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数学专题二 空间向量的应用 3 1 异面直线所成的角 四 教学过程的设计与实施 2 直线与平面所成的角 3 求平面的法向量的坐标的一般步骤 第一步 设 设出平面法向量的坐标为n x y z 第二步 列 根据n a 0且n b 0可列出方程组第三步 解 把z看作常数 用z表示x y 第四步 取 取z为任意一个正数 当然取得越特殊越好 便得到平面法向量n的坐标 空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法 解题时 可用定量的计算代替定性的分析 从而避免了一些繁琐的推理论证 求空间角是立体几何的一类重要的问题 也是高考的热点之一 本节课主要是讨论怎么样用向量的办法解决空间角之一 问题 二面角及其度量 1 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱 这两个半平面叫做二面角的面 平面角由射线 点 射线构成 二面角由半平面 线 半平面构成 2 二面角的表示 二面角 平面内的一条直线把平面分为两部分 其中的每一部分都叫做半平面 l 二面角 l 二面角c ab d 3 二面角的画法 1 平卧式 2 直立式 二面角 思考 4 二面角的大小如何度量 以二面角的棱上任意一点为端点 在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 b b1 a a1 aob a1o1b1 二面角的大小用它的平面角来度量 显然与o的选取无关 二面角 注意 二面角的平面角必须满足 10 二面角 本书约定 二面角的平面角的取值范围是 平面角是直角的二面角叫做直二面角 5 二面角的取值范围如何 互相垂直的平面就是相交成直二面角的两个平面 二面角 6 如何求二面角的平面角 1 定义法 2 射影面积法 二面角 o 问题1 二面角的平面角能否转化成向量的夹角 6 如何求二面角的平面角 1 定义法 与棱垂直的向量 3 向量法 二面角 2 射影面积法 你能找到所求二面角的棱吗 问题2 求直线和平面所成的角可转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角 那么二面角的大小与两个半平面的法向量有什么关系 二面角 平面的法向量 3 向量法 即法向量的夹角与二面角的大小相等或互补 解题时角的取值根据图形判断 本题是求二面角的余弦值 可重点关注向量法求二面角的余弦值 本题的特点是图中没有出现两个平面的交线 不能直接利用二面角的平面角或者垂直于棱的向量的夹角解决 利用法向量的夹角解决体现了向量求解立体几何问题的优越性 解 则 建立如图所示的空间直角坐标系 则 令z 1解之得 所求锐二面角的余弦值为 小结 利用法向量求二面角的平面角避免了繁难的作 证二面角的过程 解题的关键是确定相关平面的法向量 利用法向量求二面角的平面角的一般步骤 建立坐标系 1 二面角的定义 2 求二面角的平面角方法 3 射影面积法 2 向量法 1 定义法 练习 正三棱柱中 d是ac的中点 当时 求二面角的余弦值 c a d b c1 b1 a1 解 如图 以c
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