高中数学 第1章 3反证法课件 北师大版选修22.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 选修2 2 推理与证明 第一章 3反证法 第一章 了解间接证明的一种基本方法 反证法 了解反证法的思考过程 特点 本节重点 反证法概念的理解以及反证法的解题步骤 本节难点 应用反证法解决问题 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法 不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的方法 就是一种常用的间接证明方法 间接证明 反证法 1 1 概念 假定命题结论的 在这个前提下 若推出的结果与 矛盾 或与命题中的 相矛盾 或与假定相矛盾 从而断定 不可能成立 由此断定命题的结论成立 这样的证明方法叫作反证法 有时也叫归谬法 反证法 反面成立 定义 公理 定理 已知条件 命题结论的反面 2 反证法的证题步骤包括以下三个步骤 1 作出否定结论的假设 反设 假设命题的结论不成立 即假定原命题的反面为真 2 逐步推理 导出矛盾 归谬 从假设和已知条件出发 经过一系列正确的逻辑推理 得出矛盾结果 3 否定假设 肯定结论 存真 由矛盾结果 断定假设不真 从而肯定原结论成立 1 用反证法证明问题的本质反证法是一种间接证法 它是先提出一个与命题的结论相反的假设 然后 从这个假设出发 经过正确的推理 导致矛盾 从而否定假设 达到肯定原命题正确的一种方法 反证法可以分为归谬反证法 结论的反面只有一种 与穷举反证法 结论的反面不只一种 用反证法证明一个命题的步骤 大体上分为 1 反设 2 归谬 3 存真 也就是说 反证法是由证明p q转向证明 q r t t与假设或与某个真命题矛盾 q为假 推出q为真的方法 从逻辑角度看 命题 若p则q 的否定是 若p则 q 由此进行推理 如果发生矛盾 那么 若p则 q 为假 因此可知 若p则q 为真 可以看出 反证法与证逆否命题是不同的 由于受 反证法就是证逆否命题 的错误影响 在否定结论后的推理过程中 往往一味寻求与原题设的矛盾 而不注意寻求其他形式的矛盾 这样就大大限制和影响了解题思路 归谬是反证法的关键 导出矛盾的过程没有固定的模式 但必须从反设出发 否则推导将成为无源之水 无本之木 推理必须严谨 导出的矛盾有如下几种类型 与已知条件矛盾 与已知的公理 定义 定理 公式矛盾 与反设矛盾 自相矛盾 2 适宜用反证法证明的数学命题 1 结论本身是以否定形式出现的一类命题 2 关于唯一性 存在性的命题 3 结论是以 至多 至少 等形式出现的命题 4 结论的反面比原结论更具体 更容易研究的命题 5 一些基本命题 定理 3 用反证法证明不等式 常用的否定形式有 的反面为 的反面为 及 4 一些常见的 结论词 与 反设词 1 用反证法证明命题 若整系数一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 有有理根 那么a b c中至少有一个是偶数 时 下列假设中正确的是 a 假设a b c都是偶数b 假设a b c都不是偶数c 假设a b c至多有一个偶数d 假设a b c至多有两个是偶数 答案 b 解析 至少有一个 的对立面是 一个都没有 2 反证法证明 一个三角形不能有两个直角 有三个步骤 a b c 90 90 c 180 这与三角形内角和为180 矛盾 故假设错误 所以一个三角形不能有两个直角 假设 abc中有两个直角 不妨设 a 90 b 90 上述步骤的正确顺序为 答案 解析 考查反证法的证题步骤 3 用反证法证明命题 若x2 a b x ab 0 则x a且x b 时 应假设为 答案 x a或x b 解析 对 且 的否定应为 或 所以 x a且x b 的否定应为 x a或x b 求证 当x2 bx c2 0有两个不相等的非零实数根时 bc 0 分析 bc 0的否定形式为bc 0 包括 b 0 c 0 b 0 c 0 b 0 c 0三种情况 要注意分类讨论 反证法证明 否定性 命题 证明 假设bc 0 1 若b 0 c 0 方程变为x2 0 则x1 x2 0是方程x2 bx c2 0的两根 这与方程有两个不相等的实数根矛盾 2 若b 0 c 0 方程变为x2 c2 0 但c 0 此时方程无解 与x2 bx c2 0有两个不相等的非零实根相矛盾 3 若b 0 c 0 方程变为x2 bx 0 方程根为x1 0 x2 b 这与方程有两个非零实数根相矛盾 综上所述 可知bc 0 点评 结论中出现 不 不是 不存在 不等于 等词语的命题 其反面比较具体 通过反设 转化为肯定性命题 作为条件应用 进行推理 此时用反证法更方便 已知a 0 求证 关于x的方程ax b有且只有一个根 证明 假设方程ax b a 0 至少存在两个实根 不妨设其中的实根分别为x1 x2 且x1 x2 则ax1 b ax2 b ax1 ax2 ax1 ax2 0 a x1 x2 0 又 x1 x2 x1 x2 0 a 0 这与已知a 0矛盾 故假设不成立 原命题成立 至少 至多 型命题 点评 该命题中有 至少 直接方法很难证明 故可采用反证法 此题解法揭示 当命题中出现 至少 至多 不都 都不 没有 唯一 等指示性词语时 宜用反证法 注意 至少有一个 至多有一个 都是 的否定形式分别为 一个也没有 至少有两个 不都是 如图 ab cd为圆的两条相交弦 且不全为直径 求证 ab cd不能互相平分 反证法在几何中的应用 分析 本题要证明的是ab cd能不能互相平分 能与不能二者必居其一 由于不易证明 ab cd不能互相平分 不妨假设 ab cd能互相平分 以此为出发点 得出与条件 ab cd不全为直径 矛盾的结论 证明 假设ab cd互相平分 则四边形acbd为平行四边形 所以 acb adb cad cbd 因为四边形acbd为圆内接四边形 所以 acb adb 180 cad cbd 180 因此 acb 90 cad 90 所以对角线ab cd均为直径 这与已知中 ab cd不全为直径 相矛盾 因此ab cd不能互相平分 点评 用反证法证明该几何问题时 反设之后 以反设为出发点 并且结合圆的内接四边形的性质得出与已知相矛盾的结论 从而证明了原命题成立 如图所示 设sa sb是圆锥的两条母线 o是底面圆心 c是sb上一点 求证 ac与平面sob不垂直 证明 假设ac 平面sob 连接ab 因为直线so在平面sob内 所以so ac 又因为so 底面圆o 所以so ab 又因为ac ab a 所以so 面sab 所以平面sab 底面圆o 这显然不成立 所以假设不成立 即ac与平面sob不垂直 反证法在数列中的应用 点评 当结论为否定形式时 通过反设 转化为肯定形式 可作为条件进行推理 此时应用反证法很方便 已知a b c 0 abc 0 ab bc ca 0 求证 a b c都大于0 反证法的综合应用 分析 证明 假设a 0不成立 则a 0 分两种情况证明 1 当a0 bc0 b c a 0 a b c 0矛盾 由以上分析可知 假设不成立 因此 a 0 同理可得 b 0 c 0 综上a b c都大于0 点评 分类讨论的关键是要全面 考虑周到 不能遗漏 比如 本题 a 0 的反面是 a 0 即有两种情况 a 0 或 a 0 分类讨论时 不能遗漏其中任何一种情况 已知a是整数 a2是偶数 求证 a也是偶数 分析 本题直接证明不易找思路 我们用间接证明的方法 反证法 证明 假设a不是偶数 则a为奇数 设a 2m 1 m为整数 则a2 4m2 4m 1 4 m2 m 是偶数 4m2 4m 1为奇