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2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题第一试（80分钟） 一、填空题（本题满分56分，每小题8分）1.已知数列的前项和，则 _2.若集合为空集，则实数的取值范围是_3. 设、为实数，则二元函数的最小值是_4.设、分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆交双曲线左支于、两点，且. 双曲线的离心率的值介于整数与之间，则_5.已知长方体的体积为，则四面体与四面体的重叠部分的体积等于_6.设表示不大于的最大整数，则 _7.设方程的根都是正数，且，则的最大值是_8. 的方格棋盘的一条对角线穿过_个棋盘格二、 解答题（本题满分14分）求函数的值域三、解答题（本题满分15分）如图，抛物线及点，过点的不重合的直线、与此抛物线分别交于点，证明：，四点共圆的充要条件是直线与的倾斜角互补xyOPACBD 四、解答题（本题满分15分）设，是正数，且，求证：第二试（150分钟）一、（本题满分50分）如图，在中，的内切圆与切于点，的边上的旁切圆切于点，点是与的交点，求证、三点共线. ABCDPENM 二、（本题满分50分）设，为给定的整数，. 对任意元的数集，作的所有元子集的元素和，记这些和组成的集合为，集合中元素个数是，求的最大值. 三、（本题满分50分）设，是互不相同的正整数，求证：. 四、（本题满分50分）求满足下列条件的所有正整数，：（1）与互素； （2）. 2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准第一试一、填空题（本题满分56分，每小题8分）1.2. 3.4.5.6.7.8.2、 解答题（本题满分14分）解 因为. 8分令，则，. 易知函数在区间与上都是减函数，所以的值域为，故的值域为. 14分三、解答题（本题满分15分）解 设、的倾斜角分别为、，由题设知、. 易知直线的参数方程为，代入抛物线方程可化得 . 设上述方程的两根为、，则 . 由参数的几何意义，得 . 5分同理 . 7分若、四点共圆，则 ，即 .因为、，所以 .又由、不重合，则. 所以. 11分反过来，若，则因、，故，且，. 所以 ，即.故、四点共圆. 15分四、解答题（本题满分15分）解 因为 ， 且 （），所以 ，即. 10分同理可证 . 于是，. 15分2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准加 试一、（本题满分50分） ABCDPENM证 设与交于点.因为，所以，.故只需证明，或. 10分如图, 设、分别为三角形的内切圆与旁切圆的圆心，、为切点，则 ， ， ， .30分又 ABCDPENMO1O2FGIH，故可设，则 故结论成立 50分二、（本题满分50分）解 的最大值为. 10分因共有个元子集，故显然有. 20分下面我们指出，对集合，相应的等于，即的任意两个不同的元子集的元素之和不相等. 从而的最大值为.事实上，若上述的集合有两个不同的元子集， ，使得与的元素之和相等，则（设）. 因可视为正整数的二进制表示，由于互不相同，互不相同，故由正整数的二进制表示的唯一性，我们由推出，集合必须与相同，从而子集，矛盾.这就证明了我们的断言. 50分三、（本题满分50分）证 对s归纳.（1） 当时，结论显然成立. 10分（2） 假设时结论成立，当时，不妨设.由归纳假设可知，则.所以只要证明： ，此即 . 30分因为正整数，所以 . 故，.所以，即时，命题成立.因此，由数学归纳法可知，命题对所有正整数成立.50分四、（本题满分50分）解 显然 ，满足要求.10分对于， 方程可化为 . 显然. 因为，故一定是的一个因子.