2019_2020学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.3两个向量的数量积学案新人教B版.docx

3.1.3两个向量的数量积学 习 目 标核 心 素 养1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算律(重点)3.掌握两个向量数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直(难点、易混点)1.通过两向量的数量积的学习，培养学生的数学运算素养.2.借助于求两向量的夹角、模及判断两向量垂直，提升学生的逻辑推理素养.1空间向量的夹角如果a，b90，那么向量a，b互相垂直，记作ab.思考：等边ABC中，与的夹角是多少？提示1202两个向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积(或内积)，记作ab.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(a)b(ab)交换律abba分配律(ab)cacbc3两个向量的数量积的性质两个向量数量积的性质 若a，b是非零向量，则abab0若a与b同向，则ab|a|b|；若反向，则ab|a|b|.特别地，aa|a|2或|a|若为a，b的夹角，则cos |ab|a|b|1下列命题中正确的是()A(ab)2a2b2B|ab|a|b|C(ab)ca(bc)D若a(bc)，则abac0B对于A项，左边|a|2|b|2cos2a，b，右边|a|2|b|2，左边右边，故A错误对于C项，数量积不满足结合律，C错误在D中，a(bc)0，abac0，abac，但ab与ac不一定等于零，故D错误对于B项，ab|a|b|cosa，b，1cosa，b1，|ab|a|b|，故B正确2已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|a2b3c|等于()A14B.C4D2B|a2b3c|2(a2b3c)(a2b3c)|a|24|b|29|c|214，|a2b3c|.3已知|a|3，|b|2，ab3，则a，b_.120cosa，b.a，b120.数量积运算【例1】如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点求下列向量的数量积：(1)；(2)；(3)()()思路探究根据数量积的定义进行计算，求出每组向量中每个向量的模以及它们的夹角，注意充分结合正四面体的特征解(1)正四面体的棱长为1，则|1.OAB为等边三角形，AOB60，于是：|cos，|cosAOB11cos 60.(2)由于E，F分别是OA，OC的中点，所以EF綊AC，于是|cos，|cos，11cos，11cos 120.(3)()()()()()(2)222212121.(1)要牢记公式ab|a|b|cosa，b.(2)在求两个向量夹角时，要注意向量的方向，如易错写成60.为避免出错，应结合图形进行计算. 1已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点试计算：(1)；(2)；(3).解如图，设a，b，c，则|a|c|2，|b|4，abbcca0.(1)()b|b|24216.(2)()()()()(ac)|c|2|a|222220.(3)()()(abc)|a|2|b|22.利用数量积求夹角和模探究问题1空间两个向量夹角定义的要点是什么？提示(1)任意两个空间向量都是共面的，故空间向量夹角的定义与平面向量夹角的定义一样(2)作空间两个向量夹角时要把两个向量的起点放在一起(3)两个空间向量的夹角是唯一的，且a，bb，a2空间向量数量积的性质有什么作用？提示(1)向量模的应用：式子|a|可以解决有关空间长度问题(2)向量夹角的应用：空间中两条直线(特别是两条异面直线)的夹角，可以通过求出这两个向量的夹角而求得(3)数量积的应用：两非零向量a，b，若ab0，则两向量对应的直线相互垂直【例2】(1)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，ABBC1，AA1，求异面直线BA1与AC所成角的余弦值(2)如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，从同一顶点出发的三条棱的长都等于1，且彼此的夹角都是60，求对角线AC1和BD1的长思路探究(1)先求，再由夹角公式求cos，并由此确定与所成角的余弦值(2)用向量和用已知向量、表示出来，再用数量积的定义运算解(1)，且0，21.又|，|.cos，.异面直线所成角的范围是，异面直线BA1与AC所成角的余弦值为.(2)，|2()()|2|2|22()1112(cos 60cos 60cos 60)6.|，即对角线AC1的长为.同理，|2()()|2|2|22()1112(cos 60cos 60cos 60)2.|，即对角线BD1的长为.1(改变结论)若把本例(1)中的结论“求异面直线BA1与AC所成角的余弦值”改为“求向量与夹角的余弦值”结果如何？解由本例(1)解析可知与夹角的余弦值是.2 .(改变条件、改变结论)本例(2)中，若E为CC1的中点，求AE的长解，|2()()|2|2|22112cos 60cos 60cos 604，|.(1)利用数量积求异面直线所成角(或余弦值)的方法：(2)求两点间的距离或某条线段的长度的方法：先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最后利用|a|2aa，通过向量运算去求|a|，即得所求距离利用数量积解决垂直问题【例3】如图，在空间四边形OABC中，OBOC，ABAC，求证：OABC.思路探究证明0.证明因为OBOC，ABAC，OAOA，所以OACOAB，所以AOCAOB.又()|cosAOC|cosAOB0，所以，即OABC.(1)证明线线垂直的方法,证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直.(2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法先用向量a，b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0.2已知空间四边形ABCD中，ABCD，ACBD，求证：ADBC.证明ABCD，ACBD，0，0.()()|2|2()0.，从而ADBC.1思考辨析(1)对于非零向量a，b，a，b与a，b相等()(2)对于任意向量a，b，c，都有(ab)ca(bc)()(3)(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2.()提示(1)互补(2)(ab)c与c共线，a(bc)与a共线，但c与a不一定共线(3)2如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是()A2B2C2 D2C2a2，故A错；2a2，故B错；2a2，故D错，22a2，故C正确3若向量a，b满足