（京津鲁琼专用）2020版高考数学第二部分28分专项练28分专项练（一）22、23题（含解析）.docx

28分专项练(一)22、23题1已知抛物线C：y22px(p0)的焦点F与椭圆1的右焦点重合，抛物线C的动弦AB过点F，过点F且垂直于弦AB的直线交抛物线的准线于点M.(1)求抛物线的标准方程；(2)求的最小值2设椭圆C：1(ab0)的离心率为，圆O：x2y22与x轴正半轴交于点A，圆O在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为2.(1)求椭圆C的方程；(2)设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于M，N两点，试判断|PM|PN|是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由3已知函数f(x)exln(x1)(e为自然对数的底数)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数g(x)f(x)ax，aR，试求函数g(x)的极小值的最大值4已知函数f(x)e2x(a1)exax.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围 28分专项练28分专项练(一)22、23题1解：(1)由椭圆方程得椭圆的右焦点为(1，0)所以抛物线的焦点为F(1，0)，p2，故抛物线的标准方程为y24x.(2)当动弦AB所在直线的斜率不存在时，|AB|2p4，|MF|2，2.当动弦AB所在的直线斜率存在时，易知直线的斜率不为0.设AB所在直线方程为yk(x1)，且A(x1，y1)，B(x2，y2)由得k2x22(k22)xk20.则x1x2，x1x21，16(k21)0.|AB|x1x2|.FM所在直线的方程为y(x1)，由得点M.所以|MF|2，所以22.综上所述，的最小值为2.2解：(1)设椭圆C的半焦距为c，由椭圆C的离心率为知，bc，ab，则椭圆C的方程为1.易求得点A(，0)，则点(，)在椭圆C上，所以1，解得b23，所以a26，椭圆C的方程为1.(2)|PM|PN|为定值2.当过点P且与圆O相切的切线斜率不存在时，不妨设切线的方程为x，则P(，0)由(1)知M(，)，N(，)，所以|PM|PN|2.此时(，)，(，)，0，即OMON，当过点P且与圆O相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为ykxm，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则，即m22(k21)由消去y得x22(kxm)26，即(12k2)x24kmx2m260，得0，x1x2，x1x2.因为(x1，y1)，(x2，y2)，所以x1x2y1y2x1x2(kx1m)(kx2m)(1k2)x1x2km(x1x2)m2(1k2)kmm20，所以OMON.综上所述，圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于点M，N，都有OMON.又在RtOMN中，OPMN，由OMP与NOP相似可得|OP|2|PM|PN|2为定值3解：(1)函数f(x)exln(x1)的定义域是(1，)，f(x)ex.令h(x)ex，则h(x)ex0，所以函数h(x)在(1，)上单调递增，且h(0)f(0)0.所以当x(1，0)时，h(x)f(x)0，f(x)单调递增所以函数f(x)的单调递减区间是(1，0)，单调递增区间是(0，)(2)由g(x)f(x)axexln(x1)ax，得g(x)f(x)a.由(1)知，g(x)f(x)a在(1，)上单调递增当x1时，g(x)；当x时，g(x)，则g(x)0有唯一解x0.当x(1，x0)时，g(x)0，g(x)单调递增，所以函数g(x)在xx0处取得极小值，g(x0)ex0ln(x01)ax0，且x0满足ex0a.所以g(x0)(1x0)ex0ln(x01)1.令(x)(1x)exln(x1)1，则(x)x.当x(1，0)时，(x)0，(x)单调递增；当x(0，)时，(x)0，(x)单调递减，可得(x)max(0)1.所以函数g(x)的极小值的最大值为1.4解：(1)f(x)e2x(a1)exa(ex1)(exa)若a0，当x(，0)时，f(x)0，f(x)为增函数若a0，令f(x)0，则x10，x2ln a，a若a1，则x1x2，f(x)0恒成立，f(x)在(，)上为增函数；b若0ax2.当x(，ln a)时，f(x)0，f(x)为增函数；当x(ln a，0)时，f(x)0，f(x)为增函数；c若a1，则x10，f(x)为增函数；当x(0，ln a)时，f(x)0，f(x)为增函数综上所述，当a0，f(x)在(，0)上为减函数，在(0，)上为增函数；当a1时，f(x)在(，)上为增函数；当0a1时，f(x)在(，0)，(ln a，)上为增函数，在(0，ln a)上为减函数(2)当a0时，f(x)e2xexex，令f(x)0得xln 2，此时f(x)有1个零点，不符合题意当a0时，由(1)可知，f(x)在(，0)上为减函数，在(0，)上为增函数因为f(x)有两个零点，必有f(0)a.注意到f(1)e2a(a1)ee2ea(1e)0，所以当x(0，1)时，f(x)有1个零点当xax(a1)exax(a1)，取x010，所以当x(x0，0)时，f(x)有1个零点，所以当a0时，f(x)有2个零点，符合题意当a1时，f(x)在(，)上为增函数，不可能有两个零点，不符合题意当0a1时，f(x)在(，ln a)上为增函数，在(ln a，0)上为减函数，在(0，)上为增函数f(ln a)e2ln a(a1)eln aaln aa2a2aaln aa.因为ln aa