人点拨 通过阅卷后分析 对解答本题的常见错误及解题启示总结如下 注 此处的 见解析过程 即时训练 某班50名学生在一次百米测试中 成绩全部介于13秒与19秒之间 将测试结果按如下方式分成六组 第一组 成绩大于等于13秒且小于14秒 第二组 成绩大于等于14秒且小于15秒 第六组 成绩大于等于18秒且小于等于19秒 如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图 设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x 成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y 则从频率分布直方图中可分析出x和y分别为 a 0 9 35 b 0 9 45 c 0 1 35 d 0 1 45 解析 选a 由频率分布直方图可得成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为 0 02 0 18 0 34 0 36 1 0 9 成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为 0 34 0 36 1 50 35 1 在100个人中 有40个学生 21个干部 29个工人 10个农民 则0 29是工人的 a 频数 b 频率 c 累计频率 d 累计频数 解析 选b 表示频率 2 一个容量为20的样本数据 分组情况与相应频数如表 则样本在区间 50 上的频率为 a 0 5 b 0 25 c 0 6 d 0 7 解析 选d 所求频率为 3 某赛季甲 乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下 根据上图 对这两名运动员的成绩进行比较 下列四个结论中 不正确的是 a 甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 b 甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数 c 甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值 d 甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定 解析 选d 容量相同的样本数据 甲的分散在4个茎上 而乙只在3个茎上 应该是乙的比甲的稳定 4 有一个容量为45的样本数据 分组后各组的频数如下 12 5 15 5 3 15 5 18 5 8 18 5 21 5 9 21 5 24 5 11 24 5 27 5 10 2