高中数学 2.1.1 平面课件 新人教A版必修2.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 人教a版 必修2 点 直线 平面之间的位置关系 第二章 2 1空间点 直线 平面之间的位置关系 第二章 2 1 1平面 课标展示1 知道平面的概念 了解平面的基本性质 会用图形与字母表示平面 2 能用符号语言描述空间中的点 直线 平面之间的位置关系 3 能用图形 文字 符号三种语言描述三个公理 理解三个公理的地位与作用 并能确定平面的个数 温故知新旧知再现1 在初中几何中学习的线可以看作是 运动形成的轨迹 2 在平面几何中 通过实验 观察得到了点和线的基本性质是什么 连结两点的线中 线段最短 过两点有且只有一条直线 点 3 在平面几何中 两条直线的位置关系有哪几种 在平面几何中 两直线的位置关系有 相交和平行两种 4 几何中的点 直线都是抽象的概念 在现实世界中可以说是不存在的 画出的点 我们不考虑它们的大小 画出的直线也不考虑它们的粗细 基于这种抽象的思考 我们才能总结出上述点与直线的性质 大家学完初中几何以后 已经初步体会到了这些抽象概念的意义和作用 新知导学1 平面 延展 平行四边形 2 虚线 希腊字母 英文字母 bcd 顶点 归纳总结 习惯上 用平行四边形表示平面 在一个具体的图形中也可以用三角形 圆或其他平面图形表示平面 2 点 线 面的位置关系的表示a是点 l m是直线 是平面 a la la a l l l m al a l 名师点拨 从集合的角度理解点 线 面之间的关系 1 直线可以看成无数个点组成的集合 故点与直线的关系是元素与集合的关系 用 或 表示 2 平面也可以看成点集 故点与平面的关系也是元素与集合的关系 用 或 表示 3 直线和平面都是点集 它们之间的关系可看成集合与集合的关系 故用 或 表示 3 公理1 两点 l 名师点拨 公理1的内容反映了直线与平面的位置关系 线上两点在平面内 是公理的条件 结论是 线上所有点都在平面内 从集合的角度看 这个公理就是说 如果一条直线 点集 中有两个点 元素 属于一个平面 点集 那么这条直线就是这个平面的真子集 这个结论阐述了两个观点 一是整条直线在平面内 二是直线上的所有点都在平面内 4 公理2 不在 不共线 名师点拨 1 公理2的条件是 过不在一条直线上的三点 结论是 有且只有一个平面 2 公理2中 有且只有一个 的含义要准确理解 这里的 有 是说图形存在 只有一个 是说图形唯一 强调的是存在和唯一两个方面 因此 有且只有一个 必须完整地使用 不能仅用 只有一个 来代替 否则就没有表达出存在性 确定一个平面中的 确定 是 有且只有 的同义词 也是指存在性和唯一性这两个方面 这个术语今后也会常常出现 5 公理3 公共点 直线 p l 名师点拨 公理3反映了两个平面的位置关系 条件可简记为 两面共一点 结论是 两面共一线 且线过点 线唯一 公理3强调的是两个不重合的平面 只要它们有一个公共点 其交集就是一条直线 以后若无特别说明 两个平面 是指不重合的两个平面 自我检测1 下列命题 1 书桌面是平面 2 8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚 3 有一个平面的长是50m 宽是20m 4 平面是绝对的平 无厚度 可以无限延展的抽象的数学概念 其中正确命题的个数为 a 1b 2c 3d 4 答案 a 解析 2 如图所示 平面abef记作平面 平面abcd记作平面 根据图形填写 1 a b e c d 2 3 a b c d e f 4 ab ab cd cd bf bf 答案 1 2 ab 3 4 3 已知直线m 平面 p m q m 则 a p q b p q c p q d q 答案 d 解析 q m m q p m 有可能p 也可能有p 4 三点可确定平面的个数是 a 0b 1c 2d 1或无数个 答案 d 解析 当这三点共线时 可确定无数个平面 当这三点不共线时 可确定一个平面 5 如果两个平面有一个公共点 那么这两个平面 a 没有其他公共点b 仅有这一个公共点c 仅有两个公共点d 有无数个公共点 答案 d 关于数学语言 文字语言 符号语言 图形语言 的互译问题 典例探究 解析 1 符号语言表示 p pa pb pc 图形表示 如图1 2 符号语言表示 平面abd 平面bdc bd 平面abc 平面adc ac 图形表示 如图2 规律总结 学习几何问题 三种语言间的互相转换是一种基本技能 要注意符号语言的意义 如点与直线 点与平面间的位置关系只能用 或 直线与平面间的位置关系只能用 或 由图形语言表示点 线 面的位置关系时 要注意实线和虚线的区别 1 若点m在直线a上 a在平面 内 则m a 间的关系可记为 2 根据右图 填入相应的符号 a 平面abc a 平面bcd bd 平面abc 平面abc 平面acd 3 根据下列条件画出图形 平面 平面 mn abc的三个顶点满足条件a mn b b mn c c mn 答案 1 m a a m 2 ac 3 如图所示 三个公理的理解 解析 1 不正确 如果点在直线上 这时有无数个平面 如果点不在直线上 在已知直线上任取两个不同的点 由公理2知 有唯一一个平面 2 正确 经过同一点的两条直线是相交直线 由公理2 有唯一一个平面 3 不正确 三条直线可能交于同一点 也可能有三个不同交点 如图1 1 2 所示 前者 由公理2得知 可以确定1个或3个平面 后者 由公理2及公理1知 能确定唯一一个平面 4 不正确 四边形中三点可确定一个平面 而第四点不一定在此平面内 如图2 因此 这四条线段不一定在同一平面内 规律总结 公理2是确定平面的依据 对涉及这方面的应用 务必分清它们的条件 立体几何研究的对象是空间点 线 面的位置关系 要有一定的空间想象能力 对于问题中的点 线 要注意它们可能存在的不同的位置关系 以及由此产生的不同结果 若空间中有四个点 则由 这四个点中有三点在同一直线上 能否得到 这四个点在同一平面上 反之 能否由 这四个点在同一平面上 得到 这四点中有三点在同一直线上 若不能 试举出反例 解析 由 这四个点中有三点在同一直线上 能得到 这四个点在同一平面e 因为 四个点中有三点在同一直线上 相当于已知一条直线和直线外一点 由公理2的推论1知 有且只有一个平面经过这四点 故 这四个点在同一平面上 由 这四个点在同一平面上 不能得到 这四个点中有三点在同一直线上 如平行四边形的四个顶点在同一平面上 但这四个顶点中没有三点在同一直线上 分析 点线共面问题 解析 已知 ab ac a ab bc b ac bc c 求证 直线ab bc ac共面 证明 方法一 因为ac ab a 所以直线ab ac可确定一个平面 因为b ab c ac 所以b c 故bc 因此直线ab bc ac都在平面 内 所以直线ab bc ac共面 方法二 因为a不在直线bc上 所以点a和直线bc可确定一个平面 因为b bc 所以b 又a 同理ac 故直线ab bc ac共面 方法三 因为a b c三点不在同一条直线上 所以a b c三点可以确定一个平面 因为a b 所以ab 同理bc ac 故直线ab bc ac共面 规律总结 1 利用公理2及三个推论 可以确定平面及平面的个数 公理中要求 不共线的三点 推论1要求 平面外一点 推论2要求 两条相交直线 推论3要求 两条平行线 因此对公理 推论的条件和结论必须理解清楚 2 对于证明几个点 或几条直线 共面的问题 在由其中几个点 或几条直线 确定一个平面后 只要再证明其他点 或直线 也在该平面内即可 求证 一条直线和两条平行线都相交 则这三条直线共面 解析 根据公理2的推论3 两平行直线可确定一平面 而一条直线和两条平行直线都相交 这两交点在这两平行直线上 根据公理1知过这两交点的直线也在这个平面内 所以这三条直线共面 点共线与线共点的问题 分析 由题目可获取以下主要信息 三线ab ac bc在平面 外 三线均与面 相交 解答本题可先证明p q r三点在面abc内 又在面 内 再利用公理3从而证得三点共线 证明 方法一 ab p p ab p 平面 又ab 平面abc p 平面abc 由公理3可知 点p在平面abc与平面 的交线上 同理可证q r也在平面abc与平面 的交线上 p q r三点共线 方法二 ap ar a 直线ap与直线ar确定平面apr 又 ab p ac r 平面apr 平面 pr b 面apr c 面apr bc 面apr 又 q 面apr q q pr p q r三点共线 规律总结 证明点线共面的常用方法 1 归一法 先由部分元素确定一个平面 再证其余元素也在这个平面内 其中第一步要应用公理2 第二步要应用公理1 2 重合法 应用公理1 先由部分元素分别确定平面 然后应用公理2证明这几个平面重合 三个平面 两两相交 交于三条直线 即 c a b 已知直线a和b不平行 求证 a b c三条直线必过同一点 分析 证三条直线共点时 应先找出其中两条直线的交点p 而第三条直线是两个平面的交线 p是这两个平面的公共点 据公理3得出p在第三条直线上 证明 b a a b a b不平行 a b必相交 设a b p p a a p 同理p 而 c p c a b c相交于一点p 即a b c三条直线过同一点 错解 因为不共线的三点确定一个平面 所以由题设条件中的四点可确定四个平面 错因分析 忽略了四个点在同一个平面上的可能 思路分析 空间中任意三点都不共线的四点有两种位置关系 一种是任意不共线的三点所确定的平面过第四个点 此时 这四个点只能确定一个平面 另一种是任意不共面的三点所确定的平面不过第四个点 此时 这四个点可确定四个平面 正解 一个或者是四个 已知a b c d e五点中 a b c d共面 b c d e共面 则a b c d e五点一定共面吗 错解 因为a b c d共面 所以点a在b c d所确定的平面内 因为b c d e共面 所以点e也在b c d所确定的平面内 所以点a e都在b c d所确定的平面内 即a b c d e五点一定共面 错因分析 错解忽略了公理2中 不在一条直线上的三点 这个重要条件 实际上b c d三点还可能共线 正解 1 如果b c d三点不共线 则它们确定一个平面 因为a b c d共面 所以点a在平面 内 因为b c d e共面 所以点e在平面 内 所以点a e都在平面 内 即a b c d e五点一定共面 2 如果b c d三点共线于l 若a e都在l上 则a b c d e五点一定共面 若a e中有且只有一个在l上 则a b c d e五点一定共面 若a e都不在l上 则a b c d e五点可能不共面 规律总结 在立体几何中 空间点 线 面之间的位置关系不确定时 要注意分类讨论 避免片面地思考问题 对于确定平面问题 在应用公理2及其三个推论时一定要注意它们成立的前提条件 1 下列命题中正确命题的个数是 三角形是平面图形 四边形是平面图形 四边相等的四边形是平面图形 圆是平面图形a 1个b 2个c 3个d 4个 答案 b 解析 正确 故选b 2 如右图所示的平行四边形mnpq表示的平面不能记为 a 平面mnb 平面nqpc 平面 d 平面mnpq 答案 a 解析 mn是平行四边形mnpq的一条边 不是对角线 所以不能记作平面mn 3 用符号表示 点a在直线l上 l在平面 外 正确的是 a a l l b a l l c a l l d a l l 答案 b 4 下面是一些命题的叙述语 a b表示点 a表示直线 表示平面 1 a b ab 2 a a a 3 a